精品解析：河南省长葛市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025～2026学年上学期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中两实数根之和为2的是（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ）． A. B. C. D. 4. 小马同学在绘制抛物线的图象时，将“3”看成了“”，则图象发生改变的是（ ）． A. 对称轴 B. 开口方向 C. 开口大小 D. 与y轴的交点 5. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ）． A. B. 9 C. D. 2 6. 若点，在抛物线（）上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某手机经销商2025年6月到9月的销量（部）分别是183，198，289，423，设从7月到9月该经销商手机销量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，是边长为4的等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填入答题卡相应的位置上． 11. 关于x的一元二次方程的一个根是－1，则______． 12. 二次函数的顶点坐标是________． 13. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 15. 已知二次函数（）图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列4个结论：①；②；③；④若t为任意实数，则有；其中正确的是________（只填写序号）． 三、解答题：本大题共8小题，满分共75分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 16. 解下列方程： （1） （2）（用公式法）； 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设该方程的两个实数根分别为，，若，满足，请求出k的值． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）作出与关于坐标原点O成中心对称的； （2）作出将向上平移4个单位得到的； （3）已知P是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，点P的对应点的坐标是________． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式后，________，________； （2）当时，求函数值y的取值范围． 20. 如图，为的直径，且于点．连接． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 21. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图1，和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点F． （1）如图1，请结合旋转“三要素”说明是经过怎样的旋转得到的？ （2）在图1中____________． （3）当绕点C沿逆时针方向旋转到图2时，的度数会发生变化吗？如果会发生变化，请说明理由？如果不会发生变化，请求出的度数． 23. 【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 （3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期中质量监测 九年级数学 注意事项： 1．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义、轴对称图形的定义是解决问题的关键． 根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形；根据中心对称图形的定义、轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形、也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形、不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形、是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形、也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中两实数根之和为2的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根与系数的关系，判别式．一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，且方程需有实数根，即判别式，分别计算各选项的两根之和及判别式，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，不符合题意； B、∵，∴，不符合题意； C、∵，∴ ，且，符合题意； D、∵，∴，，无实数根，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与y轴交点，横坐标为0． 将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A． 4. 小马同学在绘制抛物线的图象时，将“3”看成了“”，则图象发生改变的是（ ）． A. 对称轴 B. 开口方向 C. 开口大小 D. 与y轴的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数与错误函数的对称轴均为轴， 对称轴不变，故此选项不符合题意； B、原函数的开口向上，错误函数为开口向下， 开口方向发生改变，故此选项符合题意； C、原函数与错误函数的开口大小均由决定， 开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为， 与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：B． 5. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ）． A. B. 9 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：D． 6. 若点，在抛物线（）上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，先判断抛物线的开口方向、对称轴以及最大值，再结合点，分析，即可完成求解． 【详解】根据题意得：（）的开口向下，对称轴为 ∴当时，即在对称轴右侧，随着的增大而减小；当时，y取最大值，最大值为： ∵点，点在对称轴的右侧，即 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图形的性质，从而完成求解． 7. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到． 【详解】解：令圆心为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 在上， 量角器上点对应的读数是， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键． 8. 某手机经销商2025年6月到9月的销量（部）分别是183，198，289，423，设从7月到9月该经销商手机销量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从7月到9月份，该经销商手机销量的月平均增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：B． 9. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，是边长为4的等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，等边三角形的性质，能根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现是解题的关键． 根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现，再结合是等边三角形及旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为是边长为4的等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，， 所以，， 因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余3， 所以旋转2025次后点的位置与旋转3次后点的位置相同． 此时相当于点绕点旋转了，到点， 则旋转2025次后点的坐标为． 故选：C． 10. 已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填入答题卡相应的位置上． 11. 关于x的一元二次方程的一个根是－1，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】将x=-1代入方程解之即可． 【详解】解：将x=-1代入方程得 解得m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查利用一元二次方程的解求参数的值，解题关键是掌握一元二次方程解的含义． 12. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键． 根据顶点式直接求解即可． 【详解】解：∵是顶点式， ∴顶点坐标是， 故答案为： 13. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 直接利用一元二次方程的根与系数的关系求得，，代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边为斜边的一半）、图形旋转的性质（对应边相等）及勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度． 先在中，利用“角所对直角边为斜边的一半”得，再由勾股定理得；作，在中，结合（直角三角形两锐角互余），得、；由旋转性质知，在中用勾股定理求出，进而得；最后由，算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴，； 过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 已知二次函数（）图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列4个结论：①；②；③；④若t为任意实数，则有；其中正确的是________（只填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据开口方向和与y轴的交点位置可得，再由对称轴公式可得，据此可判断①；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断②；根据时，，可判断③；根据当时，函数有最小值，最小值为，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题：本大题共8小题，满分共75分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 16. 解下列方程： （1） （2）（用公式法）； 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根，， 解得：，． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设该方程的两个实数根分别为，，若，满足，请求出k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）作出与关于坐标原点O成中心对称的； （2）作出将向上平移4个单位得到的； （3）已知P是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，点P的对应点的坐标是________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图中心对称变换，作图平移变换，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （1）作出点、、关于原点O的对称点、、，得到； （2）把点、、分别向上平移4个单位长度得到点、、，得到； （3）按照两次位置变换的顺序依次求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：关于坐标原点O成中心对称的点坐标为，再向上平移4个单位长度得到点，即， 故答案为：． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式后，________，________； （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1）1；4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点及配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （2）根据二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解： ∴， 故答案为：1；4； 【小问2详解】 由（1）得， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴函数最大值为：， 当时，， 当时，， ∴当时，． 20. 如图，为的直径，且于点．连接． （1）求证：； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理． （1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 21. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元 （3）当时，有利润的最大值为3600元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． 【小问3详解】 每天的利润为， 则 ， 当时，有利润的最大值为3600元． 22. 如图1，和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点F． （1）如图1，请结合旋转“三要素”说明是经过怎样的旋转得到的？ （2）在图1中____________． （3）当绕点C沿逆时针方向旋转到图2时，的度数会发生变化吗？如果会发生变化，请说明理由？如果不会发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）是绕点C顺时针旋转得到的 （2） （3）的度数不变，； 【解析】 【分析】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （2）根据，得到，根据三角形的内角和定理得到，即可解答； （3）根据，得到，根据三角形的内角和定理得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； 【小问2详解】 解：设与交于点， 由（1）可得 ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：的度数不变，； 设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 23. 【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 （3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】 （1）（2）点P离地面的距离为2.375 m．（3）支架的最大长度为1.125 m． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，配方法求最值等，解题的关键时正确理解题意，熟练掌握相关知识点以及配方法求最值． （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】（1）由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． （2）当时，，即点P离地面的距离为． （3）由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $