精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 数 学 2025.11 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程，则该圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 7. 在空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆恒有两个交点 C. 存在实数，使得直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（ ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 11. 已知点，，，点在曲线：上，则（ ） A. 存在无数个点，使得为定值 B. 存在无数个点，使得为定值 C. 直线与的所有交点的横坐标之积为 D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 13. 已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 14. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值. 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17. 已知圆，圆. （1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； （2）若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 18. 如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面夹角正弦值的最大值． 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点. （1）求椭圆方程； （2）若，求证：； （3）过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 数 学 2025.11 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程，则该圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程后可得. 【详解】圆的方程，即，所以半径为2. 故选：B. 2. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案. 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 3. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（    ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 5. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可. 【详解】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 6. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ） A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上 C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上 【答案】C 【解析】 【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上. 【详解】由同心圆及点A在以，为焦点的椭圆M上得，故椭圆中， ∵，，，. 故点D和E都在椭圆M上. 故选：C 7. 在空间四边形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆恒有两个交点 C. 存在实数，使得直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断. 【详解】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误； B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确； C.当时，直线与直线垂直，故正确； D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短， 最短弦长为，故正确； 故选：BCD 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（ ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】把代入平面方程计算可判断A；求得平面法向量，可得与不共线判断B；利用点平面的距离公式求得点到平面的距离判断C；求得判断D. 【详解】对于A，因为，所以点，故A正确； 对于B，由平面，可得平面的法向量为， 又，，所以，又， 所以与不共线，故不垂直于平面，故B错误； 对于C，由点到平面的距离公式可得点到平面的距离，故C错误； 对于D，由，，所以， 所以，所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知点，，，点在曲线：上，则（ ） A. 存在无数个点，使得为定值 B. 存在无数个点，使得为定值 C. 直线与的所有交点的横坐标之积为 D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，得曲线由圆与椭圆组成，根据圆及椭圆的定义可判断A、B，将分别与、联立，利用韦达定理可判断C、D. 【详解】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成，且圆的圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确. 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则，， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，，则， ，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】. 【解析】 【分析】先判断在圆上，再结合，求出，利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题知：圆C的圆心，半径， 易知点满足圆的方程，故在圆上， 因为过点的直线与圆C相切， 故圆心与点所连直线与直线垂直， 故有，而，解得， 根据直线的点斜式可写直线方程为：， 写成一般式为：. 则直线与坐标轴的交点为和， 所以与坐标轴围成的三角形面积. 故答案为：. 14. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可. 【详解】 在中，连接，因是的内心，则分别平分和， 由角平分线分线段成比例定理得：，则， 因为，所以， 又因为椭圆的离心率，所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出线段的中点为，由 确定直线的方程，与直线的方程联立求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程； （2）先判断已知直线与圆相离，再利用圆心到直线的距离即可求得的最小值. 【小问1详解】 由题设，线段的中点为且， 因圆的圆心为，则，故， 则直线方程为，即， 联立，解得，即得，而， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，则到的距离， 所以直线与圆相离，则. 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 17. 已知圆，圆. （1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； （2）若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）相交， （2）或 【解析】 【分析】（1）将两个圆化成标准方程，再判断圆心距和半径间的距离的关系即可得到两圆相交，两个圆相减可以得到公共弦的方程； （2）由题意可知，所以，联立直线和圆的方程得到韦达定理，代入即可求解. 【小问1详解】 圆化成标准方程为,圆心,半径. 圆化成标准方程为,圆心,半径. 由于,故两圆相交. 两圆方程作差得， 即公共弦所在直线的方程为. 【小问2详解】 设， 将代入, 得. 整理得, 所以, 所以. 由题意得，即，可得, 所以,即, 解得或. 18. 如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面夹角正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知， 且，，即， 则四边形为菱形， 所以，故翻折后， 因为，且都在平面内， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值； （3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 则平面平面， 如图，在平面中过点作， 又平面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以为等边三角形，， 则，，，， 设平面与平面夹角为， 法向量分别为，， 则，取得； ，取得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知在平面上且， 可设， 则，，， 设平面法向量为， 则， 取得， 设与平面夹角为， 则， 令，则， 当且仅当，即时成立， 所以直线与平面夹角正弦值的最大值为． 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点. （1）求椭圆方程； （2）若，求证：； （3）过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值. 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到求解； （2）易知，，与椭圆方程联立，求得A，B的横坐标，再利用弦长公式证明； （3）设直线l方程为，则直线m的方程为，将直线l的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式得到的表达式，进而得到的表达式求解. 【小问1详解】 解：由题意得：， 则， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 易知，，设， 由，得，解得， 则， ， 所以； 【小问3详解】 图所示： 若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行， 所以直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为 ，则直线m的方程为，设， 由，消去y得， 则，， 易知，将代入直线l的方程得，即， 则， ， ， 同理， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：本题第二三问都体现了“曲”化“直”的思想，涉及到线段问题，注意弦长公式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $