专题09 勾股定理及其逆定理的应用9大重难问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建勾股定理应用体系，覆盖9类核心题型与压轴挑战，实现从基础理解到实际建模的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|明确直角三角形判定与构造，强调模型转化（如对称、展开图）|从定理原理（a²+b²=c²）到实际问题抽象，形成“判定-建模-计算”逻辑链| |题型归纳|9类|每题型配“操作步骤”（如台风问题作垂线求最短距离，最短路径展开立体图形）|按“基础应用-实际场景-逆定理判定”递进，覆盖网格、运动、最值等中考高频场景| |压轴挑战|综合题|融合动态几何与多知识点（如折叠、旋转），强化分类讨论|通过复杂情境提升数学思维（推理/运算）与建模能力，对接中考压轴题要求|

专题09 勾股定理及其逆定理的应用 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 利用勾股定理理解三角形 题型2 判断是否受到台风影响 题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型4 利用勾股解决梯子移动问题 题型5 用勾股定理解决最短路径问题 题型6 勾股定理的其它应用 题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 题型8 利用勾股定理逆定理求解 题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理是研究直角三角形数量关系与判定的重要工具。应用勾股定理时，首先要找准直角三角形，明确斜边与直角边，若已知两边可求第三边；应用逆定理时，则需验证三角形三边是否满足 a²+b²=c²，从而判定直角三角形。实际问题中，要善于把情境抽象为直角三角形模型：台风影响、旗杆高度、梯子滑动、最短路径等问题，通常可通过构造垂线、利用对称或展开图等方式转化为直角三角形。网格图中，可把格点线段看作直角三角形的斜边，用“水平格数²+竖直格数²=斜边长²”快速计算。解题时要注意单位的统一、结果的合理性检验，以及分类讨论（如梯子滑动时的两种位置、最短路径的多种展开方式）。 题型1 利用勾股定理理解三角形 ◆题型1 利用勾股定理理解三角形 题型模版 1. 确定直角三角形的斜边与直角边。 2. 已知两边用 a²+b²=c² 求第三边；已知三边判断是否为直角三角形。 1．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）先阅读下列材料，再解决相关问题： 【阅读理解】若两个角，满足，则称，为一组“绝配角”．绝配角的组合有很多种，条件比较隐秘，需要经过倒角以后才会出现．借助绝配角，可以通过构造等腰三角形，或者通过平角构造角平分线与全等三角形，实现角和线段的转移．常用辅助线有两类： ①绝配角共顶点，构造平角，利用角平分线构造全等；②绝配角不共顶点，构造以为顶角（或以为底角）的等腰三角形． 【解决问题】如图，在中，，，点在边上，作，且． (1)判断与是否为一组绝配角，并说明理由； (2)若，，试求线段的长． 【答案】(1)与是一组绝配角． 理由如下： 设，则． 在中，， ． ． 与是一组绝配角； (2) 【分析】（1）设，则．根据绝配角的定义，分别表示两个角并计算两个角的和即可； （2）延长至，使，连接，可以证得，得到，，，从而根据互补的性质可以得到，进而用勾股定理可以求出的长，即可求解． 【详解】（1）略； （2）延长至，使，连接． ， ． ， ． 又， 在和中， ， ，，， 在中，， 由（1）可得：， ． ， ， 在中，， ∴， ∴在中，． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 （1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形． 【特例研究】 （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长． 【答案】 【问题背景】证明：在中，，点为边的中点， ∴， 同理，可证， ∴， ∴为等腰三角形． 【特例研究】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【拓展延伸】线段的长为 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线定理等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． 【问题背景】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，即可证出结果；【特例研究】根据线段的等量关系，得出，，由等腰直角三角形，易证出，结合三角形内角和，可得出，即可证明出平分；【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：【问题背景】:略 解：【特例研究】：略 解：【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， 令，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 令，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵点为中点， ∴， 同理，可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 故为直角三角形， ∴， 故线段的长为． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）【概念学习】规定：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等腰分割线． 【概念理解】如图1，在中，，的平分线交于点，过作，交于点，求证：为的等腰分割线． 【概念应用】如图2，在中，，是的等腰分割线，且，求的面积． 【问题探究】在中，，若存在一条线段是的等腰分割线，请求出所有符合条件的的度数． 【答案】概念理解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即为等腰三角形， ∴为的等腰分割线． 概念应用：； 问题探究：或或或． 【分析】概念理解：由，易证，再根据角平分线平行线易证，即可得证； 概念应用：易得、是等腰三角形，则，，然后利用勾股求出，即可得解； 问题探究：分是等腰分割线时、是等腰分割线时、是等腰分割线时、是等腰分割线时四种情况讨论，依次画出图形，进而求解即可． 【详解】概念理解：略 概念应用：解：如图， ∵是的等腰分割线， ∴、是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 问题探究：解：①如图，是等腰分割线时，则此时， ∴，， ∵， ∴； ②如图，是等腰分割线时， 则此时， 设，则， ∴， ∴， 则有， 解得，即； ③如图，是等腰分割线时，则此时，， 设， ∴， ∴， 则， 解得，即； ④如图，是等腰分割线时，则此时，， 设，则， ∴， ∴， 解得，即； 综上，所有符合条件的的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 4．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：由题意得，，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可证明； （2）等边三角形的性质结合等角的余角相等即可求解； （3）作交的延长线于点，证明，推出，再证明，求得，根据，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当等边三角形时，， ∴， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：作交的延长线于点， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 题型2 判断是否受到台风影响 ◆题型2 判断是否受到台风影响 题型模版 1. 把台风中心与受影响点连线，作垂线求最短距离。 2. 比较最短距离与影响半径，判断是否在影响范围内。 5．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1) 观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 7．（25-26八年级上·全国·阶段检测）台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用三角形面积得出的长，进而得出海港受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， 是直角三角形， 如图， 过点作于， 是直角三角形， ， 即， ． 距离台风中心及以内的地区会受到影响，而， 海港会受到台风影响． （2）解：如图所示， 在直线上取点，连接， 使， 则， ， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1) 农场A会受到台风的影响，理由：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）略 （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 ◆题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型模版 1. 把拉线、旗杆、地面构成直角三角形。 2. 利用拉线长度与拉线到旗杆底部距离求旗杆高度。 9．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 米， 焊接的钢索的长为米． 11．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】(1)①；；②风筝离地面的垂直高度为米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米. ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 12．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 题型4 利用勾股解决梯子移动问题 ◆题型4 利用勾股解决梯子移动问题 题型模版 1. 梯子长度不变，墙、地面、梯子构成直角三角形。 2. 用勾股定理建立方程，求滑动距离或高度变化。 13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 【答案】(1)17.62米 (2)他应该往回收线7米 (3)风筝高度上升，理由见详解 【分析】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键． （1）首先在中，利用勾股定理求出的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度； （2）首先明确风筝沿方向下降11米后对应的的高度，即可在新的中，求出的长度，即可求出他应该往回收线多少米； （3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为米，风筝线长度变为米，即可求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降． 【详解】（1）解：根据题意可得：米，米，， ∴在中，（米）， ∵小明的身高为1.62米， ∴（米）， 故答案为：17.62米； （2）解：如图， ∵风筝沿方向下降11米， ∴此时（米）， ∴此时（米）， ∴应该往回收线：（米）； （3）解：风筝高度上升，理由如下： 由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为米，风筝线长度变为米， ∴此时竖直高度为， ∴风筝的总高度为， ∵， ∴随t的增大而增大， ∴风筝高度上升． 14．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是_______________． 【答案】140 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【详解】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 15．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 16．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮A的垂直距离．如图②，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用．先利用勾股定理求出初始状态下绳子的总长度，再求出物体C升高后的长度，最后求出滑块B向左滑动的距离即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 根据题意得，，，， ∴， ∴， 即滑块B向左滑动的距离为． 题型5 用勾股定理解决最短路径问题 ◆题型5 用勾股定理解决最短路径问题 题型模版 1. 把立体图形表面展开成平面图形。 2. 在展开图中用“两点之间线段最短”结合勾股定理求最短路径。 17．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【答案】(1) 即为所求； (2) 直线即为所求； (3)． 点即为所求， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形的高的定义画出图形； 取的中点，作直线即可； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：由对称可知， ， 当点、、三点在同一条直线上时的值最小， 最小值的长． 故答案为： 20．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 题型6 勾股定理的其它应用 ◆题型6 勾股定理的其它应用 题型模版 1. 根据题意抽象出直角三角形模型。 2. 灵活运用勾股定理列方程求解。 21．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 22．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 23．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 24．如图，以为斜边作等腰，再以为斜边在外侧作等腰，如此继续，得到个等腰直角三角形，则与面积的比值是______． 【答案】128 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，继而推出，逐步推出，，根据规律可得，即可得解． 【详解】解：在等腰中，， ∴， 即， 同理：，，…， ∴， ∴． 题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 ◆题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 题型模版 1. 用网格计算三角形三边长的平方。 2. 验证是否满足 a²+b²=c²，判定是否为直角三角形。 25．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，请按下列要求完成作图． (1)在图①中，以为边画直角三角形，使，且点在格点上； (2)在图②中，以为边画锐角三角形，使，且点在格点上； (3)在图③中，以为边画钝角三角形，使，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为边画直角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是点是直角顶点，另一种情况是点是直角顶点； （2）以为边画锐角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是以点为顶点构造等腰直角，另一种情况是以点为顶点构造等腰直角； （3）以为边画钝角三角形，使，且点在格点上，有两种情况，一种情况是以为顶点构造等腰直角，另一种情况是以点为顶点构造等腰直角． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作且，连接， 则为等腰直角三角形，， ； 如下图所示，过点作且，连接， 则为等腰直角三角形，， ； （2）解：如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 锐角即为所求； 如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则， 锐角即为所求； （3）解：如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 钝角即为所求； 如下图所示，借助网格构造等腰直角， 由网格可知且， 则有， 钝角即为所求； 26．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】(1) ①如图1中， 直线即为所求； ② (2) 如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解：① 略 ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2） 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 27．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为； (3)在图③中，的面积为． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示： 【详解】（1）解：由网格的特性可知，、、， 、， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ； （3）解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ． 28．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一个格点三角形，使得，，． (2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可知，当两条直角边长度分别为1和2时，斜边为，当两条直角边长度分别为2和3时，斜边为，由此作图即可； （2）可以考虑作一个腰长为的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： 题型8 利用勾股定理逆定理求解 ◆题型8 利用勾股定理逆定理求解 题型模版 1. 根据已知条件求出三角形三边。 2. 验证三边关系，判定直角三角形并求角。 29．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“和谐共存线”，把这个四边形叫做“和谐共存四边形”． (1)【概念理解】如图1，四边形中，，，，，求证：四边形是“和谐共存四边形”． (2)【模型构建】如图2，四边形与四边形都是“和谐共存四边形”，且，，，对角线，分别是这两个四边形的“和谐共存线”，试说明与的数量关系． (3)【思维拓展】如图3，四边形是“和谐共存四边形”，对角线是“和谐共存线”．已知为等腰直角三角形，且，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ∴四边形是“和谐共存四边形” (2)解：．理由： 由题意知，和都是等腰直角三角形， ，． ， ， ， ． (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再证明是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）根据“”证明即可得出结论； （3）分两种情况：当时，如图，以为腰向上作等腰直角三角形，当时，如图，以为腰向下作等腰直角三角形，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意知，是等腰直角三角形， 当时，如图，以为腰向上作等腰直角三角形，连接， 由（2）同理得， ， ，是等腰直角三角形， ，． ， ． 由勾股定理，得， ； 当时，如图，以为腰向下作等腰直角三角形，连接． 同理可得，，， ， ． 综上所述，的长为或． 30．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 31．如图，在四边形中，，且． (1)求四边形的面积（结果保留根号）． (2)将沿翻折至，如图所示，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ． 又， ． 为直角三角形，． ， ； （2）解： 过点D作，垂足为， ， 根据折叠可知， ． ． 设，在中，． ， ． ． 32．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在中，． (1)如图1，P为线段上靠近B的三等分点，是等边三角形，求； (2)如图2，P为射线上的动点，探究与的数量关系； (3)如图3，P为直线上的动点，，将绕点A逆时针旋转到，作中点R，探究的面积． 【答案】(1)8 (2)当点P在线段上时，；当点P在射线上时， (3)的面积为2 【分析】（1）作，根据等边三角形的性质，得出、，再根据三等分点求出和，从而算出的值，最后根据勾股定理，得到，，计算即可； （2）分两种情况：如图1，当点P在线段上点时，过点作交于点，得出，再根据线段之间的关系，计算可得，利用勾股定理得，从而得到，计算即可求解；如图2，当点P在射线上时，作，根据等腰三角形的性质，得出，再根据线段之间的关系，计算可得，利用勾股定理得，从而得到，计算即可求解； （3）连接、，取，的中点、，连接，，利用勾股定理的逆定理和旋转可得和是等腰直角三角形，求出线段、，再利用“”可证，从而得到，，再根据中位线定理得，进而得到，最后根据面积公式和等量代换，分别用表示出、和，根据“P为直线上的动点”，分三种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， 是等边三角形，， ， ， ， P为线段上靠近B的三等分点， ，， ，， 在中，， 即， 在中，， 即， ； （2）解：分两种情况： 如图1，当点P在线段上时，过点作交于点， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，，     ∴； 情况二：如图2，当点P在射线上时，过点作交于点， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ； （3）姐：如图，连接、，取，的中点、，连接，， 由旋转得，，，即是等腰直角三角形， ， 是的中点， ， ，， ，即， ，即是等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， ，即， 、分别是、的中点， ，， ， ， 在，， ， 是等腰直角三角形，是的中点， ， ， P为直线上的动点， 分以下三种情况讨论的面积， 第一种情况，如图，当点在点左边时， 由图可得， ， ， 则 ； 第二种情况，如图，当点在线段上时， 由图可得， ， ， 则 ； 第三种情况，如图，当点在点的右边时， 由图可得， ， ， 则 ； 综上可得：的面积为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的变化，中位线定理，三角形面积公式，用割补法求面积等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 ◆题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 题型模版 1. 从实际问题中提取三角形三边长度。 2. 用逆定理判断形状，进而解决方向、距离等问题。 33．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 34．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 35．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 36．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 38．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，，，在上分别取点D、E，使线段将分成面积相等的两部分，则长度的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、垂线段最短、正弦的定义、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先用勾股定理逆定理判定为直角三角形，可得，面积为30．如图：过C作垂足为，由垂线段最短可知的最小值为，运用等面积法可求得；然后求出，进而验证是否符合题意即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，．面积为． 过C作垂足为， 由垂线段最短可知的最小值为， ∵， ∴，解得：； 假设符合题意，即，作于点H， ， ， ， ∵的面积为， ∴，解得：， ∴点符合题意， ∴的最小值为． 故答案为：． 39．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 【答案】 【分析】将沿着竖直方向平移2米至，连接，则的最小值转化为的长．需先根据两点的直线距离和垂直距离求出水平距离，再在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移2米，即平移到，连接，．过点作交延长线于点，连接 ∵将沿着竖直方向平移2米，即平移到， ∴，米，， ∴，即． ∵河的两岸互相平行，垂直于河岸，， ∴与河的两岸平行，垂直于河岸， ∵，两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米， ∴，两点在竖直方向上的距离为（米），即（米）， ∴（米）， 在中，米，米，（米）， 在中，（米）， ∴， 即的最小值是米． 40．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【详解】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键． 秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可． 【详解】解：设， ∵绳索长度不变， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中，，代入得， ， 解得，， 故答案为：． 42．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【分析】（1）先计算出的运动时间，再求出的速度即可； （2）先计算出提速后的速度，再计算出、的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验即可； （3）利用勾股定理的逆定理可判断，使用面积法可计算出，再使用勾股定理求出，则，分别计算、的运动时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为； （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）略 43．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【答案】(1)解：的三边长分别为，，， 且， ， ， 故． (2)①解： ， 故即； ②解：，理由是： ． ， ． ． ， ，． ． 即． ． (3)50 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可； ②利用非负性求解即可； （3）表示出面积，利用前面的不等式结论，结合，求得面积的最大值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，． 如图， 在两邻边长分别为的矩形中，构造，其中，，． ． ， ． ．即面积的最大值为50． 44．（25-26七年级下·四川巴中·期末）【课本重现】 某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物，然后再回到车间处．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？如果把大门看作点，车间看作点，储物点看作点，道路看作直线，如图1，请你通过画图，在图中找出点，使的值最小； 【解决问题】 (1)如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．证明过程如下： 如图3，在直线上任取一点（不与点重合），连接，，． ∵点，关于直线对称，点，在直线上， _______，_______． _______． ∵在中，_______（三角形的任意两边之和大于第三边）， ，即最小． 【实践应用】 (2)在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【拓展提升】 (3)在中，，，，，平分，，分别是、边上的动点，连接、，求的最小值． 【答案】(1)，，， (2) (3)的最小值为 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形的任意两边之和大于第三边得出，即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，根据两点之间，线段最短可得，结合三角形的周长公式即可求解； （3）根据题意可得是的对称轴，作点关于的对称点，连接、、，过点作交于点；当、、三点共线时，，当点与点重合时，的值最小，最小值为，根据勾股定理的逆定理得出，结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 周长为， 根据两点之间，线段最短可得， 即， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为； 故周长的最小值为． （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 作点关于的对称点，连接、、，过点作交于点； 当、、三点共线时，， ∵点在上，故当点与点重合时，的值最小， 即此时的值最小，最小值为； 在中，，，， ，， ∴， ∴； 故， ， 解得， 故的最小值为． 45．如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 【答案】(1)解：为等腰直角三角形；理由： ∵在上， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 则， ， ， 则，且， ∴为等腰直角三角形． (2) (3)或或 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及、、的长，即可得出的形状； （2）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，说明要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，求出的解析式为，求出即可； （3）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，设点E的坐标为，点H的坐标为：，求出点F的坐标为：，得出，，，分三种情况：当时，当时，，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，即，连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小， 设的解析式为，把、代入得： ， 解得：， ∴的解析式为，令，， ∴． （3）解：连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： 根据解析（2）可知，，， 设点E的坐标为， ∴， ∴， ∴点H的坐标为：， ∴点F的坐标为：， 把代入代入得：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 46．如图，正方体'的边长为2，点为棱的中点． （1）如图，若点是棱的中点；则在正方体表面从到最短路径的长为__________； （2）如图，动点、分别从、同时出发，沿着棱、'以相同的速度各自向自己的终点、移动，连接、交于点，点是棱上的一动点，则在正方体表面从点到点再到点的最短路径的长为__________． 【答案】 【分析】（1）将正方体的后面与左面或后面与上面展开成一个平面，根据两点之间线段最短，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出判断即可； （2）将正方体的后面与左面展开成一个平面，证明，得到为直角三角形，确定点在以点为圆心，为半径的圆弧上，然后利用将军饮马与两点之间线段最短即可得出； 【详解】（1）如图，正方体的后面与左面展开成一个平面，过点作，连接， 正方体'的边长为2，点为棱的中点, 点是棱的中点, ，， ， ． 如图，正方体的后面与上面展开成一个平面，连接， 可得： 故答案为： （2）如图，正方体的后面与左面展开成一个平面， 动点、以相同的速度移动， ， ，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， 取的中点，连接， ， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上， 取点关于的对称点，连接交于点， 此时最短， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了立体图形的最短路径问题，相关知识点有：两点之间线段最短、将军饮马、隐圆、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理等，将立体图形展成平面图形是解题关键． 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 【答案】(1)③ (2)的长为 (3)的长为或 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，则，可证是等腰直角三角形，解得，，由是“高倍底”三角形，是“基底”，得到，即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；运用勾股定理，等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴． 答：的长为 （3）如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 48．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二  数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路的长； (2)道路__________米； (3)任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 【答案】(1)米 (2) (3)①如图，点，为所求：             ② 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解． （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点； ②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴             ∵ ∴．             ∴， 故道路的长为25米； （2）解：∵ ∴， ∴ 又∵ 在中， ∵ ∴，， ∵ ∴ 故答案为：； （3）①略 ②解：∵， ∴ ∴ ∵在上，即的垂直平分线上， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴      ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 49．（25-26八年级下·广东茂名·期末）【问题背景】 一次数学综合实践活动课上，小明发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． 小明的证明思路是：如图2，过点D作，，分别交于点E，交于点F，过点A作，交于点G，利用等面积法来证明． 【问题解决】 (1)尝试证明：请参照小明的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，．求的长； (3)拓展升华：如图4，中，，，平分，的垂直平分线交的延长线于点F，，当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）依据小明思路易得，即可得证； （2）由折叠的性质得平分，，则，勾股求出，进而代入求解即可； （3）由（1）的结论易求，进而设未知数，根据，列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可知，， ∴平分， 由（1）可知， ∵，，， ∴， 设，则，， 代入得，， 解得， ∴； （3）解：∵为的角平分线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于F， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 50．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）结合图形，解决问题： (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过A点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_________，位置关系是_________． (2)探索：如图2当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)； 证明：如图2，连接， ，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ，， ， (3) 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 即， 在和中，， ， ，， ， ； ，； （2）略 （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． ，， ，， ， ， ， 即， 在和中，， ． ， ，， ， ， 又，，， ，， 解得：（负值已舍去）． 51．（25-26八年级下·福建厦门·期末）某果园为降低种植果树的人工成本，计划引进一套灌溉系统，工作人员充分考虑果树的光照，养分等因素，采用均匀错行（列）的分布方式，即除边界外，与任意一点相邻的四个点构成一个正方形，该点位于这个正方形对角线的交点处，位置分布的平面示意图如图1（图中每个点代表1棵果树）． 每行有m棵果树，共有行，同一行相邻两棵果树的距离为d（单位：m）：每列有n棵果树，共有列，同一列相邻两棵果树的距离为d（单位：m），其中． 图中果树所在位置为灌溉系统的供水点，可从中选择一处作为灌溉系统的起点．工作人员计划用一根不间断的管道铺设灌溉系统，在每棵果树的根部开出水口，为节约管道的铺设成本，设计了两种铺设管道的方案． 方案1：如图1所示，将作为灌溉系统起点，横向铺设管道（图中虚线为管道）； 方案2：将作为灌溉系统起点，纵向铺设管道． (1)直接写出该果园中果树的数量； (2)若， ①对于上述两种方案，判断哪一种比较节约管道铺设成本，并说明理由； ②你认为是否存在比上述两种更节约管道铺设成本的方案？若存在，请在备用图中画出管道铺设的示意图，并说明理由：若不存在，也请说明理由． （温馨提示：对于不同铺设方案的管道长度表达式可直接写出，不要求推导） 【答案】(1) (2)①方案二的管道铺设成本更节约，理由如下： ∵一共有棵树， 又∵要用管道将棵树连接起来， ∴就要使用个间隔， ∵相邻两棵树之间有两种间隔：一种是横向或纵向的间隔，一种是斜向的间隔， 又∵同一行或同一列相邻两棵果树的距离为，与任意一点相邻的四个点构成一个正方形， ∴横向或纵向的间隔长度为，斜向的间隔长度为， ∵， ∴要想成本低就要尽可能多的使用斜向间隔，少使用横向或纵向间隔， 方案一，如图1所示， ∵每行有m棵果树，有个横向间隔， ∴行就有个横向间隔， ∵相邻两行需用管道斜向相连， ∴一共有个斜向间隔， ∴方案一的管道总长度为， 方案二，如图所示： ∵每列有n棵果树，有个纵向间隔， ∴列用个纵向间隔， ∵相邻两列需用管道斜向相连， ∴一共有个斜向间隔， ∴方案二的管道总长度为， ∴方案一的斜向间隔为个，方案二的斜向间隔为个， ∵， ∴， ∴方案二的管道铺设成本更节约； ②由①可得：横向或纵向间隔为，斜向间隔为， 更节约的方案，如图所示： 理由如下： ∵该方案使用了个斜向间隔，个纵向间隔， ∴该方案的管道总长度为， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴该方案使用了更多的斜向间隔， ∴该方案是比方案二更节约的方案． 【分析】（1）根据每行的棵数和总行数或者根据每列的棵数和总列数，即可求出果树的数量； （2）①无论什么方案，要用管道将棵树连接起来，就要使用个间隔，相邻两棵树之间有两种间隔：一种是横向或纵向的间隔，一种是斜向的间隔，斜向的间隔长度小于横向或纵向的间隔长度为，要想成本低就要尽可能多的使用斜向间隔，少使用横向或纵向间隔，比较两种方案的斜向间隔的数量，即可判断； ②由①的思路可得，更节约的方案就要使用更多的斜向间隔，据此即可得出新方案． 【详解】（1）解：∵每行有m棵果树，共有行， ∴该果园中果树的数量为棵． （2）解：略． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理及其逆定理的应用 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 利用勾股定理理解三角形 题型2 判断是否受到台风影响 题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型4 利用勾股解决梯子移动问题 题型5 用勾股定理解决最短路径问题 题型6 勾股定理的其它应用 题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 题型8 利用勾股定理逆定理求解 题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理是研究直角三角形数量关系与判定的重要工具。应用勾股定理时，首先要找准直角三角形，明确斜边与直角边，若已知两边可求第三边；应用逆定理时，则需验证三角形三边是否满足 a²+b²=c²，从而判定直角三角形。实际问题中，要善于把情境抽象为直角三角形模型：台风影响、旗杆高度、梯子滑动、最短路径等问题，通常可通过构造垂线、利用对称或展开图等方式转化为直角三角形。网格图中，可把格点线段看作直角三角形的斜边，用“水平格数²+竖直格数²=斜边长²”快速计算。解题时要注意单位的统一、结果的合理性检验，以及分类讨论（如梯子滑动时的两种位置、最短路径的多种展开方式）。 题型1 利用勾股定理理解三角形 ◆题型1 利用勾股定理理解三角形 题型模版 1. 确定直角三角形的斜边与直角边。 2. 已知两边用 a²+b²=c² 求第三边；已知三边判断是否为直角三角形。 1．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）先阅读下列材料，再解决相关问题： 【阅读理解】若两个角，满足，则称，为一组“绝配角”．绝配角的组合有很多种，条件比较隐秘，需要经过倒角以后才会出现．借助绝配角，可以通过构造等腰三角形，或者通过平角构造角平分线与全等三角形，实现角和线段的转移．常用辅助线有两类： ①绝配角共顶点，构造平角，利用角平分线构造全等；②绝配角不共顶点，构造以为顶角（或以为底角）的等腰三角形． 【解决问题】如图，在中，，，点在边上，作，且． (1)判断与是否为一组绝配角，并说明理由； (2)若，，试求线段的长． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 （1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形． 【特例研究】 （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）【概念学习】规定：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等腰分割线． 【概念理解】如图1，在中，，的平分线交于点，过作，交于点，求证：为的等腰分割线． 【概念应用】如图2，在中，，是的等腰分割线，且，求的面积． 【问题探究】在中，，若存在一条线段是的等腰分割线，请求出所有符合条件的的度数． 4．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 题型2 判断是否受到台风影响 ◆题型2 判断是否受到台风影响 题型模版 1. 把台风中心与受影响点连线，作垂线求最短距离。 2. 比较最短距离与影响半径，判断是否在影响范围内。 5．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 7．（25-26八年级上·全国·阶段检测）台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 ◆题型3 用勾股定理解决旗杆高度问题 题型模版 1. 把拉线、旗杆、地面构成直角三角形。 2. 利用拉线长度与拉线到旗杆底部距离求旗杆高度。 9．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 10．（24-25八年级下·全国·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 11．（25-26八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象    测绘数据 ①测得水平距离的长为米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点，，，在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点离地面的垂直高度_______米，_______米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)若将风筝沿方向下降米至点，连接BF，则在长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 12．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 题型4 利用勾股解决梯子移动问题 ◆题型4 利用勾股解决梯子移动问题 题型模版 1. 梯子长度不变，墙、地面、梯子构成直角三角形。 2. 用勾股定理建立方程，求滑动距离或高度变化。 13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 14．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是_______________． 15．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 16．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮A的垂直距离．如图②，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 题型5 用勾股定理解决最短路径问题 ◆题型5 用勾股定理解决最短路径问题 题型模版 1. 把立体图形表面展开成平面图形。 2. 在展开图中用“两点之间线段最短”结合勾股定理求最短路径。 17．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 20．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 题型6 勾股定理的其它应用 ◆题型6 勾股定理的其它应用 题型模版 1. 根据题意抽象出直角三角形模型。 2. 灵活运用勾股定理列方程求解。 21．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 22．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 23．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 24．如图，以为斜边作等腰，再以为斜边在外侧作等腰，如此继续，得到个等腰直角三角形，则与面积的比值是______． 题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 ◆题型7 在网格图中应用勾股定理的逆定理 题型模版 1. 用网格计算三角形三边长的平方。 2. 验证是否满足 a²+b²=c²，判定是否为直角三角形。 25．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，均在格点上，请按下列要求完成作图． (1)在图①中，以为边画直角三角形，使，且点在格点上； (2)在图②中，以为边画锐角三角形，使，且点在格点上； (3)在图③中，以为边画钝角三角形，使，且点在格点上． 26．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 27．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为； (3)在图③中，的面积为． 28．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一个格点三角形，使得，，． (2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 题型8 利用勾股定理逆定理求解 ◆题型8 利用勾股定理逆定理求解 题型模版 1. 根据已知条件求出三角形三边。 2. 验证三边关系，判定直角三角形并求角。 29．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“和谐共存线”，把这个四边形叫做“和谐共存四边形”． (1)【概念理解】如图1，四边形中，，，，，求证：四边形是“和谐共存四边形”． (2)【模型构建】如图2，四边形与四边形都是“和谐共存四边形”，且，，，对角线，分别是这两个四边形的“和谐共存线”，试说明与的数量关系． (3)【思维拓展】如图3，四边形是“和谐共存四边形”，对角线是“和谐共存线”．已知为等腰直角三角形，且，请直接写出的长． 30．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 31．如图，在四边形中，，且． (1)求四边形的面积（结果保留根号）． (2)将沿翻折至，如图所示，连接，求四边形的面积． 32．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在中，． (1)如图1，P为线段上靠近B的三等分点，是等边三角形，求； (2)如图2，P为射线上的动点，探究与的数量关系； (3)如图3，P为直线上的动点，，将绕点A逆时针旋转到，作中点R，探究的面积． 题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 ◆题型9 利用勾股定理逆定理解决实际问题 题型模版 1. 从实际问题中提取三角形三边长度。 2. 用逆定理判断形状，进而解决方向、距离等问题。 33．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 34．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 35．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 36．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 38．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，，，在上分别取点D、E，使线段将分成面积相等的两部分，则长度的最小值是_______． 39．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 40．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为______． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 42．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 43．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 44．（25-26七年级下·四川巴中·期末）【课本重现】 某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物，然后再回到车间处．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？如果把大门看作点，车间看作点，储物点看作点，道路看作直线，如图1，请你通过画图，在图中找出点，使的值最小； 【解决问题】 (1)如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．证明过程如下： 如图3，在直线上任取一点（不与点重合），连接，，． ∵点，关于直线对称，点，在直线上， _______，_______． _______． ∵在中，_______（三角形的任意两边之和大于第三边）， ，即最小． 【实践应用】 (2)在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【拓展提升】 (3)在中，，，，，平分，，分别是、边上的动点，连接、，求的最小值． 45．如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 46．如图，正方体'的边长为2，点为棱的中点． （1）如图，若点是棱的中点；则在正方体表面从到最短路径的长为__________； （2）如图，动点、分别从、同时出发，沿着棱、'以相同的速度各自向自己的终点、移动，连接、交于点，点是棱上的一动点，则在正方体表面从点到点再到点的最短路径的长为__________． 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 48．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二  数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路的长； (2)道路__________米； (3)任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 49．（25-26八年级下·广东茂名·期末）【问题背景】 一次数学综合实践活动课上，小明发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． 小明的证明思路是：如图2，过点D作，，分别交于点E，交于点F，过点A作，交于点G，利用等面积法来证明． 【问题解决】 (1)尝试证明：请参照小明的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，．求的长； (3)拓展升华：如图4，中，，，平分，的垂直平分线交的延长线于点F，，当时，求的长． 50．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）结合图形，解决问题： (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过A点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_________，位置关系是_________． (2)探索：如图2当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 51．（25-26八年级下·福建厦门·期末）某果园为降低种植果树的人工成本，计划引进一套灌溉系统，工作人员充分考虑果树的光照，养分等因素，采用均匀错行（列）的分布方式，即除边界外，与任意一点相邻的四个点构成一个正方形，该点位于这个正方形对角线的交点处，位置分布的平面示意图如图1（图中每个点代表1棵果树）． 每行有m棵果树，共有行，同一行相邻两棵果树的距离为d（单位：m）：每列有n棵果树，共有列，同一列相邻两棵果树的距离为d（单位：m），其中． 图中果树所在位置为灌溉系统的供水点，可从中选择一处作为灌溉系统的起点．工作人员计划用一根不间断的管道铺设灌溉系统，在每棵果树的根部开出水口，为节约管道的铺设成本，设计了两种铺设管道的方案． 方案1：如图1所示，将作为灌溉系统起点，横向铺设管道（图中虚线为管道）； 方案2：将作为灌溉系统起点，纵向铺设管道． (1)直接写出该果园中果树的数量； (2)若， ①对于上述两种方案，判断哪一种比较节约管道铺设成本，并说明理由； ②你认为是否存在比上述两种更节约管道铺设成本的方案？若存在，请在备用图中画出管道铺设的示意图，并说明理由：若不存在，也请说明理由． （温馨提示：对于不同铺设方案的管道长度表达式可直接写出，不要求推导） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $