专题09 角平分线（期末真题汇编，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题09 角平分线 2大高频考点概览 考点01 作平分线（尺规作图） 考点02 角平分线综合 地 城 考点01 作平分线（尺规作图） 一、解答题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 2．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． (3)在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积． 3．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 4．(24-25八上·上海崇明区·期末)如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 5．(24-25八上·上海三林中学·期末)如图，已知和上各有一点． (1)求作点，使到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论） (2)连接，求证：． 6．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 7．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 8．(24-25八上·上海浦东新区第三教育署·期末)已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 9．(24-25八上·上海崇明区8校联考·期末)已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 地 城 考点02 角平分线综合 一、单选题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 2．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 3．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 4．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是 ． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 6．(24-25八上·上海宝山区·期末)如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 7．(24-25八上·上海江湾初级中学·期末)如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 8．(24-25八上·上海闵行区文来实验学校·期末)如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 三、解答题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 2．(24-25八上·上海杨浦区·期末)如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 3．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 4．(24-25八上·上海崇明区·期末)如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  6．(24-25八上·上海浦东新区·期末)已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 角平分线 2大高频考点概览 考点01 作平分线（尺规作图） 考点02 角平分线综合 地 城 考点01 作平分线（尺规作图） 一、解答题 1．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确作出图形是解题的关键； 根据角平分线的作法作出的角平分线，作线段垂直平分线，以点为圆心，为半径画弧交射线于和，则点和即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 2．(24-25八上·上海实验西校·期末)如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． (3)在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)过点P的反比例函数解析式为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小 (3)直线的解析式为，5 【分析】（1）作第一象限的角平分线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交第一象限的角平分线于点P，点P即为所求； （2）在（1）的条件下，根据，A点的坐标为，利用勾股定理即可求P点的坐标，进而得到函数的增减性即可； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于B，则，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：由（1）可得是第一象限的角平分线，设点， 过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，于点D， ∵，A点的坐标为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）． ∴P点的坐标为， ∴过点P的反比例函数解析式为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 如图所示，设直线与x轴交于B，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，一次函数与几何综合等等，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，确定点的位置． 3．(24-25八上·上海市北初级中学·期末)如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 【答案】(1)见解析 (2)，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a； （2）在（1）的条件下，根据，A点的坐标为，利用勾股定理即可求P点的坐标，进而得到函数的增减性即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）由（1）可得是角平分线，设点， 过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，于点D， ∵，A点的坐标为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）． ∴P点的坐标为， ∴过点P的反比例函数解析式为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，确定点的位置． 4．(24-25八上·上海崇明区·期末)如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 5．(24-25八上·上海三林中学·期末)如图，已知和上各有一点． (1)求作点，使到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，正确画出图形是解题的关键． （）分别作的平分线，线段的垂直平分线，两条线相交于点，点即为所求； （）连接，过点作，，证明，得到，由等量代换即可求证； 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点； （2）解：如图，连接，过点作，，垂足分别为， ∵平分，，， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 6．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，尺规作的平分线，与直线交于点； （2）过点作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出，结合，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）为直角三角形， 理由如下：过点作于． 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形． 7．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， 【分析】（1）根据中垂线性质可知，作的垂直平分线，与交于点，则满足，在中，用勾股定理计算出，再用表示出，则，在中，利用勾股定理建立方程求； （2）过作于点，作出的角平分线，由角平分线性质可得，由题意，则，在中，利用勾股定理建立方程求. 【详解】（1）作的垂直平分线，与交于点，与交于点， 是的垂直平分线， ， ， ， 由题意，， ， ． （2）作的平分线，过作于点，如图所示， 平分，，， 在和中， ， ， 由题意，则， 在Rt△ABD中，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理,垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练运用垂直平分线的性质和角平分线的性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是解本题的关键． 8．(24-25八上·上海浦东新区第三教育署·期末)已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】答案见解析. 【分析】先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P1和点P2即为所求． 【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 9．(24-25八上·上海崇明区8校联考·期末)已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 地 城 考点02 角平分线综合 一、单选题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 2．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作于P，于M，根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质可得，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作于P，于M，如下图， ∵的面积为30，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴四个选项中只有4不可能． 故选：A． 二、填空题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，做出辅助线，利用面积求解即可． 【详解】解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：4． 2．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 3．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，先由角平分线的定义和性质得到，，再由三角形周长计算公式得到；接着证明得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的角平分线交于点，，， ∴，， ∵与的周长分别为13和3， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 4．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八上·上海宝山区·期末)如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 7．(24-25八上·上海江湾初级中学·期末)如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 8．(24-25八上·上海闵行区文来实验学校·期末)如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 三、解答题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据题意，得到点是的三条角平分线的交点，再根据，得到点为的三边中垂线的交点即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】解：（1）由题干可知，点是的三条角平分线的交点， ∵， ∴点到三个顶点的距离相等， ∴点为三边的垂直平分线的交点，（到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上）； 故答案为：②，①； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 2．(24-25八上·上海杨浦区·期末)如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明：由可知平分， ， 又平分， ， ， ， ∴， ， ， 在中，， ． 3．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)如图，在四边形中，平分．过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)探究：线段和的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两部分知识、构造全等三角形是解题的关键； （1）过点A作交延长线于点F，由角平分线的性质定理得，再证明即可得； （2）证明，得，则． 【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点F， ∵平分，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(24-25八上·上海崇明区·期末)如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 5．(24-25八上·上海普陀区·期末)【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 6．(24-25八上·上海浦东新区·期末)已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 试卷第28页，共28页 试卷第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $