专题：二次方程根（二次函数零点）的分布问题 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：二次方程根（二次函数零点）的分布问题 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若关于x的方程x2－x－m＝0在R上有解，则实数m的取值范围是（ ） A．[－1，1] B． C．（－∞，1] D． 2．关于x的方程3x2＋6x＋m＝0有两个负实数根x1，x2，则满足条件的所有整数m的集合为（ ） A．{2，5} B．{2，4} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 3．已知方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ） A．（－5，－4）∪（4，＋∞） B．（－5，＋∞） C．（－5，－4） D．（－4，－2）∪（4，＋∞） 4.二次函数y＝x2＋（m－3）x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0<x1<2<x2，如图所示，则m的取值范围是（ ） A．m>0 B．m> C．m>5 D．0<m< 5．已知函数f（x）＝ax2－x＋a，“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“<a<”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题 6．对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>0，f（b）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ ） A．一定有零点 B．可能没有零点 C．可能有两个零点 D．可能有一个零点 7．已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ） A．2<－<3 B．4ac－b2≤0 C．f（2）<0 D．f（3）<0 三、填空题 8．若关于x的方程2ax2－x＋2a－1＝0有两个正根，则实数a的取值范围是________． 9．若关于x的方程x2－（2m－3）x＋m－4＝0的两根为α1，α2，且满足－3<α1<－2，α2>0，则实数m的取值范围是________． 四、解答题 10．已知关于x的一元二次方程2ax2－2x－3a－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数a的取值范围． 11．已知函数f（x）＝x2＋2bx－b的零点为x1，x2，且满足－1<x1<x2<1，求b的取值范围． 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝ax2－4x－1（a≠0）在区间（－1，1）内恰有一个零点，则满足条件的所有实数a的集合是（ ） A．（－3，0）∪（0，5） B．[－3，0）∪（0，5] C．{－4}∪（－3，0）∪（0，5） D．{－4}∪[－3，0）∪（0，5] 13．若关于x的方程（lgx）2－algx＋1＝0在区间（0，1）上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 14．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. （1）若方程有两个根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围； （2）若方程的两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围． 专题：二次方程根（二次函数零点）的分布问题 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若关于x的方程x2－x－m＝0在R上有解，则实数m的取值范围是（ ） A．[－1，1] B． C．（－∞，1] D． 解析：因为方程x2－x－m＝0在R上有解，所以Δ＝（－1）2－4（－m）＝1＋4m≥0，得m≥－.故选B. 答案：B 2．关于x的方程3x2＋6x＋m＝0有两个负实数根x1，x2，则满足条件的所有整数m的集合为（ ） A．{2，5} B．{2，4} C．{1，2，3} D．{0，1，2} 解析：由题意得Δ＝62－4×3m≥0，即36－12m≥0，解得m≤3，由题意及根与系数的关系可得x1x2＝>0，∴m>0，∴整数m＝1，2，3.故选C. 答案：C 3．已知方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ） A．（－5，－4）∪（4，＋∞） B．（－5，＋∞） C．（－5，－4） D．（－4，－2）∪（4，＋∞） 解析：令f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m，由题意得即解得－5<m<－4.故选C. 答案：C 4.二次函数y＝x2＋（m－3）x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0<x1<2<x2，如图所示，则m的取值范围是（ ） A．m>0 B．m> C．m>5 D．0<m< 解析：由题意可得即 解得0<m<.故选D. 答案：D 5．已知函数f（x）＝ax2－x＋a，“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“<a<”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①当a＝0时，f（x）＝－x在（0，2）上无零点； ②当a>0时，若函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点，则解得<a<； ③当a<0时，若函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点，则无解． 综上所述，f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点时，<a<. ∵⫋，∴“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“<a<”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>0，f（b）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ ） A．一定有零点 B．可能没有零点 C．可能有两个零点 D．可能有一个零点 解析：若函数f（x）的图象及给定的区间（a，b）如图（1）所示，则A错误；若如图（2）所示，则B正确；若如图（3）所示，则C正确；若如图（4）所示，则D正确．故选BCD. 答案：BCD 7．已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ） A．2<－<3 B．4ac－b2≤0 C．f（2）<0 D．f（3）<0 解析：函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac>0，所以4ac－b2<0，故B成立；由图可知，必有f（2）<0，f（3）<0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1<2，x2＝6>3，此时－＝，所以此时2<－<3不成立．故A错误．故选BCD. 答案：BCD 三、填空题 8．若关于x的方程2ax2－x＋2a－1＝0有两个正根，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得， 解得a∈. 答案： 9．若关于x的方程x2－（2m－3）x＋m－4＝0的两根为α1，α2，且满足－3<α1<－2，α2>0，则实数m的取值范围是________． 解析：依题意，二次函数f（x）＝x2－（2m－3）x＋m－4的大致图象如图所示， 则 解得<m<. 故实数m的取值范围是. 答案： 四、解答题 10．已知关于x的一元二次方程2ax2－2x－3a－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数a的取值范围． 解：令f（x）＝2ax2－2x－3a－2， 依题意可得af（1）＝a（－a－4）<0， 解得a>0或a<－4， 故实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）． 11．已知函数f（x）＝x2＋2bx－b的零点为x1，x2，且满足－1<x1<x2<1，求b的取值范围． 解：函数f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝－b，要满足－1<x1<x2<1， 则需解得0<b<. 故b的取值范围是. 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝ax2－4x－1（a≠0）在区间（－1，1）内恰有一个零点，则满足条件的所有实数a的集合是（ ） A．（－3，0）∪（0，5） B．[－3，0）∪（0，5] C．{－4}∪（－3，0）∪（0，5） D．{－4}∪[－3，0）∪（0，5] 解析：函数f（x）图象的对称轴是直线x＝－＝，Δ＝（－4）2－4a×（－1）＝16＋4a，当a≠0，Δ>0时，只需f（－1）·f（1）<0，即解得－3<a<5，且a≠0，当a＝－3时，f（x）＝－3x2－4x－1＝－（x＋1）·（3x＋1），在（－1，1）内的零点只有x＝－，符合要求，当a＝5时，f（x）＝5x2－4x－1＝（x－1）（5x＋1），在（－1，1）内的零点只有x＝－，符合要求，当a≠0，Δ＝0时，a＝－4，则f（x）＝－4x2－4x－1＝－（2x＋1）2，零点为－，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为{－4}∪[－3，0）∪（0，5]．故选D. 答案：D 13．若关于x的方程（lgx）2－algx＋1＝0在区间（0，1）上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 解析：令lgx＝t，因为x∈（0，1），所以t∈（－∞，0），故t2－at＋1＝0在（－∞，0）上有两个不同的实数根，令f（t）＝t2－at＋1，t∈（－∞，0），则解得a<－2，故实数a的取值范围是（－∞，－2）． 答案：（－∞，－2） 14．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. （1）若方程有两个根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围； （2）若方程的两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围． 解：（1）由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间（－1，0）和（1，2）内， 则解得－<m<－， 即实数m的取值范围是. （2）由题意得，二次函数y＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点的横坐标在区间（0，1）内， 则解得－<m≤1－， 即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $