5.5.2 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换（二）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换（二）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若tan＝2，则sinα－2cosα＝（ ） A．3 B．2 C. D. 2．已知α为第一象限角，且tanα＝，则sin的值为（ ） A. B．－ C．± D. 3．已知＝，则tan2α＝（ ） A. B．1 C. D．－ 4．化简：＝（ ） A. B．1 C．2sin9° D．2 5．已知顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比.根据上述信息，可得sin126°＝（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 6．下列计算结果正确的是（ ） A．cos4－sin4＝ B.＝ C．2sin15°sin75°＝1 D．sin140°（－tan190°）＝1 7．已知函数f（x）＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x，x∈R，则（ ） A．f（x）的最大值为1 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．x＝为f（x）图象的一条对称轴 三、填空题 8．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________. 9．函数y＝sinsin的最大值是________． 四、解答题 10．已知<α<，sin＝－. （1）求cosα的值； （2）若0<β<，cos＝，求cos（2α＋β）的值． 11．设函数f（x）＝cosxcos＋sin2x－. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当x∈时，求函数f（x）的最大值及此时x的值． 个性拓展练 12．已知3π<θ<4π，则等于（ ） A．sin B．cos C．－sin D．－cos 13．已知sinα＋sinβ＝（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝________. 14．在△ABC中，∠ACB＝，AB边上的高CD＝1，AD＝x，DB＝y，求x＋y的最小值． 5.5.2 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换（二）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若tan＝2，则sinα－2cosα＝（ ） A．3 B．2 C. D. 解析：sinα－2cosα ＝ ＝＝2.故选B. 答案：B 2．已知α为第一象限角，且tanα＝，则sin的值为（ ） A. B．－ C．± D. 解析：因为α为第一象限角，且tanα＝，所以cosα＝，而是第一或第三象限角．当是第一象限角时，sin＝＝；当是第三象限角时，sin＝－＝－，故sin＝±.故选C. 答案：C 3．已知＝，则tan2α＝（ ） A. B．1 C. D．－ 解析：由＝＝＝，解得tanα＝2，故tan2α＝＝＝－.故选D. 答案：D 4．化简：＝（ ） A. B．1 C．2sin9° D．2 解析：原式 ＝ ＝＝＝＝1.故选B. 答案：B 5．已知顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比.根据上述信息，可得sin126°＝（ ） A. B. C. D. 解析：如图所示，在等腰三角形ABC中，AC为底边，∠ABC＝36°，＝，作BD⊥AC，垂足为D，则∠ABD＝18°，所以sin18°＝＝，所以sin126°＝cos36°＝1－2sin218°＝1－2×2＝.故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．下列计算结果正确的是（ ） A．cos4－sin4＝ B.＝ C．2sin15°sin75°＝1 D．sin140°（－tan190°）＝1 解析：cos4－sin4＝＝cos＝，A正确；＝＝tan（45°＋15°）＝tan60°＝，B正确；2sin15°sin75°＝2sin15°sin（90°－15°）＝2sin15°cos15°＝sin30°＝，C错误；由－tan190°＝－tan10°＝＝＝，可得sin140°（－tan190°）＝＝＝＝＝＝1，D正确．故选ABD. 答案：ABD 7．已知函数f（x）＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x，x∈R，则（ ） A．f（x）的最大值为1 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．x＝为f（x）图象的一条对称轴 解析：函数f（x）＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，可得f（x）的最大值为2，最小正周期为T＝＝π，故A错误，C正确；由f（x）＝0，可得2x－＝kπ，k∈Z，即为x＝＋，k∈Z，可得f（x）在（0，π）内的零点为，，故B错误；由f＝2sin＝2，可得x＝为f（x）图象的一条对称轴，故D正确．故选CD. 答案：CD 三、填空题 8．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________. 解析：因为3cos2＋5sin2＝4， 所以cos（A－B）－cos（A＋B）＝0， 所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝. 答案： 9．函数y＝sinsin的最大值是________． 解析：y＝sin·sin＝－＝－cos＋cos＝－cos＋，∴ymax＝＋＝. 答案： 四、解答题 10．已知<α<，sin＝－. （1）求cosα的值； （2）若0<β<，cos＝，求cos（2α＋β）的值． 解：（1）因为<α<，所以－α∈， 又sin＝－， 所以cos＝. 所以cosα＝cos＝cos×cos＋sinsin＝. （2）由（1）得sinα＝sin ＝sincos－cossin ＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－， sin2α＝2sinαcosα＝， 又0<β<，所以＋β∈. 又cos＝， 所以sin＝， 所以cosβ＝cos ＝coscos＋sinsin＝， sinβ＝＝. 所以cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ ＝×－×＝－. 11．设函数f（x）＝cosxcos＋sin2x－. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）当x∈时，求函数f（x）的最大值及此时x的值． 解：（1）f（x）＝cosxcos＋sin2x－＝cosx＋·－＝·＋sin2x＋·－＝sin2x－cos2x＝sin， 所以f（x）的最小正周期为＝π. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数的单调递增区间为 （k∈Z）． （2）当x∈时，2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，函数f（x）取得最大值. 个性拓展练 12．已知3π<θ<4π，则等于（ ） A．sin B．cos C．－sin D．－cos 解析：因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π.又cosθ＝2cos2－1，所以cos＝，cos＝－，所以＝＝－cos.故选D. 答案：D 13．已知sinα＋sinβ＝（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝________. 解析：由已知，得2sincos＝sin·sin.因为0<α<π，0<β<π，所以0<<π，－<<，所以sin>0，所以tan＝，所以＝，所以α－β＝. 答案： 14．在△ABC中，∠ACB＝，AB边上的高CD＝1，AD＝x，DB＝y，求x＋y的最小值． 解：因为∠ACB＝，所以A＋B＝， 所以B＝－A，0<A<. x＋y＝＋＝＋＝ ＝＝ ＝＝. 因为0<A<，所以<2A＋<， 所以当2A＋＝时，x＋y取得最小值，为2. 学科网（北京）股份有限公司 $