专题09 与角的相关计算（期末真题汇编35题，上海专用）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题09 与角的相关计算 5大高频考点概览 考点01 几何图形中角度计算问题 考点02 与方向角有关的计算题 考点03 三角板中的角度计算问题 考点04 角平分线的有关计算 考点05 与余角、补角有关的计算 地 城 考点01 几何图形中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 2．(24-25六上·上海普陀区进华中学·期末)已知，，，则的度数是 ． 3．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学·期末)如图，，，则 ． 4．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 5．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 6．(24-25六上·上海实验学校·期末)如图，若，则 ． 7．(24-25六上·上海黄浦区·期末)已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 8．(23-24六上·上海交大集团附属中学·期末)如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    二、解答题 1．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 2．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 3．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 4．(24-25六上·上海浦东区·期末)在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 地 城 考点02 与方向角有关的计算题 一、单选题 1．(24-25六上·上海嘉定区·期末)如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 二、填空题 1．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 三、解答题 1．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 地 城 考点03 三角板中的角度计算问题 一、单选题 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．(23-24六上·上海闵行区·期末)如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．(24-25六上·上海上外附中·期末)用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24六上·上海松江区·期末)如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 6．(23-24六上·上海宝山区·期末)用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1．(23-24六上·上海青浦区·期末)如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 地 城 考点04 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25六上·上海闵行区·期末)下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 二、填空题 1．(24-25六上·上海浦东区·期末)如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 2．(23-24六上·上海松江区·期末)如图，是的平分线，，则比大 度． 3．(23-24六上·上海宝山区·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 三、解答题 1．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 2．(23-24六上·上海徐汇区上海位育中学·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 3．(22-23六上·上海普陀区·期末)定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 地 城 考点05 与余角、补角有关的计算 一、单选题 1．(23-24六上·上海交大集团附属中学·期末)下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 二、填空题 1．(24-25六上·上海嘉定区·期末)若与互补，，则 ． 2．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 3．(23-24六上·上海嘉定区·期末)已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 4．(24-25六上·上海闵行中学附属实验中学·期末)在平面上，和有公共的顶点O，且有一条边重合，如果，，那么，的补角的度数是 ． 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 与角的相关计算 5大高频考点概览 考点01 几何图形中角度计算问题 考点02 与方向角有关的计算题 考点03 三角板中的角度计算问题 考点04 角平分线的有关计算 考点05 与余角、补角有关的计算 地 城 考点01 几何图形中角度计算问题 一、填空题 1．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 2．(24-25六上·上海普陀区进华中学·期末)已知，，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，分和两种情况考虑是解题的关键． 分在中和在中两种情况考虑，当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数；当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数． 【详解】解：当在中时，如图1所示， ∵， ∴； 当在中时，如图2所示， ∵， ∴． 故答案为：或． 3．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学·期末)如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 4．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：如图， 如果射线在下方，， 如果射线在射线的上方，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 5．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当射线在内部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在外部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 6．(24-25六上·上海实验学校·期末)如图，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．根据已知角的度数求出，再利用计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 7．(24-25六上·上海黄浦区·期末)已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了补角的定义，互补的两个角的和等于，作出图形，根据互为补角的两个角的和等于求出的度数，再分射线在的内部与外部两种情况，然后求解即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， 如图，在的内部， ， 如图，在的外部时， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 8．(23-24六上·上海交大集团附属中学·期末)如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 二、解答题 1．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 2．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【答案】(1) (2)还能求出的度数，理由见详解； (3)能确定的度数，理由见详解． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，正确认识图形，找准角的和差关系是正确解答此题的关键． 能确定的度数？请说明理由． （1）由，先求出，再利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数是的度数的； （3）利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数是的度数的即可说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 3．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 4．(24-25六上·上海浦东区·期末)在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 地 城 考点02 与方向角有关的计算题 一、单选题 1．(24-25六上·上海嘉定区·期末)如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 二、填空题 1．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 【答案】/110度 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的关键． 根据方向角的定义与角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，． 故答案为：．    三、解答题 1．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 地 城 考点03 三角板中的角度计算问题 一、单选题 1．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 2．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．(23-24六上·上海闵行区·期末)如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 4．(24-25六上·上海上外附中·期末)用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算．可以画两角之和，也可以画出两个角的差． 【详解】解：因为三角板的度数：，，，， 可以画出的角度是：，，， ∴不可能画出的角度是； 故选：B． 5．(23-24六上·上海松江区·期末)如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键． 利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论． 【详解】解：图（1）中，由于，，可得到； 图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到； 图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到； 图（4）中，由于，，所以． ∴的图形有（1）（2）（3）． 故选：C． 6．(23-24六上·上海宝山区·期末)用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵一副三角板中的角度有、、、， ∴A、不能画出的角度，故选项A符合题意， B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 二、填空题 1．(23-24六上·上海青浦区·期末)如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到，然后进一步求出，熟知余角和补角的概念是解题的关键． 【详解】解：三角尺的直角顶点C正好在直线上， ， ， 故答案为：． 地 城 考点04 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线定义，两点之间的距离，线段的性质，互为补角， 根据角平分线的定义判断①，再根据两点之间的距离判断②，然后根据线段的性质判断③，最后根据补角的定义得，再计算判断④． 【详解】解：因为角的平分线是一条射线，所以①不正确； 因为连接两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，所以②不正确； 因为两点之间，线段最短，所以③不正确； 因为如果，那么它的补角是，所以④正确． 所以正确的有1个． 故选：A． 2．(24-25六上·上海闵行区·期末)下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点、余角、补角、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段中点、余角、补角、角平分线的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点，故此选项说法正确，不符合题意； B、如果一个角等于它的余角，那么这个角是，它的补角是，所以这个角和它的补角不相等，故此选项说法错误，符合题意； C、如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 1．(24-25六上·上海浦东区·期末)如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角的定义，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵A、O、E三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：． 2．(23-24六上·上海松江区·期末)如图，是的平分线，，则比大 度． 【答案】50 【分析】本题考查了角平分线的定义，能理解角平分线的定义和角的和与差是解此题的关键 根据角平分线定义得出，再根据角的和与差即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ． 故答案为：50． 3．(23-24六上·上海宝山区·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论． 【详解】解：当和在的同一侧时，如图， ∵射线、分别平分、，，， ∴，， ∴； 当和在的两侧时，如图， 同理可得，， ∴， 综上，的度数是或． 故答案为：或． 三、解答题 1．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 2．(23-24六上·上海徐汇区上海位育中学·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不会发生变化，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可； ②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1）解：，为的分位线，且； ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别为与的分位线，（，） ，， ， ， ，， ， ， ； ②不变； ，分别为与的分位线，（，）， ，， ； 若，的度数不会改变； （3）解：根据题意作图，如图所示， 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设， 则，， ∵点、、在同一条直线上， ， ， 解得； ∴； 的度数为或． 3．(22-23六上·上海普陀区·期末)定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 地 城 考点05 与余角、补角有关的计算 一、单选题 1．(23-24六上·上海交大集团附属中学·期末)下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 二、填空题 1．(24-25六上·上海嘉定区·期末)若与互补，，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 2．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 【答案】/146度 【分析】本题考查了余角和补角的定义．先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角为， ∴这个角的补角的度数是． 故答案为：． 3．(23-24六上·上海嘉定区·期末)已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据互为余角的定义可得，即，再根据互为补角的定义可得，然后将代入即可得出答案． 【详解】解：与互余， ， ， 与互补， ， ， ， 故答案为：． 4．(24-25六上·上海闵行中学附属实验中学·期末)在平面上，和有公共的顶点O，且有一条边重合，如果，，那么，的补角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别进行求解即可． 【详解】解：①当在的内部时，如图， ∵， ∴， ∴的补角的度数是； ②当在的外部时，如图， ∵， ∴， ∴的补角的度数是． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角的计算，灵活运用所学知识，分类讨论求解是解决本题的关键． 2 / 32 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $