专题14 勾股定理实际应用模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题14 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________；若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________． 例2（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 例3（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 例4（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 例5（24-25八年级下·四川广元·期中）我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 模型2.轮船航行模型 例1（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 例2（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，甲，乙两艘巡逻艇分别在某海域处时，在的正北方向，在的西北方向，且，，海里．（参考数据：，，） (1)求的距离；（结果精确到整数） (2)甲乙收到指令同时出发，在处相遇，已知甲巡逻艇的速度为每小时10海里，乙巡逻艇的速度为每小时20海里，求甲乙相遇时，甲行驶的路程．（结果精确到） 例3（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上． (1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ； (2)求 C，P 两点之间的距离 ； (3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域． 例4（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 例5（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 例2（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 例3（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 例4（24-25八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 例5（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 例3（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 例4（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 例5（24-25八年级下·江西赣州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 例2（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 例3（24-25七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 例4（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：，）； (2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由． 例5（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年一班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得长等于21米，在上点的同侧取点，使． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：）； (2)已知本路段对校车限速40千米/小时，若测的某辆校车从到用时3秒，这辆校车是否超速？说明理由． 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 例2（25-26八年级上·陕西西安·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 例4（24-25八年级下·北京西城·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： (1)示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； (2)求芦苇的长度． 例5（24-25八年级上·河南洛阳·期末）《九章算术》是我国古代的一部数学专注，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在的第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？ 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 例2（24-25八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 例3（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 例4（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 例5（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 例3（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 例4（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 例5（24-25八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 模型.9不规则图形面积模型 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，垂直平分，且，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)求四边形的面积． 例2（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 例3（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 例4（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为迎接建国75周年大庆，改造提升公园绿植，补栽补种道路花卉，沈阳某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边分别为，，，现要将其扩充． (1)若将其扩建成如图1所示的半圆形，求扩充部分（阴影部分）的面积； (2)如图（示意图2），若将其扩建成等腰三角形，且扩充部分（阴影部分）是以为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形的周长________________．（直接写出答案） 例5（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（　　）cm A．35 B．40 C．50 D．45 2．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 5．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 7．（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（，结果精确到秒）． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 10．（25-26八年级上·福建·阶段练习）2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响，海港会受到台风影响吗？为什么？ 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 12．（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 13．（24-25九年级上·全国·期末）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 15．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 17．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，他们经过思考、讨论，制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果见下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高 成员 组员：，， 工具 皮尺等 测量 示意图   说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图1，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度．第二次操作：如图2，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量 数据 测量项目 数值（单位：m） 图1中的长度 2 图2中的长度 6 …… …… (1)请根据以上测量结果，帮助小组求出学校旗杆的高． (2)如图3，淇淇同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点E处，再次将绳子拉直，测得此时绳子末端F到地面的距离，则点F到旗杆的距离为______m．（图中的点均在同一平面内，结果保留根号）    18．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 20．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，∴． 在中，由勾股定理得： ∴．解得．答：秋千绳索的长度为尺． （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里），∵两船相距26海里，∴（海里）， ∵，，故， 是直角三角形，，∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________；若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________． 【答案】(1) (2)0.5， 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：如图，梯子顶端A沿墙面向下滑动，即 ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：0.5，． 例2（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【答案】云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． 例3（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 【答案】钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中利用勾股定理求出，即为，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是． 例4（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 例5（24-25八年级下·四川广元·期中）我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中，，， 则， 在中，，，则． ∴． 模型2.轮船航行模型 例1（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 例2（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，甲，乙两艘巡逻艇分别在某海域处时，在的正北方向，在的西北方向，且，，海里．（参考数据：，，） (1)求的距离；（结果精确到整数） (2)甲乙收到指令同时出发，在处相遇，已知甲巡逻艇的速度为每小时10海里，乙巡逻艇的速度为每小时20海里，求甲乙相遇时，甲行驶的路程．（结果精确到） 【答案】(1)的距离为海里 (2)甲行驶的路程为海里 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理的应用，直角三角形的性质，理解方位角的表示，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）根据方位角的计算得到，结合题意得到，根据含30度角的直角三角形，勾股定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，结合题意得到是等腰直角三角形，设甲乙从出发到相遇的时间为小时，则（海里），（海里），在中，由勾股定理得到（海里），在中，，由此得到相遇的时间，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵在的正北方向，在的西北方向， ∴， ∵， ∴， ∵，海里， ∴， ∴在中，（海里）， ∴（海里）， ∴的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 由（1）可知海里，，则是等腰直角三角形， ∴， 设甲乙从出发到相遇的时间为小时， ∴（海里），（海里）， 在中，，即（海里）， ∴（海里）， 在中，，即， 整理得，， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴（海里）， ∴甲行驶的路程为海里． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上． (1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ； (2)求 C，P 两点之间的距离 ； (3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域． 【答案】(1) (2) (3)没有触礁危险，理由见解析 【分析】本题考查直角三角形的性质及勾股定理应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）作构造直角三角形，利用含角的直角三角形边的关系和勾股定理，得出，，进而求的值． （2）设，依据直角三角形边的关系和积勾股定理表示、，结合列方程，求解得． （3）计算与的差值，判断差值正负，确定是否有触礁危险． 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， 是直角三角形， 由题可知，， ，， ∴， ； 故答案为：； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由题意得，，，海里， ∴，， 在中， ， 设海里，则海里，海里，海里， ∵海里， 即 ， 海里， 答：，之间的距离海里； （3）解：， ∵，， ∴没有触礁的危险． 例4（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 例5（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．    (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】(1)32；24 (2)“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出的长，再证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，海里， 海里； （2）解：由题意得，海里， 海里； ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距处 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：．             答：点应建在距处． 例2（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 例3（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 【答案】(1)见解析 (2)16千米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）连接，设，则，结合题意以及勾股定理可列方程为，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）解：连接， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵两村到检修点的距离相等， ， 解得：． ， 答：检修点应建在距点16千米处． 例4（24-25八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 例5（24-25八年级下·云南昭通·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)符合要求，见解析 【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可； （2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可． 【详解】（1）解：（1）是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴在中， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）符合要求，理由如下： 过点作于点；作点关于的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该监控装置符合要求．    【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用． （1）先根据沙尘中心移动速度及时间求出，再利用勾股定理求的长； （2）令，由等腰三角形三线合一，可得，用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 在中，， ， 即的长为； （2）解：， 市会受到沙尘暴的影响． 如图，令， ， ， ， ， ， 即市受到沙尘暴影响的时间持续． 例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 例3（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【答案】(1)监测点与宣传车的起始位置之间的距离为500 (2)庆庆家能听到8min的宣传车声音 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据的面积求得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．根据勾股定理求得的长，进而得到的长，即可求出听到宣传车声音的时间． 【详解】（1）解：，，， ． 答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为． （2）解：，， ， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，， 则当时，正好能听到宣传车的声音． 在中， ， ． 宣传车的行驶速度为， ． 答：庆庆家能听到的宣传车声音． 例4（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 例5（24-25八年级下·江西赣州·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)A城市会受到这次台风的影响，理由见解析 (2)12小时 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点作于点，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以为圆心，200千米为半径作交于、，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可． 【详解】（1）解：城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点作于点， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：千米， ∵千米千米， ∴城市会受到这次台风的影响． （2）解：如图2，以为圆心，200千米为半径作交于、， 则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：千米， ∴台风影响该市的持续时间小时． 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 例2（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 例3（24-25七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 例4（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：，）； (2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由． 【答案】(1)的长为17.3米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）分别在与中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得与的长，从而求得的长； （2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与30千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，， ∴（米）， 即的长为17.3米； （2）解：超速了，理由如下： ∵汽车从A到B用时2秒， ∴速度为（米/秒）， ∵30千米/小时米/秒（米/秒）， ∴这辆校车在本路段超速了． 例5（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年一班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得长等于21米，在上点的同侧取点，使． (1)求的长（精确到0.1米，参考数据：）； (2)已知本路段对校车限速40千米/小时，若测的某辆校车从到用时3秒，这辆校车是否超速？说明理由． 【答案】(1)的长为米； (2)这辆校车在路段不超速． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）分别在与中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得与的长，从而求得的长； （2）由从A到B用时3秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，，米， ∴在中，（米），（米）， 在中，，，即， （米）， 则（米）； （2）解：不超速，理由如下： ∵汽车从A到B用时3秒， ∴速度为（米/秒）， （千米/时）， ∴该车速度为千米/小时， ∵， ∴这辆校车在路段不超速． 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 例2（25-26八年级上·陕西西安·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 【答案】(1)1，5 (2)水深为12尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）根据题意即可求解； （2）设水深x尺，则芦苇尺，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺． 故答案为：1，5； （2）解：设水深x尺， 则芦苇尺， 在中，， 解得：， 答：水深为12尺． 例4（24-25八年级下·北京西城·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： (1)示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）由题意可得：尺，尺， 故答案为：，； （2）设芦苇长尺， 则水深尺， 在中， ， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 例5（24-25八年级上·河南洛阳·期末）《九章算术》是我国古代的一部数学专注，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在的第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？ 【答案】水深为12尺，芦苇13尺 【分析】首先得出BD和AB，设BC=x，表示出CD，在△BCD中利用勾股定理列出方程，解之可得． 【详解】解：∵水面边长为10尺，芦苇在正中央， ∴BD=5， 由题意可得：AB=1，设BC=x，则AC=CD=x+1， 在△BCD中，， 即， 解得：x=12， ∴AC=x+1=13， 即水深为12尺，芦苇13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长； （2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 例2（24-25八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 例3（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 例4（24-25八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【详解】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）    如图，点D为所求作的点． 例5（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 【答案】(1)3m (2)6m 【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得． （2）在中，根据勾股定理即可解得． 【详解】（1）由题可知，     ∴， ∴     在中， ， ∴， ∴（m）． 即这两棵树的水平距离为3m． （2）在中，    ∴， ∴（m）． 即树的高度为6m． 【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：=+=， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 例2（24-25八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 例3（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 元． 【答案】1400 【分析】先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高即可得出地毯的长，进而可得出结论． 解：由勾股定理得：（米， （米， （元． 故铺设地毯至少需要花费1400元． 故答案为：1400． 例4（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 例5（24-25八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 模型.9不规则图形面积模型 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，垂直平分，且，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析四边形 (2)的面积． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：是直角三角形，证明如下： 垂直平分， ， ，， ， ，即是直角三角形； （2）解：，，， ， 点E是的中点， ， ， ， 四边形的面积． 例2（25-26八年级上·广东河源·月考）勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 例3（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 例4（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为迎接建国75周年大庆，改造提升公园绿植，补栽补种道路花卉，沈阳某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边分别为，，，现要将其扩充． (1)若将其扩建成如图1所示的半圆形，求扩充部分（阴影部分）的面积； (2)如图（示意图2），若将其扩建成等腰三角形，且扩充部分（阴影部分）是以为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形的周长________________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先由勾股定理可得，再根据扩充部分（阴影部分）的面积半圆的面积三角形的面积计算即可得解； （2）根据等腰三角形的性质，分三种情况，并结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴扩充部分（阴影部分）的面积为：； （2）解：∵为等腰三角形， ∴当时，此时， ∴， 故此时的周长为； 当时，此时， ∴， 故此时的周长为； 当时，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 故此时的周长为； 综上所述，的周长为或或． 例5（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的实际应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为10． （2）解：，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为144． 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（　　）cm A．35 B．40 C．50 D．45 【答案】D 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 2．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 5．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ）    A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于，    由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 7．（24-25八年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键； 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是 米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为 秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间． 【详解】解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【详解】解：根据题意得米，米，， 在中，， 在中，， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 10．（25-26八年级上·福建·阶段练习）2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响，海港会受到台风影响吗？为什么？ 【答案】海港受台风影响，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【详解】解：海港受台风影响，理由如下： ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 【答案】(1)；能，理由见解析 (2)接收信号持续 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）通过证明是等腰直角三角形，求出的长，再结合题意判断处能接收信号，即可解答； （2）分别求出信号接收站恰好能接收信号的临界点与，求出的长度，再利用时间路程速度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴点到射线的距离为； ∵， ∴处能接收信号； （2）解：由（1）得，， 当时，， 当时，， ∴， ， 答：接收信号持续． 12．（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 13．（24-25九年级上·全国·期末）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 15．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 【答案】（1），（2）云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键. （1）根据勾股定理即可求出，再求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， ， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里 (2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 17．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，他们经过思考、讨论，制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果见下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高 成员 组员：，， 工具 皮尺等 测量 示意图   说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图1，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度．第二次操作：如图2，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量 数据 测量项目 数值（单位：m） 图1中的长度 2 图2中的长度 6 …… …… (1)请根据以上测量结果，帮助小组求出学校旗杆的高． (2)如图3，淇淇同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点E处，再次将绳子拉直，测得此时绳子末端F到地面的距离，则点F到旗杆的距离为______m．（图中的点均在同一平面内，结果保留根号）    【答案】(1)学校旗杆的高为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为．在中，根据勾股定理求解即可； （2）过点F作，垂足为G，可得，，在中，根据求解即可． 【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为． 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得． 答：学校旗杆的高为． （2）解：如图，过点F作，垂足为G，    则四边形是长方形， ∴，， ∴． 由（1）可知，． 在中，， 即点F到旗杆的距离为． 故答案为． 18．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）连接作的垂直平分线交于点，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴． 20．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；，；；知识运用：点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等；知识迁移：代数式的最小值为． 【分析】本题考查勾股定理，轴对称-最短路径的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，轴对称-最短路径的几何意义，进行解答，即可． 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积，表示出梯形、四边形、的面积，即可； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点，，设，根据勾股定理，可得；，解出，即可； 知识迁移：根据轴对称-最短路径，进行解答，即可． 【详解】解：小试牛刀：连接，设和的交点为点， ∵， ∴，，， ∴， 由图可得，；； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；，；； 知识运用：连接，作的垂直平分线交于点， ∴， ∵千米，千米，且千米， ∴设， ∴， ∴；， ∴， 解得：， ∴点应建在离点千米处，才能使它到、两个城市的距离相等； 知识迁移：如图，先作出点关于的对称点，连接，过点作的延长线于点， 设，，，， ∴，，， ∴，， ∴代数式的最小值为， ∴， ∴代数式的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $