专题：辅助角公式及应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：辅助角公式及应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1.sin15°＋sin75°＝（ ） A. B．1 C. D. 2．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 3．已知sinθ＋sin＝1，则cos＝（ ） A. B. C. D. 4．函数f（x）＝sinx＋cosx的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5．已知当x＝x0时，函数f（x）＝sinx＋2cosx取得最大值，则sinx0等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 6．已知函数f（x）＝cosx－sinx，则（ ） A．函数f（x）的最大值为2 B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）在区间上单调递增 7．已知函数f（x）＝cos2x－2sinxcosx，则（ ） A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立 B．f（x）在区间上单调递增 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 三、填空题 8．函数f（x）＝sin－2sin2x的最小正周期是__________． 9．已知函数f（x）＝2sinx＋3cosx，x1，x2∈R，则f（x1）－f（x2）的最大值是________． 四、解答题 10．已知函数f（x）＝（sinx＋cosx）2－2sin2x. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）若x∈，求函数的值域． 11．已知函数f（x）＝4tanxsincos－. （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间上的单调性． 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝sinωx＋bcosωx（ω>0）的最小正周期为π，且f（x）的图象关于直线x＝对称，则b的值为（ ） A．－ B．－1 C. D．1 13．若函数f（x）＝|3sinx＋4cosx＋m|的最大值是8，则m的值为________． 14．已知函数f（x）＝sinsin＋sinxcosx. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值． 专题：辅助角公式及应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1.sin15°＋sin75°＝（ ） A. B．1 C. D. 解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin45°＝.故选C. 答案：C 2．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：由题意可知a＝＝（sin14°cos45°＋cos14°sin45°）＝sin（14°＋45°）＝sin59°，b＝（sin16°cos45°＋cos16°sin45°）＝sin（16°＋45°）＝sin61°，c＝×＝sin60°，所以a<c<b.故选B. 答案：B 3．已知sinθ＋sin＝1，则cos＝（ ） A. B. C. D. 解析：由sinθ＋sin＝sinθ＋sinθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ＝sin＝1，得sin＝，所以cos＝cos＝sin＝.故选B. 答案：B 4．函数f（x）＝sinx＋cosx的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 解析：f（x）＝sinx＋cosx＝sin，由sin＝0，得x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－＋kπ.令k＝0，得f（x）的一个对称中心为.故选D. 答案：D 5．已知当x＝x0时，函数f（x）＝sinx＋2cosx取得最大值，则sinx0等于（ ） A. B. C. D. 解析：f（x）＝sinx＋2cosx＝sin（x＋φ），其中sinφ＝，cosφ＝，当x＝x0时，f（x）取得最大值，则x0＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即x0＝－φ＋2kπ，k∈Z，故sinx0＝sin＝cosφ＝.故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．已知函数f（x）＝cosx－sinx，则（ ） A．函数f（x）的最大值为2 B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）在区间上单调递增 解析：f（x）＝cosx－sinx＝2cos.对于选项A，f（x）的最大值为2，故正确；对于选项B，令x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）的图象关于直线x＝－＋kπ，k∈Z对称，则函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故错误；对于选项C，因为f＝2cos＝0，所以函数f（x）的图象关于点对称，故正确；对于选项D，令π＋2kπ≤x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，⊆，则函数f（x）在区间上单调递增，故正确．故选ACD. 答案：ACD 7．已知函数f（x）＝cos2x－2sinxcosx，则（ ） A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立 B．f（x）在区间上单调递增 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 解析：易知f（x）＝2sin＝2sin，∴f（x）的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤－＋kπ（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z），B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ（k∈Z），∴x＝－（k∈Z），当k＝1时，x＝，C正确；f＝2sin＝－≠±2，D错误．故选AC. 答案：AC 三、填空题 8．函数f（x）＝sin－2sin2x的最小正周期是__________． 解析：f（x）＝sin2x－cos2x－（1－cos2x）＝sin2x＋cos2x－＝sin－，得以T＝＝π. 答案：π 9．已知函数f（x）＝2sinx＋3cosx，x1，x2∈R，则f（x1）－f（x2）的最大值是________． 解析：因为f（x）＝2sinx＋3cosx＝sin（x＋φ），所以f（x）max＝，f（x）min＝－，因为x1，x2∈R，所以f（x1）－f（x2）的最大值为f（x1）max－f（x2）min＝－（－）＝2. 答案：2 四、解答题 10．已知函数f（x）＝（sinx＋cosx）2－2sin2x. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）若x∈，求函数的值域． 解：（1）因为f（x）＝（sinx＋cosx）2－2sin2x ＝sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2sin2x ＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x ＝sin2x＋cos2x＝sin， 所以f（x）的最小正周期为 T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为 ，k∈Z. （2）当x∈时，2x∈[0，π]， 所以2x＋∈， 所以sin∈， 所以函数f（x）的值域是[－1，]． 11．已知函数f（x）＝4tanxsincos－. （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间上的单调性． 解：（1）f（x）的定义域为 . f（x）＝4tanxcosxcos－ ＝4sinxcos－ ＝4sinx－ ＝2sinxcosx＋2sin2x－ ＝sin2x＋（1－cos2x）－ ＝sin2x－cos2x＝2sin. 所以f（x）的最小正周期T＝＝π. （2）令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 设A＝，B＝，易知A∩B＝.所以，当x∈时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减． 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝sinωx＋bcosωx（ω>0）的最小正周期为π，且f（x）的图象关于直线x＝对称，则b的值为（ ） A．－ B．－1 C. D．1 解析：因为f（x）＝sinωx＋bcosωx＝sin（ωx＋φ），其中tanφ＝b，且f（x）的最小正周期为π，所以＝π，则ω＝2，所以f（x）＝sin2x＋bcos2x＝sin（2x＋φ）．又函数f（x）的图象关于直线x＝对称，所以f＝sin＋bcos＝±，所以＝，即1＋b2＝（1＋b）2，解得b＝1.故选D. 答案：D 13．若函数f（x）＝|3sinx＋4cosx＋m|的最大值是8，则m的值为________． 解析：∵f（x）＝|3sinx＋4cosx＋m|，∴f（x）＝|5sin（x＋φ）＋m|，∵－5≤5sin（x＋φ）≤5，∴当m>0时，f（x）max＝|5＋m|＝8，解得m＝3；当m<0时，f（x）max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3.综上所述，m的值为3或－3. 答案：3或－3 14．已知函数f（x）＝sinsin＋sinxcosx. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值． 解：（1）依题意，f（x）＝sinsin＋sin2x ＝sincos＋sin2x ＝sin＋sin2x ＝sin2x＋cos2x＝sin， 所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π. （2）由（1）知，f＝sin ＝sin＝1， 在△ABC中，0<A<π，有<A＋<， 于是A＋＝，解得A＝，则B＋C＝， sinB＋sinC＝sinB＋sin ＝sinB＋cosB＋sinB ＝sinB＋cosB＝sin， 显然0<B<，<B＋<， 因此当B＋＝，即B＝时，sinB＋sinC取得最大值， （sinB＋sinC）max＝sin＋sin＝， 所以sinB＋sinC的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $