培优8 爪型三角形问题（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形与平面向量综合问题，依据高考评价体系梳理正弦定理余弦定理应用、三角形面积中线角平分线计算、向量点积与最值等核心考点，通过近五年真题分析明确高频考点权重，归纳爪型三角形中线最值等常考题型，体现高考备考针对性。 课件亮点在于真题驱动与素养导向，精选2025年西南名校联盟等模拟题，以角平分线面积法、中线长公式等突破方法，培养学生数学思维与运算能力，如用向量坐标法求解动态点积范围，帮助学生掌握解题技巧提升得分率，为教师提供考点突破实例与学情诊断依据，助力高效复习。

培优8 爪型三角形问题 数 学 新高考专用 1.(2025西南名校联盟联考)已知△ABC的周长为6,BC=2,∠ACB的平分线交AB于D,BD= CD,则cos B= ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　因为CD平分∠ACB,BD=CD, 所以∠ACB=2B,在△ABC中,由正弦定理可得 = ,即 = ,则cos B=  , 因为△ABC的周长为6,BC=2,所以设AB=2+m,AC=2-m(0<m<2), 由余弦定理的推论得cos B= = ,解得m= ,所以cos B= ,故选C. 解析　由∠ACB= ,∠ACD= , 得∠BCD= - = . 设A、B、∠ACB的对边分别为a、b、c.  = = =2, 因为sin∠BCD= ,所以a=b. 根据余弦定理,可得c2=a2+b2-2abcos  =a2+b2+ab=3a2, 因为AD=2DB=2,所以DB=1,可得c=AD+DB=3, 所以3a2=c2=9,解得a= ,即b=a= , 所以△ABC的面积S= absin∠ACB= × × ×sin  = .故选B.   3.(2025湖北武汉四调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C= ,c=6,△ABC的 面积为 ,D为边AB上一点,CD是∠ACB的平分线,则CD= ( ) A. 　    B.1　    C. 　    D.      B     解析    S△ABC= absin  = ab= ,∴ab=4,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos  ,即36=a2+b2- 4,∴a2+b2=40, 即(a+b)2-2ab=40,∴(a+b)2=48,∴a+b=4 .又 absin  = b·CDsin  + a·CDsin  ,∴CD = = =1,故选B. 4.(2025重庆名校联盟第一次联考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c -a)·sin A=csin C-bsin∠ABC,b=3,则AC边上中线长度的最大值为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　因为(c-a)sin A=csin C-bsin∠ABC, 所以由正弦定理可得(c-a)a=c2-b2, 即a2+c2-b2=ac,则cos∠ABC= , 因为∠ABC∈(0,π),所以∠ABC= , 又b=3,所以a2+c2-9=ac,因为ac≤ ,当且仅当a=c=3时等号成立, 所以a2+c2-9≤ ,则a2+c2≤18. 设AC边上中线的长度为h,则2h= = ≤ =3 ,(可借助向 量理解) 所以AC边上中线长度的最大值为 .故选C. 5.(多选)(2025河北石家庄二模)点M在△ABC所在平面内,下列说法正确的是  ( ) A.若 · <0,则△ABC为钝角三角形 B.若 + + =0,则M为△ABC的重心 C.若 =  +  ,则 =  D.若△ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,点E在线段BC上运动,则 · 的取 值范围为           ABD 解析　对于A,因为 · =| |·| |cos∠BAC<0,所以∠BAC> ,则△ABC是钝角三角 形,A中说法正确; 对于B,取BC的中点D,则 +2 =0,则AM=2MD,取AC的中点E, 同理BM=2ME,故M为△ABC的重心,B中说法正确; 对于C,因为 =  +  ,所以 - =  -  ,即 =  ,故 = ,C中说法 不正确; 对于D,取BC的中点O,连接OA,以 的方向为x轴正方向,以 的方向为y轴正方向建立 平面直角坐标系, 则M ,A(0, ),设E(t,0),t∈[-1,1], 则 =(-t, ), = ,则 · =-t + =t2+ + ∈ ,D中说法正确. 故选ABD. 6.(多选)(2025河北秦皇岛一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中b=3,且 b( sin A-cos C)=(c-a)cos B,AC边的中点为M,则     ( ) A.B=  B.S△ABC的最大值为  C.a+b+c的最小值为3+2  D.BM的最小值为      ABD     解析　对于A,因为b( sin A-cos C)=(c-a)cos B, 所以由正弦定理得sin B( sin A-cos C)=(sin C-sin A)cos B, 即 sin Bsin A-sin Bcos C=sin Ccos B-sin Acos B, 所以 sin Bsin A+sin Acos B=sin A, 因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 则 sin B+cos B=1,即2sin =1, 因为B∈(0,π),所以B+ ∈ ,所以B+ = ,即B= ,故A正确; 对于B,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=a2+c2+ac, 因为a>0,c>0,所以9=a2+c2+ac≥3ac,ac≤3,当且仅当a=c时等号成立, 因为S△ABC= acsin B= ac,所以 的最大值为 ,故B正确; 对于C,由B知9=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,则(a+c)2=9+ac, 所以(a+c)2=9+ac≤12⇒a+c≤2 ,当且仅当a=c时等号成立, 所以a+b+c的最大值为3+2 ,故C错误; 对于D,因为AC边的中点为M,所以 =  +  , 所以| |=   =  ,得| |=  ,因为ac≤3, 所以| |的最小值为 ,故D正确.故选ABD. 7.(2025山东潍坊诊断性调研监测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b+c)· sin B=(a+c)(sin A-sin C). (1)求A; (2)若∠BAC的平分线AD与BC交于点D,且b=2,AD=1.求△ABC的面积. 解析    (1)因为(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C), 所以由正弦定理得(b+c)b=(a+c)(a-c),整理得b2+c2-a2=-bc,所以cos A= = = - , 因为A∈(0,π),所以A= . (2)因为∠BAC的平分线为AD, 所以∠BAD=∠CAD= . 因为S△ABC=S△ACD+S△ABD, 所以 bc·sin  = b·AD·sin  + c·AD·sin  , 因为b=2,AD=1,所以 ×2c× = ×2×1× + c×1× ,解得c=2, 所以S△ABC= bcsin∠BAC= ×2×2× = . 8.(2025河南郑州二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(cos A+ sin A)= a+c. (1)求B. (2)若a=2,c=5,AC,AB边上的中线BE,CF相交于点M. ①求BE; ②求cos∠EMF. 解析    (1)由题意及正弦定理得sin B·(cos A+ sin A)=sin A+sin C, ∴sin Bcos A+ sin Bsin A=sin A+sin(A+B), ∴ sin Bsin A=sin A+sin Acos B, ∵sin A≠0,∴ sin B=1+cos B,∴sin = . ∵- <B- < ,∴B- = ,即B= . (2)①∵ = ( + ),∴| |=  =   = . ②在△BCF中,由余弦定理得CF2=BC2+BF2-2BC·BFcos∠FBC= ,则CF= . 解法一:由题知M是△ABC的重心, ∴CM= CF= ,BM= BE= , 在△BMC中,由余弦定理的推论得cos∠BMC= = ,即cos∠EMF=  . 解法二:∵ =  - , ∴ · = ·   -  = | |2-  · - | |2=3. ∴cos∠EMF=cos< , >= = . $