专题：函数的零点及函数模型的应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：函数的零点及函数模型的应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数f（x）＝－x－3的零点所在区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 2．某检测分析采用荧光定量PCR法，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测．在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足：lgXn＝nlg（1＋p）＋lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631）（ ） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 3．在使用二分法计算函数f（x）＝lgx＋x－2的零点的近似解时，现已知其所在区间为（1，2），如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算区间中点的函数值的次数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．函数f（x）＝的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，平面图形中阴影部分面积S是h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象是（ ） 6．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）＋m有3个零点，则m的取值范围是（ ） A．（0，2） B．（－2，0） C．（0，1） D．（－1，0） 二、多项选择题 7．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ） A．y＝3x2－2x＋5 B．y＝ C．y＝＋1，x∈（－∞，0） D．y＝x2＋4x＋8 8．如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y＝at（a>0，且a≠1），以下叙述中正确的是（ ） A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2 C．浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等 三、填空题 9．已知函数f（x）＝x2－1，则函数f（x－1）的零点是________． 10．已知函数f（x）＝x2－2（a＋1）x＋4在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．（1）求函数f（x）＝的零点； （2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点． 12．已知函数f（x）＝loga，f＝－1. （1）求a的值及函数f（x）的定义域； （2）求函数g（x）＝f（x）－loga（3－3x）的零点． 13．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L（n）＝L0D （n∈N），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型L0＝，G0＝18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. （1）求该学习率模型的表达式． （2）要使学习率衰减到以下，至少需训练迭代多少轮？（参考数据lg2≈0.3010） 14．已知函数f（x）＝2x2－8x＋m＋3为定义在R上的连续函数． （1）若m＝－4，判断f（x）在（－1，1）上是否有零点，若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出零点x0所在的区间； （2）若函数f（x）在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围． 专题：函数的零点及函数模型的应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数f（x）＝－x－3的零点所在区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 解析：因为f（x）＝－x－3的定义域为[0，＋∞），而y＝在[0，＋∞）上单调递增，y＝x－3在[0，＋∞）上单调递减，所以f（x）＝－x－3在[0，＋∞）上单调递增，又f（2）＝－－1＝－2<0，f（3）＝－0＝－1>0，所以f（x）的零点所在区间是（2，3）．故C正确． 答案：C 2．某检测分析采用荧光定量PCR法，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测．在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足：lgXn＝nlg（1＋p）＋lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631）（ ） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 解析：因为lgXn＝nlg（1＋p）＋lgX0，所以lg＝nlg（1＋p），由题意得当n＝5时，＝10，代入上式得lg10＝5lg（1＋p），所以lg（1＋p）＝，1＋p＝10＝100.2，p＝100.2－1≈1.585－1＝0.585.故选C. 答案：C 3．在使用二分法计算函数f（x）＝lgx＋x－2的零点的近似解时，现已知其所在区间为（1，2），如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算区间中点的函数值的次数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为区间（1，2）的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的，3次取中间值后，区间（1，2）的长度变为3＝>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间（1，2）的长度变为4＝<0.1，满足题意，故C正确．故选C. 答案：C 4．函数f（x）＝的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解析：当x≤0时，令x3＋8＝0，解得x＝－2.当x>0时，令log4x＋x－3＝0，得log4x＝－x＋3，因为函数y＝log4x与y＝－x＋3的图象在（0，＋∞）上有唯一公共点，即f（x）在（0，＋∞）上有唯一零点，则f（x）的零点个数为2.故C正确．故选C. 答案：C 5．如图，平面图形中阴影部分面积S是h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象是（ ） 解析：当h取0时，阴影部分所示为整个平面图形，此时面积S最大；当h取H时，阴影部分的面积S最小，为0，由此可排除A，B.易知当h在[0，H]上变化时，阴影部分的面积S开始变化较快，后来变化较慢，D中图象符合．故选D. 答案：D 6．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）＋m有3个零点，则m的取值范围是（ ） A．（0，2） B．（－2，0） C．（0，1） D．（－1，0） 解析：令g（x）＝f（x）＋m＝0，故f（x）＝－m，画出f（x）＝与y＝－m的图象，函数g（x）＝f（x）＋m有3个零点，即f（x）与y＝－m的图象有3个不同的交点，则－m∈（0，1），解得m∈（－1，0）．故D正确．故选D. 答案：D 二、多项选择题 7．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ） A．y＝3x2－2x＋5 B．y＝ C．y＝＋1，x∈（－∞，0） D．y＝x2＋4x＋8 解析：A中，由y＝3x2－2x＋5，知此函数的判别式Δ<0，故函数y＝3x2－2x＋5无零点；D中，由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值；选项B、C中的函数存在变号零点，能用二分法求解．故选BC. 答案：BC 8．如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y＝at（a>0，且a≠1），以下叙述中正确的是（ ） A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2 C．浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等 解析：将点（1，2）代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，A正确；当t＝5时，y＝25＝32<35，B错误；当y＝4时，t＝2；当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，D错误．故选AC. 答案：AC 三、填空题 9．已知函数f（x）＝x2－1，则函数f（x－1）的零点是________． 解析：令f（x）＝x2－1＝0，解得x＝1或－1，函数f（x－1）是将函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所以f（x－1）的零点是1＋1＝2，－1＋1＝0，答案为0，2. 答案：0，2 10．已知函数f（x）＝x2－2（a＋1）x＋4在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：解法一：函数f（x）＝x2－2（a＋1）x＋4在区间上有两个零点，即x2－2（a＋1）x＋4＝0在区间上有两个不同的解，即2（a＋1）＝x＋在区间上有两个不同的解，转化成y＝2（a＋1）与g（x）＝x＋的图象在区间上有两个不同的交点，结合对勾函数的性质可知g（x）＝x＋在上单调递减，在[2，3]上单调递增，且g＝，g（2）＝4，g（3）＝，所以4<2（a＋1）≤，解得1<a≤. 解法二：函数f（x）＝x2－2（a＋1）x＋4的图象的对称轴为直线x＝a＋1，因为函数f（x）在上有两个零点，所以得解得1<a≤. 答案： 四、解答题 11．（1）求函数f（x）＝的零点； （2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点． 解：（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2. 所以函数f（x）＝的零点为－3，e2. （2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）． 令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g（x）的零点为0和－. 12．已知函数f（x）＝loga，f＝－1. （1）求a的值及函数f（x）的定义域； （2）求函数g（x）＝f（x）－loga（3－3x）的零点． 解：（1）依题意f＝loga＝loga＝－loga3＝－1，a＝3，所以f（x）＝log3. 由>0得（1－x）（1＋x）>0， 解得－1<x<1，所以f（x）的定义域为（－1，1）． （2）g（x）＝f（x）－loga[3（1－x）] ＝log3－log3[3（1－x）]， 则得－1<x<1， 所以g（x）的定义域为（－1，1）． 令g（x）＝0得log3＝log3[3（1－x）]， 所以解得x＝－， 即函数g（x）＝f（x）－loga（3－3x）的零点为－. 13．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L（n）＝L0D （n∈N），其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型L0＝，G0＝18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. （1）求该学习率模型的表达式． （2）要使学习率衰减到以下，至少需训练迭代多少轮？（参考数据lg2≈0.3010） 解：（1）由条件可得，指数衰减的模型为L（n）＝D. 当n＝18时，L（n）＝，代入可得＝D， 解得D＝，所以该学习率模型的表达式 L（n）＝×. （2）由学习率衰减到以下， 可得×<， 即<，所以>log， 即n>18log，18×log＝18× ＝18×＝18× ＝18×≈73.9， 所以n>73.9（n∈N），则n≥74，即至少需训练迭代74轮． 14．已知函数f（x）＝2x2－8x＋m＋3为定义在R上的连续函数． （1）若m＝－4，判断f（x）在（－1，1）上是否有零点，若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出零点x0所在的区间； （2）若函数f（x）在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围． 解：（1）m＝－4时，f（x）＝2x2－8x－1， ∴f（－1）＝9，f（1）＝－7， 则f（－1）f（1）<0， ∵f（x）为定义在R上的连续函数， ∴f（x）在（－1，1）上必有零点x0， 取其中点0，代入函数解析式得f（0）＝－1<0， ∴f（－1）f（0）<0， ∴零点x0∈（－1，0），再取其中点－， 计算得f＝>0， ∴f（0）f<0， ∴零点x0∈，再取其中点－， 计算得f＝>0， ∴f（0）f<0， ∴零点x0∈，再取其中点－， 计算得f＝>0， ∴f（0）f<0， ∴零点x0∈，∵<， ∴在精确度为0.2的条件下，零点x0所在的区间为. （2）f（x）＝2x2－8x＋m＋3的图象开口向上， 对称轴为直线x＝－＝2， ∴在区间[－1，1]上，函数f（x）单调递减， 又f（x）在区间[－1，1]上存在零点， ∴即 解得－13≤m≤3， 即m的取值范围是[－13，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $