专题15 勾股定理中的的最短路径模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

该初中数学讲义以“勾股定理中的最短路径”为核心，通过分类建模构建知识体系，用框架图系统梳理圆柱、长方体、阶梯、将军饮马与空间最短路径四大模型，明确各模型的条件、结论及证明过程，结合“蚂蚁爬行”等生活情境和中考真题引入，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“情境化建模+分层训练”设计，如圆柱表面展开求最短路径、长方体分类讨论展开方式等例题，培养学生空间观念和几何直观。练习题涵盖基础应用与综合拓展，如阶梯爬行、U形池滑行等实际问题，帮助不同层次学生提升推理意识，教师可据此实施精准分层教学，支持高效单元复习。

专题15 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.圆柱中的最短路径模型 5 模型2.长方体中的最短路径模型 7 模型3.阶梯中的最短路径模型 10 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 13 15 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．      图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 例2（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点B处，则蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿过点A的竖直直线将圆柱侧面展开，由两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，沿过点A的竖直直线将圆柱侧面展开， 由题意得，， 由两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为， 故选：C． 例3（25-26八年级上·河南·期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的综合应用，先分析圆柱侧面展开图，确定展开图中点A、P两点的位置，最后再利用勾股定理计算出最短距离即可． 【详解】解：如图所示， 圆柱的底面周长为，则侧面展开图的一半为， ∵高， ∴，， ∴从A沿着圆柱体的表面到点P的最短距离为， 故选：B． 例4（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点，其中离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算，先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接的线段长，由勾股定理求得的长. 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中分别是的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题． 把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离． 【详解】解：把圆柱的侧面展开如图，连接， ∵底面圆的直径，高，为的中点， ∴圆柱底面圆的半径是，， ∴（）， 在中，（）， ∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为. 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，长方体表面展开图，分类讨论是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质连接，结合勾股定理计算比较即得，即可． 【详解】解：如图，连接， 当小虫从处爬到处经过侧面时， 由于底面是正方形， ∴4个侧面相同． ∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等． 只计算经过前面和右面最短路径，如图1． ∵点C是中点，， ∴． ∵底面宽为8， ∴． ∵， ∴． 当小虫经过底面和侧面时，如图2， ， ∴． ∵， ∴最短路程是． 故选：B．    例2（24-25八年级上·全国·期中）如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 例3（25-26七年级上·山东济南·期中）一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】分别从三个路径计算讨论，得出结果再比较最短路径． 【详解】解：分三条路径考虑： ①从正面和上底面爬行，如图： 此时，， 则； ②从正面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则； ③从下底面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用，解题关键是灵活考虑最短路径的几种不同情况分类讨论计算再比较大小． 例4（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 例5（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（2025八年级上·全国·专题练习）一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为8， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故选：B 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米． 故选：D 例3（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去觅食，那么它爬行的最短路程是多少？ 【答案】100cm 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， AB=（cm）． 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是100cm． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 例5（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为，在水杯下底面A处有一只蚂蚁，想吃到水杯内侧B处的食物，已知B处距下底，则蚂蚁爬行的最短路径长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱形水杯展开图如下，关于水杯上边沿的对称点为点， ∵一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为， ∴，， ∵B处距下底， ∴，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径， 故答案为：． 例2（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 例3（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    【答案】17 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图和勾股定理．将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键． 将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段，由勾股定理计算即可． 【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示， 由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段， 此时， ∵，， ∴， ∴蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是． 故答案为：17．    例4（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，掌握将运动轨迹转化到一个平面上是解题的关键． 需将该U形池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则，， 在中，由勾股定理，可得， 故他滑行的最短距离为． 例5（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)蚂蚁的爬行路径作图见解析，，Ⅱ； (2)，；，； (3)圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理，解题的关键是找出两种路径对应路程的表达式． （1）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算路径Ⅱ对应的路程，与路径Ⅰ对应的路程比较即可； （2）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系，由圆柱高与底面直径相加可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系； （3）用圆柱的半径和高分别表示出两种路径对应路程，列方程，化简整理即可． 【详解】（1）解：如图，线段为蚂蚁爬行的路径Ⅱ， ∵图中，圆柱体的高，底面直径， ∴图中，， ∴， ∵， ∴该蚂蚁爬行的最短路程应是路径Ⅱ， 故答案为：，Ⅱ． （2）解：， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， ， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，；，． （3）解：∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅰ的路程为，蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅱ的路程为， ∵蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， ∴， ∴， ∴， 答：圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题关键是将长方体展开，用勾股定理求出壁虎所走的最短距离．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将点A和点B所在的面展开，则为长方形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图，展开前面与上面， ∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长、宽、高， ∴，，， ∴． 如图展开前面与左边，过作于， ∵，， 则； 其余的展开方式要展开三个面，更长， ∵， ∴则最短距离为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中， 根据题意，得 ； 第三种展开图中， 根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体截面图、垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，易得当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，且垂直平分线，利用勾股定理和直角三角形的性质解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点， 当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短， 此时，， ∴垂直平分线， 在中，， ∴，， 在 中，， ∴从顶点爬行到顶点的最短距离为． 故选：D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较． 【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的氛围，小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，则将圆柱表面切开展开呈长方形，螺旋线的长为七个长方形并排后的长方形的对角线长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线的长为七个长方形并排后的长方形的对角线长， 设七个长方形并排后的长方形的对角线长为， ∵圆柱高，底面周长， 由勾股定理得， ∴或， ∴七个长方形并排后的长方形的对角线长为， ∴小明需要准备的这根彩带的长至少为， 故选：B． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，得出正确的展开图是解题的关键． 先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵矩形的长为6、宽为3， ∴． 故选B． 8．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离， 故选：A． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 【答案】17 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 将半圆柱的凸起部分展平，则线段的长度为半圆周长，根据勾股定理即可解得． 【详解】解：如图，将半圆柱的凸起部分展平，得到线段、，连接． 半圆柱的底面直径为， 半圆周长为． ， ． ， 在中，． 蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：17． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是圆柱体水晶杯侧面展开图的一半， 作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，， 作交的延长线于点D，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴即为最短距离， ∵底面周长为， ∴， ∵高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于，则利用勾股定理可计算出，然后根据两点之间线段最短求解． 【详解】解：把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图， 则， ∵， ∴（）． ∴这条花带的长度至少为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ； 【答案】/5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边， 由题意得，，， 在中，， 即它所走的最短路线长度为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据题意可得，，，线段即为滑行的最短路线长．在中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【详解】解：将半圆面展开可得： ， 在中，， 即滑行的最短路线长为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 【答案】图见解析，蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行 【分析】本题考查勾股定理的实际应用—最短路径问题，利用轴对称解决线段和最小的问题，将圆柱体展开，作于O，作A点关于直线的对称点，连接，则即为所求，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱沿着A，B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图，作于O，作A点关于直线的对称点，连接，则即为所求； 由图和题意可知：，，， ∴， 由勾股定理，得； 故蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行． 16．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 17．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 18．（24-25八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 19．（2023八年级下·全国·专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 【答案】(1)能 (2)dm 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出的长度，再进行比较即可得； （2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果． 【详解】（1）如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴长为dm的铁棒能放进去； （2）如图2所示，将前面与右侧面展开， dm． 如图3所示，将前面与上面展开， dm， 如图4所示，将下面与右侧面展开， dm， ∵， ∴爬行的最短路程是dm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：． 整理，得； 若选图3，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出． 当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③： ①② ③ ∵， ∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5 【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径； （2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长． 【详解】（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示： （2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是： ， 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】100cm 【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解. 【详解】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角△中，，， ． 最短路线长为． 【点睛】本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离. 23．（24-25八年级下·贵州黔西·阶段练习） (1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______； (2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】(1) (2)昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）将长方体展开，连接，结合题意，利用勾股定理求解即可； （2）由题意得最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的长、宽、高分别为，，， ∴这根细线最短的长为：m； 故答案为： （2）解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟， 如图，在中， ∵长方体的棱长分别为，， ∴cm，cm，cm，cm， ∴， 解得：． 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解本题的关键． 24．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.圆柱中的最短路径模型 5 模型2.长方体中的最短路径模型 7 模型3.阶梯中的最短路径模型 10 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 13 15 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．   图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 例2（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点B处，则蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·河南·期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是（   ） A． B． C． D． 例4（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点，其中离上沿，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短路程是多少？ 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（    ）． A．25 B．20 C．24 D．28 例2（24-25八年级上·全国·期中）如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26七年级上·山东济南·期中）一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 例4（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 例5（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（2025八年级上·全国·专题练习）一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 例3（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是 ． 例4（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去觅食，那么它爬行的最短路程是多少？ 例5（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一只无盖圆柱形水杯高为，底面周长为，在水杯下底面A处有一只蚂蚁，想吃到水杯内侧B处的食物，已知B处距下底，则蚂蚁爬行的最短路径长 ． 例2（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 例3（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长，宽的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是 ．    例4（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一名滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离．（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3） 例5（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是多少米？（　　） A．15 B． C．13 D．10 2．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的氛围，小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（  ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（    ） A．10 B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 10．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 12．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ； 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 15．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 16．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 17．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 18．（24-25八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 19．（2023八年级下·全国·专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 20．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计） 23．（24-25八年级下·贵州黔西·阶段练习） (1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______； (2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 24．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 25．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $