课后分层练(五十八) 简单的三角恒等变换(一)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五十八)]　简单的三角恒等变换(一) (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin <cos ，则cos ＝(　　 ) A．－ B． C． D．－ 解析：选A.因为α是第二象限角，且sin <cos ，所以为第三象限角，所以cos <0.因为tan α＝－，所以cos α＝－，所以cos ＝－＝－. 2．若α是第三象限角，且sin (α＋β)cos β－sin β·cos (α＋β)＝－，则tan 的值为(　　 ) A．－5 B．5 C．－ D． 解析：选A.由已知及正弦公式得，sin α＝－，∵α是第三象限角，∴cos α＝－，∴tan ＝＝＝－5. 3．若α为第三象限角，且sin α＝－，则tan ＝(　　 ) A．－3 B．－ C．2 D．－2 解析：选A.α为第三象限角，且sin α＝－，则cos α＝－，得tan ＝＝＝＝＝－3. 4．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选D.∵5π<θ<6π，∴∈(，3π)，∈(，)，故sin <0，又cos ＝a，∴sin ＝－＝－. 5．已知<α<2π，则 ＋＝(　　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选C.由已知得<<π，所以tan <0，所以＋＝－－tan ＝－＝－＝－＝－. 6．(多选)下列各式与tan α相等的是(　　) A． B． C．·(α∈(0，π)) D． 解析：选CD.A不符合， ＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α. 7．已知θ为第四象限角，cos θ＋sin θ＝，则cos 2θ＝(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.由cos θ＋sin θ＝得(cos θ＋sin θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 解得2sin θcos θ＝－， 所以(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝， 因为θ为第四象限角，所以cos θ>0，sin θ<0，所以cos θ－sin θ＝， 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝×＝. 8．设－π<α<π，化简的结果是____________． 解析： ＝＝＝|cos|，因为－π<α<π，所以－<<，从而＝|cos |＝cos . 答案：cos 9．(一题多解)已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求tan 的值． 解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－，cos β＝. 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝. 解法一：因为<α<π，0<β<， 所以0<α－β<π，所以0<<， 所以cos ＝＝＝， sin ＝＝，所以tan＝＝. 解法二：因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π， 由cos (α－β)＝，得sin (α－β)＝＝， 所以tan＝＝＝. 10．已知3π<θ<4π，求证：＝－cos . 证明：因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π， 所以cos ＝，cos ＝－， 所以左边＝＝＝＝－cos ＝右边， 所以等式成立． 【综合运用】 11．若<θ<π，则－＝(　　 ) A．2sin －cos B．cos －2sin C．cos D．－cos 解析：选D.∵<θ<π，∴<<，∴sin >cos >0.∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sincos ＝，(1－cos θ)＝sin2， ∴－＝－＝sin－cos －sin ＝－cos . 12．已知sin ＝，则＝____________. 解析： ＝ ＝ ＝　①， 由sin ＝，得sin [－(x＋)]＝， 所以cos ＝， cos ＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝1－2sin2(－x)＝1－2×＝， 因此①式＝＝. 答案： 13．已知α∈(0，)，sin(π－α)＝. (1)求cos 的值； (2)若β∈(0，π)，sin (α－)＝，求cos 的值． 解：(1)因为sin (π－α)＝，所以sin α＝， 又因为α∈(0，)，所以cos α＝＝＝. 因为cosα＝2cos2－1，且∈(0，)， 所以cos＝＝＝. (2)由(1)中cos ＝，∈(0，)，可得sin ＝. 因为β∈(0，π)，所以－∈(－，0)， 而α∈(0，)，所以α－∈(－，)， 又因为sin (α－)＝，所以α－∈(0，)，且cos (α－)＝， 于是cos ＝cos [(α－)－]＝cos (α－)cos ＋sin (α－)sin ＝×＋×＝. 【创新探索】 14．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值． 解：因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝　①. 因为sin α－sin β＝－， 所以2cos sin ＝－　②. 易知sin ≠0， 由①②可得－tan ＝－， 所以tan ＝， 所以sin (α＋β)＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $