专题06 解一元二次方程（期末真题汇编40题，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题06 解一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的解 考点03 解一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·上海杨浦区·期末)下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 6．(23-24八上·上海浦东新区民办欣竹中学·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24八上·上海三林中学·期末)下列判断正确的是（    ） A．代数式一定是二次根式； B．是一元二次方程； C．能分解为 D．如果，那么不成正比例关系； 8．(23-24八上·上海江湾初级中学·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 2．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 地 城 考点02 一元二次方程的解 一、填空题 1．(24-25八上·上海北初级中学教育集团·期末)已知方程的一个根为2，则 ． 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 3．(24-25八上·上海闵行区七宝第二中学·期末)已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 4．(24-25八上·上海闵行区北桥中学·期末)已知是方程的一个根，则 ． 5．(24-25八上·上海崇明区九校（五四制）·期末)关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 7．(24-25八上·上海松江区·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 二、解答题 1．(24-25八上·上海静安区上海田家炳中学·期末)已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 3．(24-25八上·上海杨浦区·期末)已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 地 城 考点03 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(23-24八上·上海外国语大学附属中学·期末)的根为 ． 2．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 3．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 4．(24-25八上·上海青浦区·期末)一元二次方程的根是 ． 5．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)如图，在中，，，于，如果，那么 ． 6．(24-25八上·上海普陀区·期末)方程的根是 ． 7．(24-25八上·上海松江区·期末)一元二次方程的根是 ． 8．(24-25八上·上海松江区·期末)定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 9．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)方程的解是 ． 10．(23-24八上·上海松江区·期末)关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 11．(23-24八上·上海宝山区·期末)已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 三、解答题 1．(24-25八上·上海黄浦区·期末)定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 3．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 4．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 5．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)已知关于的方程； (1)此方程有一个根为1时，求的值和此方程的另一个根； (2)此方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围． 6．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的解 考点03 解一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，故不符合题意； D、化简得，故不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 3．(24-25八上·上海杨浦区·期末)下列方程中，一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，化简，得：，方程变为一元一次方程，不符合题意； D、，化简，得：，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 4．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 5．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．整理方程得，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 6．(23-24八上·上海浦东新区民办欣竹中学·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、方程整理为，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 7．(23-24八上·上海三林中学·期末)下列判断正确的是（    ） A．代数式一定是二次根式； B．是一元二次方程； C．能分解为 D．如果，那么不成正比例关系； 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式、一元二次方程、因式分解、成正比例，根据二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算逐项判断即可求解，掌握二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算是解题的关键． 【详解】、∵， ∴代数式一定是二次根式， 故该选项正确，符合题意； 、∵方程根号里面含有未知数 ∴不是整式方程，即不是一元二次方程， 故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴不能分解为， 故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴成正比例， 故该选项错误，不符合题意； 故选：． 8．(23-24八上·上海江湾初级中学·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、，若，则该方程不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、，是一元二次方程，本选项符合题意； D、原方程整理得，不是一元二次方程，本选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 1．(24-25八上·上海奉贤区·期末)若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 2．(24-25八上·上海建平中学西校·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 地 城 考点02 一元二次方程的解 一、填空题 1．(24-25八上·上海北初级中学教育集团·期末)已知方程的一个根为2，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程． 将已知根代入方程，得到关于m的方程，解该二次方程即可． 【详解】将代入方程， 得： 因式分解得： 故或． 故答案为；3或． 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．(24-25八上·上海闵行区七宝第二中学·期末)已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 4．(24-25八上·上海闵行区北桥中学·期末)已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 5．(24-25八上·上海崇明区九校（五四制）·期末)关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 7．(24-25八上·上海松江区·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 二、解答题 1．(24-25八上·上海静安区上海田家炳中学·期末)已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； （2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：把两边同时除以， 得． 又 ∵， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ， ． 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25八上·上海杨浦区·期末)已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 地 城 考点03 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25八上·上海普陀区·期末)在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 2．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)下列关于x的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意；     D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 3．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)下列关于的方程中，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一定有实数根，否则无实数根；分别计算出四个选项中方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断． 【详解】解：A、，故方程无实数根； B、，故方程有实数根； C、，故方程无实数根； D、，由于m的取值无法确定，故方程有或者无实数根取决于m的取值； 故选：B． 二、填空题 1．(23-24八上·上海外国语大学附属中学·期末)的根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 2．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理；先根据正方形的性质得出，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设正方形是每一面城墙的长度为里， 正方形的中心为O， ， ， ， 解得：，或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：8． 3．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·上海青浦区·期末)一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过对给定的一元二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程，进而求解方程的根． 【详解】解：， ， 则或， 所以， 故答案为：． 5．(24-25八上·上海华东政法大学附属中学·期末)如图，在中，，，于，如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，设，则，，进而得到，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：（舍去）或； ∴； 故答案为：1． 6．(24-25八上·上海普陀区·期末)方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，方程左边利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴，； 故答案为：，． 7．(24-25八上·上海松江区·期末)一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 8．(24-25八上·上海松江区·期末)定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 9．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再分解因式，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 10．(23-24八上·上海松江区·期末)关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 11．(23-24八上·上海宝山区·期末)已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25八上·上海黄浦区·期末)定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 【答案】(1)①这两个函数的特征数为4；② (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、解一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由可得，进而分别代入两个函数解析式，求出、即可得解； ②利用解析式设出和的坐标，进而表示出，再根据面积公式求解即可； （2）由旋转可作一线三垂直全等，进而求出点坐标，再利用函数点的坐标特征建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， 则， 解得：（负值舍去），， 这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 设，则， ， ， 整理得， （负值舍去）， ； （2）解：如图，设落点为，过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ，， 点绕点顺时针旋转落在处， ，， ， ， ，， ， 点在上， ， ， 点和点均在上， ，， 将代入得，（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 2．(24-25八上·上海奉贤区·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且. 3．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 4．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求自然数m的值并解方程． 【答案】，方程的解为， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求出自然数m的值，进而解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． ∵m为自然数， ∴． 当时，方程为， 解得，． 5．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)已知关于的方程； (1)此方程有一个根为1时，求的值和此方程的另一个根； (2)此方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)且 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （2）根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， ， 解得， 即方程的另一个根为， ， ； （2）解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为且． 6．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $