4.4.2对数函数的图象和性质（二）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数的图象和性质（二）同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数f（x）＝的定义域为（ ） A．（0，2） B．（0，2] C．（2，＋∞） D．[2，＋∞） 2．函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（ ） 3．已知函数f（x）＝log2（3x－1），则使得2f（x）>f（x＋2）成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．函数y＝log2（2x－x2）的单调递减区间为（ ） A．（1，2） B．（1，2] C．（0，1） D．[0，1） 5．已知y＝loga（2－ax）在[0，1]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，＋∞） 二、多项选择题 6．已知函数f（x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），则f（x）（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在（0，1）上单调递增 D．在（0，1）上单调递减 7．关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（ ） A．函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞） B．函数的单调递增区间为[1，＋∞） C．函数的最小值为1 D．函数的图象恒在x轴的上方 三、填空题 8．已知log0.3（3x）<log0.3（x＋1），则x的取值范围是________． 9．已知函数f（x）＝log（2x－1），若x∈，则函数f（x）的最小值为________． 四、解答题 10．已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值． 11．已知函数f（x）＝ln（ax2＋2x＋1）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围． 个性拓展练 12．若f（x）＝log2（x2－ax＋6）在区间[－2，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A．[4，5] B．（4，5] C．[4，5） D．[5，＋∞） 13．函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为________． 14．已知函数f（x）＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋log（x－1）<m恒成立，求实数m的取值范围． 4.4.2 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数的图象和性质（二）同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数f（x）＝的定义域为（ ） A．（0，2） B．（0，2] C．（2，＋∞） D．[2，＋∞） 解析：若函数f（x）有意义，则即解得x>2，所以函数f（x）的定义域为（2，＋∞）．故选C. 答案：C 2．函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（ ） 解析：函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项，函数f（x）＝log2（1－x）为减函数，排除C项，故A正确． 答案：A 3．已知函数f（x）＝log2（3x－1），则使得2f（x）>f（x＋2）成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：不等式2f（x）>f（x＋2）等价于2log2（3x－1）>log2（3x＋5），等价于log2（3x－1）2>log2（3x＋5），因为函数y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以解得x>.故选B. 答案：B 4．函数y＝log2（2x－x2）的单调递减区间为（ ） A．（1，2） B．（1，2] C．（0，1） D．[0，1） 解析：由2x－x2>0，得0<x<2，令t＝2x－x2，则y＝log2t，因为t＝2x－x2在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，y＝log2t在定义域内为增函数，所以y＝log2（2x－x2）的单调递减区间为（1，2）．故选A. 答案：A 5．已知y＝loga（2－ax）在[0，1]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，＋∞） 解析：由题设知a>0， 则t＝2－ax在[0，1]上是减函数． 又y＝loga（2－ax）在[0，1]上是减函数， ∴y＝logat是增函数，且tmin>0. 因此∴1<a<2.故选B. 答案：B 二、多项选择题 6．已知函数f（x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），则f（x）（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在（0，1）上单调递增 D．在（0，1）上单调递减 解析：由函数f（x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），得解得－1<x<1，函数f（x）的定义域为（－1，1）．因为f（－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故A错误，B正确；又f（x）＝ln（1－x2），令u＝1－x2，则u＝1－x2在（0，1）上单调递减，函数y＝lnu为增函数，故函数f（x）在（0，1）上单调递减，故C错误，D正确．故选BD. 答案：BD 7．关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（ ） A．函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞） B．函数的单调递增区间为[1，＋∞） C．函数的最小值为1 D．函数的图象恒在x轴的上方 解析：函数y＝f（x）＝log2（x2－2x＋3）的定义域为R，故A错误；令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞），y＝log2t为增函数，故函数y＝log2（x2－2x＋3）的单调递增区间为[1，＋∞），故B正确；当x＝1时函数取最小值为1，故C正确；由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故D正确．故选BCD. 答案：BCD 三、填空题 8．已知log0.3（3x）<log0.3（x＋1），则x的取值范围是________． 解析：因为函数y＝log0.3x是（0，＋∞）上的减函数，所以原不等式等价于解得x>. 答案： 9．已知函数f（x）＝log（2x－1），若x∈，则函数f（x）的最小值为________． 解析：∵f（x）在上单调递减，∴f（x）min＝f＝log8＝－3. 答案：－3 四、解答题 10．已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，且a≠1）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值． 解：（1）由题意得解得－1<x<3. 所以f（x）的定义域为（－1，3）． （2）f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）] ＝loga（－x2＋2x＋3） ＝loga[－（x－1）2＋4]，－1<x<3， 若0<a<1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4， 所以loga4＝－2，即a－2＝4. 又0<a<1，所以a＝. 若a>1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值． 综上可知，a＝. 11．已知函数f（x）＝ln（ax2＋2x＋1）． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围． 解：（1）由f（x）的定义域为R，则ax2＋2x＋1>0恒成立，若a＝0时，2x＋1>0，x>－，不合题意； 所以a≠0；由得a>1. （2）因为f（x）的值域为R， 所以{y|y＝ax2＋2x＋1，x∈R}⊇（0，＋∞）， （也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数） ①若a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意， ②若a≠0时，需 即0<a≤1； 综上，实数a的取值范围为[0，1]． 个性拓展练 12．若f（x）＝log2（x2－ax＋6）在区间[－2，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A．[4，5] B．（4，5] C．[4，5） D．[5，＋∞） 解析：设g（x）＝x2－ax＋6，由题意得g（x）>0在[－2，2）上恒成立，且g（x）在[－2，2）上单调递减，则有解得4≤a≤5.故选A. 答案：A 13．函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为________． 解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－. 答案：－ 14．已知函数f（x）＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋log（x－1）<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称， ∴函数f（x）为奇函数， ∴f（－x）＝－f（x）， 则log＝－log＝log， 解得a＝－1或a＝1（舍）． （2）f（x）＋log（x－1）＝log＋log（x－1） ＝log（1＋x）， 当x>1时，log（1＋x）<－1， ∵当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋log（x－1）<m恒成立，∴m≥－1. 因此实数m的取值范围为[－1，＋∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $