专题13 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题13 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级上·河南·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 例2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形为长方形，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】设ED=x，则AE=6﹣x， ∵四边形ABCD为长方形， ∴ADBC， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： ， 即， 解得：x=， ∴ED=． 故选：B． 【点睛】考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 例3（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 例5（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，将长方形沿对折，使落在的位置，且与相交于点．， (1)求的长； (2)求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)2； (2)； 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等边三角形和等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练合理的运用每一个知识点． （1）由勾股定理可得，取的中点，连接，则是等边三角形，是等腰三角形，从而得到，再根据折叠和角度的和差可以得到，再根据勾股定理可以算出的长度，根据折叠和平行可以得到，即可得到答案； （2）由（1）中长度，根据三角形面积公式得到答案即可； 【详解】（1）解：在长方形中，，，， ∴， 取的中点，连接， ∴， 又， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 在中， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知 ∴． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 例2（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：C． 例3（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形性质及判定，折叠问题等．根据题意设，则，证明，利用全等性质得到，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，沿折叠，点D落在点G处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中应用勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选∶D． 例4（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 在中，． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得，，，由折叠性质可知，，， 通过勾股定理得，所以，设，则，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，由折叠可知,设利用勾股定理进行分析计算即可. 【详解】解：由折叠可知, 设 由勾股定理可得 即,解得 的面积为： 故选：． 例2（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过F点作于H． 设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过F点作于H， 由折叠的性质可知，． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 例3（25-26八年级上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：， 设，则， 在，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 故答案为：． 例4（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 例5（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法． （1）由翻折得，，求得，证明是直角三角形，据此可得； （2）①由矩形的性质以及等角对等边证得，再根据折叠的性质即可求解；②根据（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将翻折至与重合，折痕是， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 例2（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．由勾股定理的逆定理可知，由折叠的性质可知，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故选：D 例3（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在一个直角三角形纸片中，，将其折叠，恰使边落在斜边上，点落在点处，折痕交边于点，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 先由勾股定理计算得到，设，根据折叠的性质得到，再由勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：∵ ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 例4（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到线段相等和垂直关系，结合直角三角形边角关系求解． 先由直角三角形角的性质得结合勾股定理求出的长；根据折叠性质知且在中，利用角的性质得设在中用勾股定理求出进而得的长． 【详解】解：在中，，，， ∴． 由勾股定理得． ∵沿折叠后点A与点B重合， ∴垂直平分且． ∴是直角三角形，． ∵在中，， 设则． 在中，由勾股定理得 即， 解得即． ． 故答案为：2． 例5（25-26八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长即可； （2）由翻折的性质求得，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质得：， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 例2（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 例3（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，由折叠得，设，则，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 例4（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 例5（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 例2（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是翻折而成， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，则， ∴在中， 由勾股定理得，，即， 解得：， 故选：C． 例3（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 例4（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 例5（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故； （2）根据，，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解： ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ； （2），， ， 设，则， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 2．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 6．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，则，，然后等腰三角形的性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：第一次折叠，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，， ∴， 第二次折叠，如图③，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，且，若，则的长为（　　）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把沿翻折至，连接，则，，，，再证明得到， ，接着证明，则，． 【详解】解：把沿翻折至，连接， ∴，，，， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ， ， 故选：C． 10．（24-25八年级上·湖北·周测）如图，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，，由勾股定理即可求得的长．此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键． 【详解】解：根据首先根据折叠可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据勾股定理求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 13．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 14．（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，由折叠性质可知，，，则有，，故垂直平分，，所以，然后通过勾股定理，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【答案】 【分析】作于H，于M，求出，根据，可得，，然后再证明，得到，求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，作于H，于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到，且， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质． 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】6或2 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是 ． 【答案】12或6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．先求得，分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在直线的下方时，如图， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 当点在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 综上，的长是12或6． 故答案为：12或6． 19．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．过点作于点，首先根据勾股定理解得的值，结合三角形面积可求得的值，在中利用勾股定理可解得，由折叠的性质可得，结合可解得，进而可得，即可证明为等腰直角三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， 即，解得， ∴在中，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等角对等边可得，进而根据折叠的性质，即可求解． （2）分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ， 由折叠性质得：， 故答案为：； （2）当时，如图 ， 设， ，， ， ， ∵折叠 ∴，， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， ∵折叠， ∴，，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为或， 故答案为：或 ． 21．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，将长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，已知． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，掌握折叠的性质是关键． （1）设，则可得，由折叠的性质得，在中，由勾股定理建立方程即可求解； （2）过E作于H，则得，由折叠与平行线的性质得，进而求得，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，由折叠知， 则， 在中，， 则， 解得：． 故的长为5； （2）解：过E作于H，则． ∵， ∴． ∵由折叠知， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 24．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握利用尺规作角平分线及勾股定理和折叠的性质． （1）以点B为圆心，为半径画弧，与交于点，即为点，连接，作的平分线，交于点E，折痕即为点； （2）先根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：即为所求 （2）解：∵纸四边形为长方形， ∴, ，， 连接， 根据折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可知，， 即， 解得：， ∴， 故答案为． 25．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 26．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的折叠问题和勾股定理，求出是直角三角形是解题的关键．根据折叠的性质，可知，，，，利用三角形内角和等于，得到，从而可以在中利用勾股定理求出的长，进而求出答案． 【详解】解：由折叠可知，，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 27．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 28．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （3）过点E作于点H，由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知，， 在长方形中，， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：在长方形中，， 由（1）可设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：过点E作于点H，如图所示： 在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】(1)15 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 30．（24-25八年级上·广东·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5（2）（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级上·河南·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形为长方形，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 例3（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 例5（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，将长方形沿对折，使落在的位置，且与相交于点．， (1)求的长； (2)求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 例4（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为 ． 例5（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕，已知，，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 例2（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A．5 B． C． D． 例3（25-26八年级上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ． 例4（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 例5（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 例2（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 例3（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在一个直角三角形纸片中，，将其折叠，恰使边落在斜边上，点落在点处，折痕交边于点，则的长为 cm． 例4（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为 ． 例5（25-26八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点C与点E重合． (1)求的长， (2)求的长． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 例2（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 例4（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 例5（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 例2（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 例4（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 例5（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为． (1)求的度数； (2)若，求AE的长． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，且，若，则的长为（　　）． A． B．2 C． D． 10．（24-25八年级上·湖北·周测）如图，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（      ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 13．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 14．（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 16．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 17．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 18．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若，则的长是 ． 19．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 20．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 21．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，将长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，已知． (1)求的长； (2)求的长． 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 24．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 25．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 26．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 27．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 28．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 29．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 30．（24-25八年级上·广东·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 31．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 32．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $