专题3.1 导数的概念及运算（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

专题三　导数及其应用 3.1　导数的概念及运算 数 学 新高考专用 目 录 高考真题 高考模拟 练速度 练思维 练风向 考点1 曲线在某点或过某点的切线 考点2 曲线的公切线 考点1　曲线在某点或过某点的切线 高考真题 1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为  ( ) A.y=-2x-1　    B.y=-2x+1 C.y=2x-3　    D.y=2x+1     B     解析    f'(x)=4x3-6x2,则f'(1)=4-6=-2,易知f(1)=1-2=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B. 目 录 2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线y= 在点 处的切线方程为 ( ) A.y= x　     B.y= x C.y= x+ 　    D.y= x+      C     解析　由y= ,可得y'= ,则y'|x=1= ,∴曲线在点 处的切线方程为y- = (x-1), 即y= x+ ,故选C. 目 录 3.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐 标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     目 录 解析    f'(x)= , ∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=3, ∴切线的方程为y=3x+1, 令x=0,得y=1;令y=0,得x=- , ∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S= ×1× = . 目 录 4.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( ) A.eb<a　    B.ea<b　    C.0<a<eb　    D.0<b<ea     D     解析　设切点坐标为(x0,y0),则y0= . 对y=ex求导得y'=ex,则切线斜率k= , 切线方程为y- = (x-x0), 因为切线过点(a,b),所以b- = (a-x0), 即 (a-x0+1)-b=0(*). 由题意知方程(*)有两个解.(不能直接求方程(*)的解,考虑其对应函数有两个零点,利用 导数法求解)设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x), 目 录 令g'(x)>0,得x<a,令g'(x)<0,得x>a, 故函数g(x)在x=a处取得极大值,也是最大值. 要使g(x)有两个零点,则必有g(a)>0,即ea(a-a+1)-b>0,即b<ea. 结合选项知选D. 目 录 小题速解 　　当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的切线的 斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下 方,∴0<b<ea,故选D.   目 录 5.(2025全国一卷,12,5分,易)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=_________.     4     解析　由y=ex+x+a,得y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a相切时的切点为(x0,y0),则  解得  目 录 6.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为______________.     y=5x+2     解析    y= =2- , 所以y'= , 所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2. 目 录 7.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围 是______________________.     (-∞,-4)∪(0,+∞)     解析　设f(x)=y=(x+a)ex, 则f'(x)=(x+a+1)ex, 设切点为(x0,(x0+a) ), 因此切线方程为y-(x0+a) =(x0+a+1)· (x-x0), ∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a) =(x0+a+1) ·(-x0),整理得 +ax0-a=0,由切线有两条,得关 于x0的方程 +ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4. 目 录 思路导引 　　设切点坐标为(x0,(x0+a) ),利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而得到切线方 程,再把原点代入可得 +ax0-a=0,因为有两条切线,所以关于x0的方程有两个不等实根, 由Δ>0即可求出a的取值范围. 目 录 8.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ____________,___________________. y=- x(不分先后)         y= x     解析　由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}. 易证函数y=ln|x|为偶函数, 当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0), ∵y'= ,∴切线斜率k=y' = , 故切线方程为y-ln x0= (x-x0), 又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e, 目 录 故切线方程为y-1= (x-e),即y= x. 由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=- x, 故过坐标原点的两条切线方程为y= x和y=- x. 目 录 9.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1)) 和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 _____________.     (0,1)     目 录 解析　当x>0时, f(x)=ex-1, f '(x)=ex,则kBN= . 当x<0时, f(x)=1-ex, f '(x)=-ex,kAM=- , 由切线垂直可知kAM·kBN=- · =-1,得x1+x2=0, 设kBN=k,则kAM=- , 则 = = = , ∵x2>0,∴ ∈(0,1). 故 的取值范围是(0,1). 目 录 考点2　曲线的公切线 1.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切 线,则a=____________.     ln 2     目 录 解析　因为y=ex+x,所以y'=ex+1, 所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的斜率k=2, 又切线过点(0,1),所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的方程为y=2x+1, 对y=ln(x+1)+a求导得y'= ,由直线y=2x+1也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,得 =2,解得 x=- ,将x=- 代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln 2, 所以曲线y=ln(x+1)+a与直线y=2x+1相切的切点坐标为 ,代入y=2x+1,解得a= ln 2. 目 录 2.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的 切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 目 录 解析    (1)由题意知, f(-1)=-1-(-1)=0, f'(x)=3x2-1, 则f'(-1)=3-1=2, 则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2, 设直线y=2x+2与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x, 则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3. (2)f'(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-( -x1)=(3 -1)·(x-x1), 整理得y=(3 -1)x-2 , 设该直线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-( +a) =2x2(x-x2),整理得y=2x2x- +a, 目 录 则 整理得a= -2 = -2 =  -2 -  + , 令h(x)= x4-2x3- x2+ ,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1), 令h'(x)>0,解得- <x<0或x>1,令h'(x)<0,解得x<- 或0<x<1, 则x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表: x  -∞, -   -   - , 0  0 (0, 1) 1 (1, +∞) h'(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) ↘   ↗   ↘ -1 ↗ 则h(x)的值域为[-1,+∞),故a的取值范围为[-1,+∞). 目 录 1.(2025湖北部分高中协作体联考)下列求导运算正确的是 ( ) A.(sin a)'=cos a(a为常数)　     B.(sin 2x)'=2cos 2x C.(3x)'=3xlog3e　     D.( )'=      B     高考模拟 练速度 目 录 解析    A.因为a为常数,所以(sin a)'=0,故A错误; B.(sin 2x)'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,故B正确; C.(3x)'=3xln 3,故C错误; D.( )'=[ ]'=  ·(x+1)'= ,故D错误.故选B. 目 录 2.(2025广东湛江二模)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为  ( ) A.y=2x+1　    B.y=3x+1　    C.y=2x　    D.y=3x     B     解析　由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f'(0)=3,又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线 方程为y=3x+1.故选B. 目 录 3.(2025福建莆田二模)曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则P的坐标为 ( ) A.(-1,-1)　    B. 　     C.(1,e-1)　    D.(1,2e-1)     B     解析　由y=xex-x得y'=(x+1)ex-1, 因为曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1, 所以令y'=-1,则(x+1)ex=0,故x=-1, 此时y=-e-1-(-1)=1- ,即P的坐标为 . 故选B. 目 录 4.(2025山西二调)已知f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处切线的倾斜角是_________. 解析　由f(x)=x2+x,得f'(x)=2x+1,则f'(0)=1, 则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线的斜率为1, 设切线的倾斜角为α(0≤α<π), 则tan α=1,故α= . 目 录 5.(2025四川成都二诊)设函数f(x)=2x3+ax2+bx,若f(x)的图象过点P(1,3),且曲线y=f(x)在(0, 0)处的切线也过点P,则a=_______. 　-2     解析　因为f(x)=2x3+ax2+bx, 所以f'(x)=6x2+2ax+b, 又f(x)的图象过点P(1,3), 所以3=2+a+b,所以a+b=1, 又曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=bx,直线y=bx过点P(1,3), 所以b=3,则a=-2. 目 录 6.(2025福建福州模拟)若曲线y1= x3与曲线y2=aln x相切,则a=_________.     e     解析　由已知得y'1=x2,y'2= , 设切点为 ,b>0,则该点也在曲线y2=aln x上,则 =aln b, 因为两曲线相切,所以两曲线在切点处的切线相同, 因为y'1|x=b=b2,y'2|x=b= ,所以b2= ,则a=b3,a>0, 代入 =aln b,得 =aln b,所以ln b= ,解得b= ,则a=e. 目 录 7.(2025辽宁名校联盟调研(二))设a≠0,若曲线f(x)=aln(x-1)在点(2, f(2))处的切线也是曲 线g(x)=eax-2的切线,则a=_________. 目 录 解析　∵f(x)=aln(x-1),∴f'(x)= , ∴f'(2)=a,又f(2)=0, ∴曲线f(x)=aln(x-1)在点(2, f(2))处的切线方程为y=a(x-2), 根据题意可知直线y=a(x-2)也是曲线g(x)=eax-2的切线, 设直线y=a(x-2)与曲线g(x)=eax-2切于点(x0, ), ∵g'(x)=aeax-2,∴g'(x0)=a , ∴ (注意:切点既在曲线上又在切线上)解得a= . 目 录 8.(2025陕西西安部分学校联考)若M是曲线f(x)=2x2-ln x上任意一点,则点M到直线y=3x- 6的最小距离为_________. 目 录 解析　由f(x)=2x2-ln x,x>0得f '(x)=4x- = , 当0<x< 时, f '(x)<0,当x> 时, f '(x)>0, 则f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,且f(x)min=f = +ln 2, 作出f(x)=2x2-ln x,x>0和y=3x-6的图象如图,   目 录 则曲线f(x)=2x2-ln x上任意一点M到直线y=3x-6的最小距离,即为斜率为3的切线的切点 到直线y=3x-6的距离. 设与直线y=3x-6平行的直线y=3x+m(m≠-6)与曲线f(x)相切于点M(x0,y0), 因为f'(x)=4x- ,x>0,所以4x0- =3, 即4 -3x0-1=0, 解得x0=1或x0=- (舍去), 所以f(1)=2,即切点为M(1,2), 所以切点到直线y=3x-6的距离为 = . 目 录 9.(2025浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2-5x+2ln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值. 目 录 解析    (1)因为f(x)=x2-5x+2ln x,所以f'(x)=2x-5+ ,所以f'(1)=-1,又f(1)=-4, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-x-3. (2)因为f(x)=x2-5x+2ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-5+ , 令f'(x)=2x-5+ = = =0,得x= 或x=2, 则f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 又f =- -2ln 2, f(4)=4ln 2-4, f(4)-f =6ln 2- >0, 所以f(x)在区间 上的最大值为f(4)=4ln 2-4. 目 录 10.(2025湖北武汉二调)已知函数f(x)=x(a+ln x),曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线与直线y =4x-1平行. (1)求a的值; (2)求f(x)的极值. 目 录 解析    (1)f '(x)=(a+ln x)+x· =a+1+ln x, 则 f '(e)=a+1+ln e=a+2, 因为切线与直线y=4x-1平行, 所以切线斜率f '(e)=4, 即a+2=4,解得a=2. (2)由(1)知a=2, f(x)=x(2+ln x)=2x+xln x,其定义域为(0,+∞), f '(x)=3+ln x, 令f '(x)=0,即3+ln x=0,解得x=e-3, 当x∈(0,e-3)时,ln x<-3, f'(x)=3+ln x<0, 目 录 所以f(x)在(0,e-3)上单调递减; 当x∈(e-3,+∞)时,ln x>-3, f'(x)=3+ln x>0, 所以f(x)在(e-3,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=e-3处取得极小值, f(e-3)=2e-3+e-3ln e-3=-e-3,无极大值. 目 录 1.(2025广东深圳一模)已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点,则a=  ( ) A. 　    B.1　    C.e　    D.e2 B     练思维 目 录 解析　解法一:由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点,知方程ex-1=a(ln x +1)只有一个实数解,而a>0,则只考虑x> ,即a= , 令f(x)=  , 则f'(x)=  , 而u(x)=1+ln x- 在 上单调递增, 且u(1)=0, 目 录 所以x∈ 时, f'(x)<0, f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 而x→ 时, f(x)→+∞;x→+∞时, f(x)→+∞,所以a=f(1)=1. 解法二:由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点, 得曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公切点,设其坐标为(x0,y0), 根据函数y=ex-1的图象与函数y=aln x+a的图象之间的关系, 得  目 录 即 =aln x0+a,所以 =ln x0+1, 设h(x0)= -ln x0-1,x0>1,则h(x0)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0, 所以x0=1,所以a=1. 解法三:由于函数y=ex-1的反函数为y=ln x+1,两函数图象关于直线y=x对称, 对y=ex-1求导得y'=ex-1,令ex-1=1,则x=1,即函数y=ex-1的图象与直线y=x相切于点(1,1), 对y=ln x+1求导得y'= ,令 =1,则x=1,即函数y=ln x+1的图象与直线y=x也相切于点(1,1), 于是函数y=ex-1的图象与函数y=ln x+1的图象相切于点(1,1),由选项可知,a=1.故选B. 目 录 2.(2025广东佛山一模)若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切,则a2+b2的最小值为 ( ) A. 　    B.1　    C. 　    D.2     A     解析　对y=ln(x+b)求导得y'= , 设直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切于点P(m,n), 则 解得b=a+1, ∴a2+b2=a2+(a+1)2=2 + , ∴当a=- ,b= 时,a2+b2取得最小值 .故选A. 目 录 3.(2025山东济宁一模)曲线y= (a>0)与曲线y=ln x和y=ex分别交于A,B两点,设曲线y=ln x 在A处的切线斜率为k1,曲线y=ex在B处的切线斜率为k2,若k1+k2= ,则a= ( ) A.2ln 2　    B.2ln 3　    C.3ln 2　    D.3ln 3     A     目 录 解析　因为y=ln x和y=ex互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称, 又反比例函数y= (a>0)的图象也关于直线y=x对称, 所以点A,B关于直线y=x对称. 设A(x0,ln x0),x0>1,则B(ln x0,x0), 设f(x)=ln x,g(x)=ex,则f'(x)= ,g'(x)=ex, 由题意得k1+k2= + = +x0= ,解得x0=2或x0= (舍去), 可得A(2,ln 2),则 =ln 2,所以a=2ln 2.故选A. 目 录 4.(2025山东菏泽一模)曲线y=|ln(x+1)|在A(x1,y1),B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则 +  的值为     ( ) A.-1　    B.0　    C.1　    D.e     A     目 录 解析　由y=|ln(x+1)| =  得y'=  不妨令x1<x2,在A,B两点处的切线的斜率分别为k1,k2, 当0≤x1<x2时,则有k1= ,k2= ,此时k1k2= >0, 显然k1k2≠-1, 目 录 因此两切线不垂直,不符合题意; 当-1<x1<x2<0时,则有k1=- ,k2=- ,此时k1k2= >0, 显然k1k2≠-1, 因此两切线不垂直,不符合题意; 当-1<x1<0≤x2时,则有k1=- ,k2= ,k1k2<0, 令k1k2=-1,则x1x2+x1+x2=0,变形得 + =-1.故选A. 目 录 5.(2025福建厦门部分学校联考)若存在直线与曲线f(x)=x3-x,g(x)=x2+a都相切,则a的取值 范围为 ( ) A.[-1,+∞)　    B. 　     C. 　    D.      A     目 录 解析　设直线与曲线f(x)相切于点(x1, -x1),因为f'(x)=3x2-1, 所以切线方程为y-( -x1)=(3 -1)·(x-x1),即y=(3 -1)x-2 , 设直线与曲线g(x)相切于点(x2, +a), 因为g'(x)=2x,所以切线方程为y-( +a)=2x2(x-x2),即y=2x2x- +a, 根据题意有 (斜率和截距分别对应相等) 所以a= -2 = -2 =  -2 -  + 有解, 令h(x)= x4-2x3- x2+ , 目 录 h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1), 所以函数h(x)在 ,(0,1)上单调递减,在 ,(1,+∞)上单调递增,且h(1)=-1, h = , 所以h(x)min=h(1)=-1,所以a≥-1, 故a的取值范围为[-1,+∞).故选A. 目 录 6.(2025江苏省苏州中学、海门中学等四校联考)过点A(-5,0)作曲线y= 的切线,则切 线条数最多为 ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     B     目 录 解析　由题得y'= ,设切点坐标为 ,则切线斜率为k= , 所以切线方程为y- = (x-x0),又切线过点A(-5,0), 所以- = (-5-x0), 整理得(2x0+5)ln x0-x0-5=0, 即ln x0= = + , y=ln x在(0,+∞)上单调递增,y= + 在(0,+∞)上单调递减, 两个函数图象只有一个交点,故ln x0= 只有一个解,所以切线只有一条.故选B. 目 录 7.(2025湖南岳阳质检(二))已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+4)x+1 只有一个公共点,则a=___________.     0或2     目 录 解析　∵y=x+ln x,∴y'=1+ , ∴y'|x=1=1+1=2,即切线的斜率为2, 由点斜式得切线方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1, 联立 消去y得ax2+(a+2)x+2=0, ∵直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+4)x+1只有一个公共点, ∴方程ax2+(a+2)x+2=0只有一个根, 当a=0时,方程为2x+2=0,只有一个根,满足题意; 当a≠0时,Δ=(a+2)2-8a=0,即(a-2)2=0,解得a=2.综上,a=0或a=2. 目 录 8.(2025山东青岛第一次适应性检测)已知函数f(x)=|ln x|图象的两条切线相互垂直,并分 别交y轴于A,B两点,则|AB|=_________.     2     解析　当x>1时, f(x)=ln x, f'(x)= ,当0<x<1时, f(x)=-ln x, f'(x)=- . 设函数y=f(x)的图象在点P(x1, f(x1))和Q(x2, f(x2))(x1<x2)处的两条切线互相垂直, 不妨设0<x1<1,x2>1,   则P(x1,-ln x1),Q(x2,ln x2), 目 录 所以kAP=- ,kQB= . 所以kPA·kQB=-1,即x1x2=1. 因为lPA:y-(-ln x1)=- (x-x1), 即y=- x+1-ln x1, lQB:y-ln x2= (x-x2), 即y= x+ln x2-1, 则A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1), 因为0<x1<1,且x1x2=1,所以|AB|=1-ln x1-(ln x2-1)=2-ln(x1x2)=2. 目 录 9.(2025浙江金丽衢十二校第一次联考)设函数f(x)=xex,若曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处(x0> 0)的切线与抛物线y=ex2有且仅有一个公共点,则x0的值为_________.     1     解析　因为f(x)=xex,所以f'(x)=ex+xex, 则曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率为k= +x0 , 则切线方程为y-x0 =( +x0 )(x-x0), 联立 消去y整理得ex2- (1+x0)x+  =0, 因为曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线与抛物线只有一个交点, 所以Δ=( +x0 )2-4e  =0,因为 >0, 目 录 所以等式两边同时除以 结果仍成立, 故 (1+x0)2-4e =0, (1+x0)2=4e , 因为x0>0,所以 = , 即 =2 ,则 (x0+1)-2x0=0, 令h(x)= (x+1)-2x,x>0, h'(x)=  (x+1)+ -2=  (x+3)-2, 显然h'(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h'(1)=0, 目 录 所以当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0, 故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 又h(1)=0, 所以h(x)存在唯一零点1,故x0=1. 目 录 10.(2025广东汕头二模)已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+2 025,g(x)=exf(x). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处的切线相同,证明:函数y=f(x)的图象在 (x0,y0)处的切线平行于x轴. 目 录 解析    (1)f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)], 由f'(x)=0得x=a或x=4-a, ①a=2时, f'(x)=3(x-2)2≥0, f(x)在R上单调递增; ②a<2时,当x<a或x>4-a时, f'(x)>0,当a<x<4-a时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,a),(4-a,+∞)上单调递增,在(a,4-a)上单调递减; ③a>2时,当x<4-a或x>a时, f'(x)>0,当4-a<x<a时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,4-a),(a,+∞)上单调递增,在(4-a,a)上单调递减. 综上,当a=2时, f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间; 目 录 当a<2时, f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a); 当a>2时, f(x)的单调递增区间为(-∞,4-a),(a,+∞),单调递减区间为(4-a,a). (2)证明:g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],y'=ex, 由题设得   解得f'(x0)=0,即y=f(x)的图象在(x0,y0)处的切线平行于x轴. 目 录 (2025河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量,对于平面曲线y= f(x),其曲率K= (y'是y的导数,y″是y'的导数),曲率半径ρ是曲率K的倒数,其表示 与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的 曲线做曲线运动时,向心加速度的大小为 .若该质点以恒定速率v0沿形状满足y=x3-x2 的光滑轨道运动,则其在点(0,0)处的向心加速度的大小为     ( ) A.  　     B.2 　     C.  　    D.       B     练风向 目 录 解析　设f(x)=x3-x2,则f '(x)=3x2-2x, f ″(x)=6x-2,所以f '(0)=0, f ″(0)=-2,则曲线在点(0,0)处 的曲率K= =2,曲率半径ρ= , 故曲线y=x3-x2在点(0,0)处的向心加速度的大小为 =2 . 故选B. 目 录 $