精品解析：安徽省滁州市全椒县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中教学质量评价 数学（沪科版） 注意事项： 1.数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列关系式中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，，则与的相似比为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与位似，位似中心是原点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象位于第一、三象限 B. 其图象与轴有交点 C. 其图象所在的每一个象限内，随着的增大而增大 D. 若其图象经过，则 7. 如图，在中，的高，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点，在边上，点在边上，连接，，交于点．若，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是_____________． 12. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 13. 如图，二次函数与一次函数为图象相交于，两点，则不等式的解集为_______． 14. 如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，，依次交直线，于点，，和点，，，且，，求的长． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 18. 如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 某社区超市销售一种饮水杯，其成本价为每个8元．市场调查发现，该种饮水杯每天的销售量（个）与销售单价（元）（）有以下关系：当销售单价为10元时，一天能销售30个，销售单价每涨价1元，少销售1个．设这种饮水杯每天的销售利润为元． （1）写出销售量与销售单价的函数关系式； （2）求销售利润与销售单价的函数关系式； （3）该种饮水杯的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． （1）求的长； （2）过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求线段长； （2）当时，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中教学质量评价 数学（沪科版） 注意事项： 1.数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键在于掌握反比例函数的定义，易错点在于正比例函数和反比例函数混淆；根据反比例函数的定义，形如 （为常数，且）的函数是反比例函数，直接判断各选项是否符合此形式即可． 【详解】∵反比例函数的标准形式为（）， 选项 A、，是正比例函数，选项A不符合题意； 选项 B、，符合 形式，且，选项B符合题意； 选项 C、，不是反比例函数，选项C不符合题意； 选项 D、，分母指数不是1，不是反比例函数，选项D不符合题意， 故选B． 2. 如图，，若，，则与的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，根据相似比等于对应边的比解答即可求解，掌握相似比的定义是解题的关键． 详解】解：∵， ∴相似比， 故选：． 3. 关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】∵ 二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与位似，位似中心是原点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形坐标变化规律，先根据对应点的坐标确定位似坐标变化的规律，再据此求解即可，找出位似坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：与位似，点与点对应，点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是点的横坐标的倍；点的纵坐标是，点的纵坐标是，点的纵坐标是点的纵坐标的倍， ∵点与点对应，点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：． 6. 关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象位于第一、三象限 B. 其图象与轴有交点 C. 其图象所在的每一个象限内，随着的增大而增大 D. 若其图象经过，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，， A、图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； B、函数图象与y轴没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； C、在每一象限内，y随x的增大而增大，故该选项正确，符合题意； D、由的图象经过点，得或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，的高，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是找出所有的相似三角形，从而找到对应边成比例，由于、是的高，利用两组对应角相等，易证，，根据相似三角形中对应边成比例易证只有D不正确． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，即，B选项正确； 又∵ ∴， ∴，即，C选项正确； 又∵， ∴ ∴，即 ，A选项正确； ∴， ∴，即， 无法证明， 故D选项不正确， 故选：D． 8. 如图，在中，点，在边上，点在边上，连接，，交于点．若，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点B作，交的延长线于点P，根据平行线的性质得，证明，，推理得到，再证明，得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点P， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可判断A；由等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，即可求出的度数，即可判断B；由题意可以证明，再由相似三角形的性质即可判断C；由，，即可判断D． 【详解】解：A. 由作图可知，是的垂直平分线， ． A选项的说法是正确的，不符合题意； B. ， ． , ． ， ． 由作图可知，， ， . 在中，， ． ， ， ， ． B选项的说法是正确的，不符合题意； C. ， ， ， ， C选项的说法是正确的，不符合题意； D. ，， ，， D选项的说法是错误的，符合题意． 综上所述，故选：D． 【点睛】本题主要考查了作线段的垂直平分线和作相等线段，还考查了垂直平分线的性质，等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 12. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 13. 如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象，熟练掌握函数的图象，学会利用图象法解不等式是解题的关键．对不等式整理可得，再结合函数图象，找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的取值范围即可解答． 【详解】解：， ， 由图象可得，当时，则有， 不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理． （1）根据已知条件得到，，证得，利用相似三角形的性质得出，进而求得的长； （2）根据已知条件求出的长，再利用勾股定理求得的长，由为等腰直角三角形求出和的长，由，证得，利用相似三角形的性质得出，设，，则，在中利用勾股定理列出方程求得x的值，并最终求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． （2）∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即，解得（舍去），， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，，依次交直线，于点，，和点，，，且，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知该定理是解题的关键； 根据平行线分线段成比例定理可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似图形的性质是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于x轴对称的点，再顺次连接即可； （2）先画出点A、B、C以点为位似中心在原点右侧放大后的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，点的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，三角形的面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m，进而可求出a，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）设与y轴交于点C，先求出点C的坐标，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（，）的图象过，两点， ∴，， ∴， ∴，反比例函数的解析式是； 把，代入一次函数中， 得，解得：， ∴一次函数解析式是； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点C，如图， 则当时，， ∴点C的坐标是，即， ∴ ． 18. 如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）23米 【解析】 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质得，由折叠的性质得，再根据余角性质可得，进而即可求证； （）由相似三角形的性质可得，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 由折叠得，， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 【答案】（1） 证明：∵均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 把代入， ∴， ∴． 则， 即， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形菱形， （2） 【解析】 【分析】（1）先把代入，求出反比例函数的解析式，再求出，运用勾股定理算出，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． （2）先求出的解析式为，结合菱形的性质得的解析式为，再把把代入，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 由（1）得四边形是菱形， ∴ 则设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 当时，则， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某社区超市销售一种饮水杯，其成本价为每个8元．市场调查发现，该种饮水杯每天的销售量（个）与销售单价（元）（）有以下关系：当销售单价为10元时，一天能销售30个，销售单价每涨价1元，少销售1个．设这种饮水杯每天的销售利润为元． （1）写出销售量与销售单价的函数关系式； （2）求销售利润与销售单价的函数关系式； （3）该种饮水杯的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（） （2）（） （3）销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，掌握二次函数性质是解题的关键． （1）根据当销售单价为10元时，一天能销售30个，销售单价每涨价1元，少销售1个列出关系式即可； （2）根据利润＝（售价－成本）×销售量，列出关系式即可； （3） 【小问1详解】 解：当销售单价为10元时，一天能销售30个，销售单价每涨价1元，少销售1个， ． 销售量与销售单价的函数关系式为（）． 【小问2详解】 依题意得：， 销售利润与销售单价的函数关系式为（）． 【小问3详解】 ， ， 当时，随的增大而增大． ， 当时，最大，最大值为． 销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． （1）求的长； （2）过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）6 （2）①见解析；②10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据和得出，结合，即可证明，进而可得答案． （2）①根据．得出，，根据，得出，即，根据，证明，得出，即可得． ②作，根据，得出，证明平分，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，设，则，则在中，由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：①∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②作于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求线段的长； （2）当时，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $