精品解析：山东省枣庄市薛城区 2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

学业综合素养监测 九年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 2. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴，   故选：A ． 3. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】先找出符合的所有情况，再得出选项即可． 【详解】如图所示， 共有12种情况，恰好摆放成如图所示位置的只有1种，所以概率是， 故选A． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，能找出符合的所有情况是解本题的关键． 4. 如图，在中，点D，E分别在上，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的性质是解题关键．先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， ， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 6. 对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，得出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 8. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体的知识，理解题意是解决本题的关键．根据从正面看得到这个组合体中小正方体的个数最多或最少时的形状即可． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体最多时，如图： ∴（个）， 这个几何体最少时，如图： （个）， ∴， 故选B． 9. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 10. 如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．其中结论不正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质及证，则，从而可以判定①；证明，得，根据得，从而可判定②；证明，得，则有，再证明，得，则可判定③；由，得到，求得，证明，可求出，，再证明，从而求得，从而可判定④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故②错误； 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即，故③正确； 正方形的边长是， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ，， ， ，即， ， ，故④正确， 故不正确的有个， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，将比例式转化为等积式，再代入已知条件进行计算，即可求解． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 12. 一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为___________支． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键． 根据用频率估计概率的原理，摸到黑笔的频率稳定在，即概率为，设蓝笔数量为x支，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设盒子中蓝笔有x支，则总笔数为支， 根据题意得，摸到黑笔的概率为， ∴ 解得， 经检验，是原方程的解， 故盒子中蓝笔有8支． 故答案为：8． 13. 已知和是方程的两个解，则的值为___________． 【答案】2030 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到，把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2030． 14. 如图，在中，，为斜边上一动点，，垂足分别为，则线段的长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形判定和性质，垂线段最短，连接，勾股定理求出的长，证明四边形为矩形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到当时，最短，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，由图可知：， ∴， 连接， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为斜边上一动点， ∴当时，最短，此时最小， 此时：，即：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 15. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过落回地面． 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN为等腰三角形． 【答案】或（6-2）或 【解析】 【分析】分情况讨论：①点M在AB上，点N在BC上时，BM＝BN，列出方程其解即可；②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN2，然后根据BM＝MN列出方程求解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN＝BM，然后列式求解即可． 【详解】解：分情况讨论： ①如图1所示： 点M在AB上，点N在BC上时，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t， ∵BM＝BN， ∴5﹣2t＝t， 解得t＝； ②如图2所示： 点M在BC上，点N在CD上时，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2， 在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， 整理得，t2﹣12t+28＝0， 解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）； ③如图3所示： 点M、N都在C、D上时，t＞3.5， 若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t， 此时BM2＝（2t﹣7）2+22， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解， 若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5， 此时BN2＝（t﹣2）2+22， ∵BN＝MN， ∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2， 整理得，t＝（不符合题意，舍去），； ④如图4所示： 点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2， 由等腰三角形三线合一的性质，CN＝BM， ∴t﹣2＝（5﹣2t）， 解得：t＝； 综上所述，当运动时间为或（6﹣2）或秒时，△MBN为等腰三角形． 故答案或（6﹣2）或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；难点在于要分情况讨论． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 按括号中的要求解下列一元二次方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法） （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法） 【答案】（1）∴x1＝﹣2+ x2＝﹣2﹣；（2）x1＝，x2＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）按配方法的步骤解一元二次方程即可； （2）找到a,b,c的值，求出的值，判断的符号，把a,b,c代入求根公式中即可. 【详解】解：（1）x2+4x+2＝0（配方法） x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝﹣2+4， （x+2）2＝2， ∴x+2＝， ∴x1＝﹣2+ x2＝﹣2﹣； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法） ∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，＝22﹣4×3×（﹣1）＝16， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和公式法是解题的关键. 18. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕，且，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的特点、图形的折叠、相似三角形的判定定理及性质等内容． （1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得，进而可证明； （2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解． 【小问1详解】 证明：折叠矩形的一边，使点落在边上的点处， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，， ， ． ， 即， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， ，（不合题意，舍去）． ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 证明： ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解： 又 ． 20. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； （2）在图②中的边上画一个点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知； （2）取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 21. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）50人；；补全条形统计图见解析 （2）80人 （3）；列表法见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． 小问2详解】 解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． 【小问3详解】 解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 23. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A．                     B．  C．                     D．  【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】[数学思考]D；[解决问题] 【解析】 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题]根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； [解决问题]， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 24. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E是对角线上一点，点F在延长线上，且，与交于点P，连接、． （1）求证：； （2）若，，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理、矩形的判定及正方形的判定，掌握相关判定及性质是解题关键， （1）证明是的中位线，即可得出结论； （2）①证明得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论； ②设，则，求出，根据勾股定理列方程求出，证明得出结论． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，， ， 是的中位线， ； 【小问2详解】 ①证明：在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∵点P恰好是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形； ②在平行四边形中，， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ， ， 中，， 在中，， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ∴矩形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业综合素养监测 九年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分． 1. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 2. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D，E分别在上，，若，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则（ ） A 21 B. 22 C. 23 D. 24 9. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 10. 如图，正方形边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．其中结论不正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为_________． 12. 一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为___________支． 13. 已知和是方程的两个解，则的值为___________． 14. 如图，在中，，为斜边上一动点，，垂足分别为，则线段的长度的最小值为__________． 15. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过______秒落回地面．（结果精确到） 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN为等腰三角形． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 按括号中的要求解下列一元二次方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法） （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法） 18. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕，且，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 20. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； （2）在图②中的边上画一个点，使． 21. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 23. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A．                     B．  C．                     D．  【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 24. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E是对角线上一点，点F在延长线上，且，与交于点P，连接、． （1）求证：； （2）若，，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若，求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $