精品解析：河北省唐山市路北区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025～2026学年度第一学期学业水平中期评价九年级数学（人教版） 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为3，则中最长的弦长为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 2. 关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（ ） A. B. 1 C. 7 D. 任意实数 3. 如图，是的弦，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、在上，，则（） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的对称轴为直线，则下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项均不成立 11. 如图，正方形的边长为2，则二次函数在正方形内部的图象从左到右（ ） A. 逐渐上升 B. 逐渐下降 C. 先上升后下降 D. 先下降后上升 12. 如图，、、、四点在直径为的上，，，若在取一点，在取一点，使得，则点落在（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13∼15题各3分，16题每空2分．） 13. 若抛物线的开口向下，则的值可以是________（写一个即可）． 14. 已知是方程的一个根，则________． 15. 如图，是的直径，点，，都在上，，则________． 16. 某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间； （2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 19. 已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 21. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值，并直接写出在轴上方的图象的取值范围； （2）坐标平面上放置一透明胶片，在胶片上描画出点及的一段，分别记为，，平移胶片，使与点重合，求平移后的表达式． 22. 如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 23. 某款陶瓷套装的价格逐年下降，2025年下降的百分数是2024年的2倍，具体单价如下表．设2024年降价的百分数为． 年份 单价/千元 2023年 4 2024年 2025年 2.88 （1）用含的代数式表示2024年该款陶瓷套装的价格； （2）求2025年该款陶瓷套装降价的百分数． 24. 如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． （1）求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； （2）求图像上到轴的距离为3的点的坐标； （3）在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学业水平中期评价九年级数学（人教版） 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为3，则中最长的弦长为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．圆中最长的弦是直径，直径等于半径的两倍，据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为3， ∴直径为，即最长的弦长为6． 故选：A 2. 关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（ ） A. B. 1 C. 7 D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 根据题意，一元二次方程的二次项系数与一次项系数之和为3，直接列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 二次项系数为7，一次项系数为m， ∵二次项系数与一次项系数之和为3， ∴， ∴ 故选：A． 3. 如图，是的弦，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的定义，等边三角形的性质和判定， 根据圆的定义可得，再说明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，将二次函数化为顶点形式，即可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，点、、在上，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴． 故选：C． 7. 已知抛物线的对称轴为直线，则下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线对称轴的性质．根据抛物线对称轴公式与给定对称轴，即可得到a与 b的关系． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且已知对称轴为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 8. 已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 9. 如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答． 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：C． 10. 如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项均不成立 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B， 11. 如图，正方形的边长为2，则二次函数在正方形内部的图象从左到右（ ） A. 逐渐上升 B. 逐渐下降 C. 先上升后下降 D. 先下降后上升 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 先结合题意画出图象，再根据二次函数图象的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，二次函数的图象是开口向上对称轴为的抛物线，且当时，函数值随着x的增大而减小，可知二次函数在正方形内部的图象从左到右逐渐下降． 故选：B． 12. 如图，、、、四点在直径为的上，，，若在取一点，在取一点，使得，则点落在（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧、弦、圆心角的关系求出，再根据圆周角定理得，然后根据，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴所对的圆心角， 可知， ∴点Q落在上． 故选：B． 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13∼15题各3分，16题每空2分．） 13. 若抛物线的开口向下，则的值可以是________（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，当时，开口向下． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 因此的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义可得，通过变形即可求出 的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故答案为：2 15. 如图，是的直径，点，，都在上，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角并正确的添加辅助线是关键． 连接，根据圆周角的关系即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 又， ． 故答案为：． 16. 某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间； （2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大． 【答案】 ①. 2 ②. 220 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲，求解即可； （2）设客房每间定价为元，营业额为，根据营业额＝住的客房数×房间定价，列出关于的函数解析式，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）若每间定价为220元，增加了2个10元，就会有2个房间空闲． 故答案为：2． （2）设客房每间定价为元，营业额为， 依题意得：， 当时，最大． 故答案为：220． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再提出公因式，可得方程的解． 【小问1详解】 解：移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， 则或， ，． 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：在，理由如下： 将代入得， ， 点在抛物线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的图象的性质， 对于（1），将点的坐标的代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可； 对于（2），将代入关系式求出y值，判断即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得． 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 19. 已知的一元二次方程的两个实数根分别为、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 对于（1），根据一元二次方程有两个实数根得，求出解集即可； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题得，， 方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题得，，， ， 即， 解得． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 21. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值，并直接写出在轴上方的图象的取值范围； （2）坐标平面上放置一透明胶片，在胶片上描画出点及的一段，分别记为，，平移胶片，使与点重合，求平移后的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）把代入中即可得出k的值，再由对称性求出的取值范围； （2）先求出点B的坐标，由此得到抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，即可求出平移后的表达式． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得：． ∵抛物线的对称轴为直线，轴交于点， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当在轴上方时，； 【小问2详解】 解：令，则， ， 点平移到点，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位， 可得平移后的表达式为：． 22. 如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由得到，即可得证； （2）连接，由，，得到，推出，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，连接， ，， ， ， 设的半径为， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 23. 某款陶瓷套装的价格逐年下降，2025年下降的百分数是2024年的2倍，具体单价如下表．设2024年降价的百分数为． 年份 单价/千元 2023年 4 2024年 2025年 2.88 （1）用含的代数式表示2024年该款陶瓷套装的价格； （2）求2025年该款陶瓷套装降价的百分数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解． （1）根据2023年单价，2024年降价的百分数为，直接可表示2024年价格； （2）依据2023到 2025年价格变化列出方程，求解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2025年降价百分数． 【小问1详解】 解：年单价为4千元，设2024年降价的百分数为， ∴2024年该款陶瓷套装的价格为千元； 【小问2详解】 2024年降价的百分数为，2025年降价的百分数为， 由题得，， 解得，，（不合题意，舍去）， ， 答：2025年降价的百分数为． 24. 如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． （1）求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； （2）求图像上到轴的距离为3的点的坐标； （3）在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2），， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，可得顶点坐标和随增大而减小的值的范围； （2）分，两种情况解答； （3）的最大值与最小值若不随变化，须按点、的位置分、、三种情况讨论，利用、的增减性确定的最大值与最小值，再由、的纵坐标都在与之间确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， 开口向上，对称轴为直线，的顶点坐标为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴随增大而减小的x取值范围是； 【小问2详解】 解：对，令，则， 解得，，， ， 对，令，则， 解得，（舍），； ， 综上，满足图像上到轴的距离为3的点的坐标有，，； 【小问3详解】 解：对，，，开口向下，顶点不在的范围内， ∴当时，随的增大而增大，且； 对，，，开口向上，顶点为，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴时，，时，； ∵点、的纵坐标都随的变化而变化， ∴需按点、的位置分情况讨论． ①当且时，与都在与之间，全在上， ∵此时不含点与点，的最大值与最小值只能是点、的纵坐标， ∴的最大值与最小值都随的变化而变化，不合题意； ②当时，对应，此时，点与点都在上； ，， 当且时，由、的增减性可知，上其余点的纵坐标都在与之间， ∴此时的最大值为，最小值为，均不随的变化而变化； 由，解得， 由，即，整理得，解得， 又时，、恒成立， ∴符合题意． ③当时，对应，此时，点与点都在上； ，， 同理，当且时，的最大值为，最小值为，均不随的变化而变化； 由，解得， 由，解得， 又时，、恒成立， ∴符合题意． 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $