精品解析：山东省泰安市泰山区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题

第一学期期中学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向下 B. ，开口向上 C. ，开口向上 D. ，开口向下 4. 把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别是（） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 5. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 7. 不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( ) A. 在y=x直线上 B. 在直线y=－x上 C. 在x轴上 D. 在y轴上 8. 如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为7点50分时，分针的外端点落在点处．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 22 B. 21 C. 16 D. 12 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若，则锐角的度数是________． 12. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 13. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的关系式为，则图中的长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点B，以为斜边作，则边上的中线的最小值为________． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 16. 已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 画出反比例函数y＝的图象，并根据图象回答问题： (1)根据图象指出当y＝－2时x的值； (2)根据图象指出当－2<x<1且x≠0时y的取值范围； (3)根据图象指出当－3<y<2且y≠0时x的取值范围． 19. 如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 20. 对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． （1）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （2）图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 21. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 22. 某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． （1）求抛物线的表达式； （2）P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； （3）E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，需熟练掌握其形式 或 （）． 根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数且 ）的函数是反比例函数。选项 D 可化为 ，符合定义。 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为 （）， 选项 A：，是正比例函数，不符合； 选项 B：，即 ，是正比例函数，不符合； 选项 C：，是 与 的反比例，不是与 的反比例，不符合； 选项 D：，即 ，符合反比例函数定义； 故选 D． 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，利用锐角三角函数的定义，根据正切函数求对边即可. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向下 B. ，开口向上 C. ，开口向上 D. ，开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式确定二次项系数和顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式确定出开口方向和顶点坐标即可求解． 【详解】解：， 顶点坐标为 ， 又， 开口向上． 故选：B． 4. 把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别是（） A. 1，3 B. 1， C. ，3 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线向下平移，函数值减少，因此新抛物线为，对应形式，直接比较系数即可． 【详解】解：∵原抛物线向下平移3个单位， ∴新抛物线为； 又∵新抛物线表示为， ∴，， 故选：B． 5. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的性质，根据反比例函数 的性质，当时，图象位于第二、第四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】对于 A：∵ 当 时，， ∴ 点 不在图象上； 对于 B：∵ ， ∴ 图象位于第二、第四象限，不是第一、第三象限； 对于 C：∵ ，当 时，y随 x 的增大而增大， 例如，取 ，；，， ∴ y 随 x增大而增大； 对于 D：∵ ，当 时，y随 x的增大而增大， 例如，取 ，；，， ∴ y随 x的增大而增大，不是减小； 故选 C． 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 7. 不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( ) A. 在y=x直线上 B. 在直线y=－x上 C. 在x轴上 D. 在y轴上 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线． 【详解】∵抛物线的解析式为y=a(x+m)2+m(a≠0)， ∴顶点坐标为（-m，m）， ∴顶点在直线y=-x上． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法．熟练掌握二次函数解析式顶点式：y=a（x-h）2+k的表达形式是解题关键. 8. 如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为7点50分时，分针的外端点落在点处．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，解题的关键是明确钟面角． 过点作轴的垂线，于点，则，根据所对的直角边是斜边的一半求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，于点， 钟面分成了12大格， 一大格就是． ． ，． ． 点在第二象限， ． 故选：C． 9. 如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 22 B. 21 C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为 ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：D． 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误； ∴当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若，则锐角的度数是________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】此题考查特殊角的余弦值求角的度数，根据余弦函数的性质，已知 ，且 为锐角，确定 的角度范围，并利用特殊角的余弦值求解． 【详解】因为 ，且 是锐角，即 ，所以 ， ∵ 时 ， ∴ ， 解得 故答案为：． 12. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 【答案】##40米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜面坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 13. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的关系式为，则图中的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求得点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点B，以为斜边作，则边上的中线的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上中线的性质，掌握用点的坐标将线段长度表示出来是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，从而得到垂线段AB的最小值为4，所以中线CD的最小值为2． 【详解】解：为中斜边边上的中线， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ∴点A到x轴的最小距离为4，即垂线段的最小值为4， ∴中线的最小值为2． 故答案为：2． 15. 如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案：9． 16. 已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是关键； 连接，延长交于点G，当时，是等边三角形，得出，证明是等边三角形，得出，得出，得出，此时最小，进而即可求解 【详解】连接，延长交于点G，如图： ∵， ∴， 当时，最小，此时， ∵， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴的最小值， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，包括求一个数的绝对值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用求一个数的绝对值，零次幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 画出反比例函数y＝的图象，并根据图象回答问题： (1)根据图象指出当y＝－2时x的值； (2)根据图象指出当－2<x<1且x≠0时y的取值范围； (3)根据图象指出当－3<y<2且y≠0时x的取值范围． 【答案】 根据题意，作出y=的图象， （1）根据图象，过（-2，0）作与x轴垂直的直线，与双曲线相交，过交点向y轴引垂线，易得y=-3，故当x=-2时y的值为-3， （2）根据图象，当-2＜x＜1时，可得y＜-3或y＞6． （3）同理，当-3＜y＜2时，x的取值范围是x＜-2或x＞3． 【解析】 【详解】分析：根据题意，作出y=的图象，根据所作的图象回答问题即可． 详解：略 点睛：本题考查反比例函数的图象的作法与图象的运用，较为简单，容易掌握． 19. 如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】，如图； 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形． 作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解； 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 20. 对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． （1）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （2）图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题． （1）根据抛物线的轴对称性质可知：抛物线的对称轴为：，由抛物线对称轴公式即可求出值， （2）设抛物线与轴交点横坐标为、，由此可知，根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：由已知得，抛物线的对称轴为：， 即，解得，． ． 【小问2详解】 令，得， ． 二次函数图象在轴上截得的线段长是， ，， ． 代入得， 解得：， 与轴交于正半轴， 可知，当时，， 解得． 所以不符合题意，应舍去． 21. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 22. 某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式； （2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将、代入解析式得， ， 解得：， 所以与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意知，， ， 又， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为， 答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 23. 如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）的值为或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． （1）求抛物线的表达式； （2）P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； （3）E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 【答案】（1） （2）直线的表达式为 （3） 设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 【解析】 【分析】（1）由题意可得点C的坐标为，即，进而得到，最后把A两点的坐标代入抛物线求出c的值即可； （2）如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则，再求出M点的坐标；即可求出直线的解析式为； （3）设，再求得直线解析式为，则，如图：过点E作于点M，则．设，然后再运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． 【小问2详解】 解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则． ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、勾股定理，等腰三角形的性质、交点坐标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $