专题05 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件8大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题05 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件（8题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机事件的判断 1 题型二、事件的关系与运算 3 题型三、互斥事件、对立事件的判断（重） 5 题型四、古典概型 7 题型五、概率的基本性质及其计算 9 题型六、独立事件概率的求法（重） 13 题型七、独立事件的判断 18 题型八、频率与概率 20 B 综合攻坚·能力跃升 21 题型一、随机事件的判断 1．（多选）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【答案】BCD 【详解】骰子没有0点，故A错误；易知B，C，D正确． 2．掷一颗骰子，写出样本空间及与下列事件相对应的基本事件子集： (1)没有出现； (2)出现奇数； (3)点数超过． 【答案】(1)样本空间， (2) (3) 【详解】（1）掷一颗骰子，可能得到的点数为、、、、、，故样本空间， 记事件 “没有出现”，则对应的基本事件子集为； （2）记事件 “出现奇数”，则对应的基本事件子集为； （3）记事件 “点数超过”，则对应的基本事件子集为． 3．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 4．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 5．（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 6．有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为 ． 【答案】④⑦ 【详解】对于①，四边形的内角和为， 所以度量四边形的内角和为为不可能事件； 对于②，抛掷一块石子，下落，是必然事件； 对于③，由题意，随机摸出一个球是红球是不可能事件； 对于④，抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，为不确定事件； 对于⑤，若为实数，则为必然事件； 对于⑥，若，则是不可能事件； 对于⑦，从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签为不确定事件. 故答案为：④⑦. 题型二、事件的关系与运算 7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 8．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 9．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 10．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 11．从某班任选一名学生，设事件{选出的学生是男生}，{选出的学生来自第三小组}，{选出的学生不戴眼镜}，则事件的含义是 ． 【答案】选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生 【详解】选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生  因为{选出的学生戴眼镜}，所以事件{选出的学生是男生}{选出的学生来自第三小组}{选出的学生戴眼镜}，故其含义是选出的学生是来自第三小组戴眼镜的男生． 12．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【答案】，事件与事件之间不存在包含关系 【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 题型三、互斥事件、对立事件的判断 13．投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 14．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 15．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【答案】A 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 16．（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 17．（多选）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（    ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 【答案】AB 【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示， 所以，且，， 且， 所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件， 事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB. 题型四、古典概型 18．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D．从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 【答案】ACD 【详解】对于A，对立事件为不同时发生，但有一个必发生，互斥事件为不同时发生的事件，故A正确； 对于B，不放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含2个基本事件，故概率为，故B错误； 选项C：放回地依次随机摸出2个球，共有个基本事件，两次都是红球含个基本事件，故概率为，故C正确； 选项D：所有的基本事件有9个，满足题意的有，，，共3个，概率为，故D正确； 故选：ACD. 19．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则四轮比赛后，甲的总得分为的概率为 ． 【答案】 【详解】设样本空间为，甲的总得分为2为事件A， 不妨假设甲的卡片顺序为， 则乙的卡片顺序共有种，即； 若甲的总得分为2，则符合事件A的乙的卡片顺序有 ， ， 共有11种，即， 所以. 故答案为：. 20．从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是 . 【答案】 【详解】根据题意，从集合中任取两个不相等的正数，构成有序对， 总情况有，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，，共个， 当时，由，得，有，，，，共个； 当时，由，得，有，共个； 当时，由，得，无满足条件的； 综上，符合条件的有序对共个， 所以，成立的概率为. 故答案为： 21．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 22．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键. 题型五、概率的基本性质及其计算 23．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 24．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 故选：C. 25．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间，共25个样本点. 两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况： ①第一次奖金为100元，第二次没有中奖， 其包含的情况为，，概率为； ②第一次没中奖，第二次奖金为100元， 其包含的情况为，，概率为； ③两次各获奖金50元， 包含的情况有，，，，概率为. 根据互斥事件的加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为. 故选：D. 26．已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 27．将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点． (1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)这种游戏规则不公平，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：依题意，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点， 其中事件，即事件包含6个样本点， 所以事件的概率为． 又由事件， 即事件中包含11个样本点，所以事件的概率为． （2）解：设事件“为偶数”，事件， 事件， 可得， 因为事件与事件互斥，且， 所以． 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 所以，故这种游戏规则不公平． 28．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少? 【答案】黑球2个，黄球4个，白球3个. 【详解】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到白球”，且事件两两互斥， 由概率加法公式知得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是， 综上得，解得. 所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是，故袋中有黑球2个，黄球4个，白球3个. 题型六、独立事件概率的求法 29．甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C 30．某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，各情况出现概率为， 对于甲乙丙、甲丙乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙甲丙、丙甲乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙丙甲、丙乙甲两种情况，此时甲胜出的概率为， 法一：甲胜出的概率为； 法二：无论哪种情况甲胜出的概率为，故甲胜出服从，则甲胜出的概率均值为. 故选：A 31．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 32．由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 【答案】 【详解】设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为， 依据独立事件的性质，可得，解得， 所以，乙、丙都猜对的概率为， 故答案为：. 33．某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则 . 【答案】 【详解】已知该电路不通电，根据电路的并联原理，说明三只开关均未闭合， 所以，解得：. 故答案为： 34．某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 35．某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 36．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 题型七、独立事件的判断 37．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 38．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【详解】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 39．（多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意，可得， 对于A中，事件，可得，且， 所以，所以事件与不相互独立，所以A错误； 对于B中，由， 所以事件两两相互独立，所以B正确； 对于C中，事件，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 40．（多选）某人抛掷一颗均匀的骰子两次，事件表示“第一次掷出的点数是3”，事件表示“第二次掷出的点数是4”，事件表示“两次掷出的点数之和是9”，事件表示“两次掷出的点数之和是7"，则（    ） A．事件与相互独立 B．事件与相互独立 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 【答案】ABD 【详解】依题意，，事件包含，共4种情况； 事件包含，共6种情况， 对于A，，事件与相互独立，A正确. 对于B，，，事件与相互独立，B正确； 对于C，，，事件与不相互独立，C错误； 对于D，，事件与相互独立，D正确. 故选：ABD 题型八、频率与概率 41．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 42．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．163石 D．169石 【答案】D 【详解】因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：. 所以这批米内夹谷约为：石. 故选：D 43．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【答案】B 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 44．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】15 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 一、单选题 1．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 2．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 3．已知集合定义映射则从中任取一个映射满足由点构成且使得的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，映射有种， 又由点构成且使得，则， 因为有4种选择，有3种选择， 则从中任取一个映射，满足由点构成且使得的事件有种， 故任取一个映射满足由点构成且使得的概率为. 故选：C. 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过”，则事件与事件的关系为（   ） A．相等 B．互斥 C．互为对立 D．相互独立 【答案】D 【详解】事件“第一枚出现偶数点”，则， 又事件“第二枚出现点数超过”，则， 事件“第一枚出现偶数点，第二枚出现点数超过4”， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，故D正确； 因为可以同时发生，故不互斥，不相等，故A，B错误； 因为“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过4”，且不互斥， 所以不是对立事件，故C错误． 故选：D 5．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 6．甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 二、多选题 7．设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为、为两个互斥的事件，则， 则，，AC都对； ，B错； ，D对. 故选：ACD. 8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（）．其中当时，称（）为“孪生素数”，当时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“”，记事件发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】不妨取，不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 从中任意取两个不同的素数共有（个）样本点． 则，共4个样本点； ，共4个样本点； ，共10个样本点． 所以，显然， 从而选项A，B均不成立；故选项C不成立，D成立. 故选：ABC． 9．甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（   ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．2个球不都是红球的概率为 D．2个球都不是红球的概率为 【答案】BCD 【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 对于A选项，即求事件的概率，，所以A错误； 对于B选项，即求事件的概率，，所以B正确； 对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件， 所以概率为，C正确； 对于D选项，即求事件的概率，，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题 10．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 . 【答案】/ 【详解】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，， 由①知，根据③可知， 由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为， 所以， 联立方程组，解得， 所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为. 故答案为： 11．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 【答案】 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 12．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为 . 【答案】 【详解】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，则，， 因为甲和乙投中与否互不影响， 则每轮比赛中，共投中一球的概率； 均未投中一球的概率； 所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：. 故答案为： 四、解答题 13．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件“第一次抽到后卫队员”，事件“第二次抽到锋线队员”，事件“抽到的2名队员类型相同”，事件的对立事件为. (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求出； (2)求和. 【答案】(1)样本空间见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由题设可得： ， ， 中共有20个基本事件. Q中含有的基本事件为： 共8个基本事件， 故. （2）事件中含有的基本事件为： ， 共14个基本事件， 故. 事件MN中含有的基本事件为：，共6个基本事件， 故. 14．2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）记部门的4名领导为，部门的2名领导为， 从这6位领导中随机选取2位当组长，不同结果有： ，共15个， 两位组长都来自于部门的不同结果有：，共6个， 所以两位组长都来自于部门的概率为； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”， 则， ， 则 ， 所以甲经过培训合格的概率为. 15．甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲、乙互不影响， “甲、乙恰有一人中靶”包括两种情况：①甲中乙不中，；②乙中甲不中，， “甲、乙恰有一人中靶”的概率为． （2）“甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶”的对立事件为“甲、乙、丙三个人均未中靶”，设“甲、乙、丙三个人均未中靶”的概率为， 则， 甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为， ，即，化简得，解得． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 事件之间的关系与运算、古典概型及独立事件（8题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机事件的判断 1 题型二、事件的关系与运算 3 题型三、互斥事件、对立事件的判断（重） 5 题型四、古典概型 7 题型五、概率的基本性质及其计算 9 题型六、独立事件概率的求法（重） 13 题型七、独立事件的判断 18 题型八、频率与概率 20 B 综合攻坚·能力跃升 21 题型一、随机事件的判断 1．（多选）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 2．掷一颗骰子，写出样本空间及与下列事件相对应的基本事件子集： (1)没有出现； (2)出现奇数； (3)点数超过． 3．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 4．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 6．有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为 ． 题型二、事件的关系与运算 7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 9．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．从某班任选一名学生，设事件{选出的学生是男生}，{选出的学生来自第三小组}，{选出的学生不戴眼镜}，则事件的含义是 ． 12．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 题型三、互斥事件、对立事件的判断 13．投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 14．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 15．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 16．（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 17．（多选）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（    ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 题型四、古典概型 18．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．与为对立事件是与为互斥事件的充分不必要条件 B．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 C．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为 D．从集合中任取一个数记为，从集合中任取一个数记为，则的概率为 19．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则四轮比赛后，甲的总得分为的概率为 ． 20．从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是 . 21．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 22．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五、概率的基本性质及其计算 23．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 24．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 25．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（    ） A． B． C． D． 26．已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 27．将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点． (1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 28．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少? 题型六、独立事件概率的求法 29．甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 30．某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 31．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 32．由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 33．某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则 . 34．某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 35．某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 36．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 题型七、独立事件的判断 37．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 38．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 39．（多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 40．（多选）某人抛掷一颗均匀的骰子两次，事件表示“第一次掷出的点数是3”，事件表示“第二次掷出的点数是4”，事件表示“两次掷出的点数之和是9”，事件表示“两次掷出的点数之和是7"，则（    ） A．事件与相互独立 B．事件与相互独立 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 题型八、频率与概率 41．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 42．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．163石 D．169石 43．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 44．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 一、单选题 1．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合定义映射则从中任取一个映射满足由点构成且使得的概率为（ ） A． B． C． D． 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过”，则事件与事件的关系为（   ） A．相等 B．互斥 C．互为对立 D．相互独立 5．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（）．其中当时，称（）为“孪生素数”，当时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“”，记事件发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（   ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．2个球不都是红球的概率为 D．2个球都不是红球的概率为 三、填空题 10．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 . 11．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 12．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为 . 四、解答题 13．美国男子职业篮球联盟（NBA）每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两种类型，其中2名后卫队员（标号为1和2），3名锋线队员（标号为3、4和5），新赛季开始前联盟要抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件“第一次抽到后卫队员”，事件“第二次抽到锋线队员”，事件“抽到的2名队员类型相同”，事件的对立事件为. (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求出； (2)求和. 14．2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 15．甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $