精品解析：山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

栖霞市2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最大值2 D. 当时，随增大而减小 4. 已知点 都在反比例函数图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A. ，结果为 B. ，结果为 C. ，结果为 D. ，结果为 6. 已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（　　）． A. 210 B. 120 C. 504 D. 60 9. 若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 11. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A B. C. D. 12. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 13. 如图，直线与双曲线交于两点．则当时，的取值范围是___________． 14. 计算_____． 15. 请写出一个二次函数的表达式________，使它满足以下两个条件：①图像经过原点；②函数的最大值为2． 16. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则双曲线的解析式为___________． 17. 如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为，再向前走30米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角为，则教学楼的高是___________米． 18. 如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，中，于D，，，，求线段的长． 20. 如图，在四边形中，，，设，四边形的面积为y． （1）求出与的函数关系式； （2）求四边形的面积最大值． 21. 在一次煤矿安全事故调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： （1）求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． （2）当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ （3）矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 24. 如图，在中，过原点轴，双曲线过两点．过点作轴交双曲线于点，连接．若面积为8，求双曲线的解析式． 25. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 26. 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，是抛物线对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，是否存在点P使？如果存在，请求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 栖霞市2025-2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点A作于点D，先根据等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 3. 对于二次函数图象，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最大值2 D. 当时，随增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 4. 已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键． 根据反比例函数图象的性质的增减性解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大， ∵， ∴． ∴． 故选：D． 5. 已知是一个锐角，且，利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是（　　） A. ，结果为 B. ，结果为 C. ，结果为 D. ，结果为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是结合计算器的用法，考查特殊角三角函数值，解题关键是熟记有关特殊角的三角函数值．根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】解：利用计算器求的度数，按键方法及计算结果正确的是，结果为， 故选：B 6. 已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设出抛物线的解析式，然后利用点A的坐标求出常数项，利用纵坐标相同的点B与点C ，求出对称轴进而得知抛物线一次项系数与二次项系数的关系式，点D带入解析式即可求出. 【详解】解：设抛物线的解析式为 将点A(0,10)代入解析式得 ， 得， 故解析式为； 点B()和C()的纵坐标相同， 即点B与点C关于抛物线的对称轴对称。 对称轴为两点横坐标的中点为 已知抛物线的对称轴公式为， 将D(3,1)代入解析式： 整理得 又 解得； . 故抛物线的解析式为. 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的对称性及已知点坐标求抛物线的解析式，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 7. 如图，已知两个反比例函数和在第一象限内图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 8. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（　　）． A. 210 B. 120 C. 504 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交于点，求出、的长度，由坡度求出的长度，即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：根据已知条件添加辅助线． 【详解】解：过点作，交于点， 台阶高为，深为， ，， 斜坡的坡度， ， ， ， 故选：． 9. 若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 10. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 11. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 根据图象分别得出a、b、c的符号，即可判断①；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；在不等式两边同时加上c，再利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 第II卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 13. 如图，直线与双曲线交于两点．则当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，利用数形结合的思想方法是解题的关键．观察图象，找到一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值范围即可解答． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 14. 计算_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：2． 15. 请写出一个二次函数的表达式________，使它满足以下两个条件：①图像经过原点；②函数的最大值为2． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图像过原点，从而，再由函数有最大值2，可知，进而可以得解． 【详解】解：由题意，设函数为 ∵图像过原点， ∴． 又函数有最大值2， ∴ ∴若取，则b可取4． 综上，函数的表达式可以是 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则双曲线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形判定及性质，正方形性质，一次函数与坐标轴交点等．根据题意过点作轴，证明，再由一次函数得，，继而得到，后设反比例解析式为，再将代入求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵直线与轴、轴分别相交于、两点， ∴令，则，即，， 令，则，即，， ∴， ∴， ∴， 设反比例解析式为， ∴将代入中得：， ∴双曲线的解析式为：， 故答案为：． 17. 如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角为，再向前走30米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角为，则教学楼的高是___________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．根据三角形外角的性质可得：，根据等角对等边即可得：米，再根据锐角三角函数即可求出，根据矩形的性质即可求出，从而求出教学楼的高. 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，（米）， ∵ ∴四边形是矩形， ∴米， ∴（米）． 故答案为： 18. 如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理及其逆定理，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积是解题的关键．设两抛物线的另一个交点为A，抛物线与x轴交于另一点B，先求得A、B的坐标，然后根据勾股定理及其逆定理可推出为等腰直角三角形，接着由抛物线的对称轴可推出阴影部分的面积等于的面积，最后计算三角形面积即可求解． 【详解】解：设两抛物线的另一个交点为A，抛物线与x轴交于另一点B，如图，连接、， 则， 解得或， ∴两抛物线的交点分别为原点和， 对于，令，即，解得或2， ∴， ∴，，， ∴，且， ∴为等腰直角三角形，， 又∵的对称轴为直线， ∴阴影部分面积等于的面积， ∴阴影部分的面积． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，中，于D，，，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】由垂线的性质可得，根据可求出的长，然后利用勾股定理可求得的长，根据可求出的长，然后根据即可得出答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，，设，四边形的面积为y． （1）求出与的函数关系式； （2）求四边形的面积最大值． 【答案】（1）y （2） 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，利用配方法配成顶点式求最值，二次函数性质等． （1）根据题意可得，再由面积列式化简即可得到本题答案； （2）由（1）中求得的关系式配方成顶点式，在根据二次函数性质即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ， ∴y； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵， ∴当时， ， ∴四边形的面积最大值为． 21. 在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： （1）求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． （2）当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ （3）矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】（1），；， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【小问1详解】 解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； 【小问3详解】 解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，配方成顶点式求顶点坐标，二次函数与面积结合题型等． （1）将的坐标代入得，再化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）由（1）得对称轴为直线，后得，再设，则，求得，继而得，后即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：将的坐标代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：由（1）得，顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，即当时，函数最小值为， ∴，（舍去）， ∴，解得，， ∴此时点P的坐标为或． 23. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 24. 如图，在中，过原点轴，双曲线过两点．过点作轴交双曲线于点，连接．若的面积为8，求双曲线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，平行线性质，反比例函数和面积结合，求反比例解析式等．根据题意过点A作于点E，设点，则点，后得到是等腰三角形，继而得到点C的坐标为，后得到，再利用面积列式得，解得，即可得本题答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ， 设点，则点， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴双曲线的解析式为：． 25. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 【答案】任务1：遮阳棚前端到墙面的距离约为；任务2：线段的长度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． 任务1：过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； 任务2：延长交于点，则，在Rt中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 任务2：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， ， ， ， ， 线段的长度约为. 26. 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，是抛物线的对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，当的周长最小时，求的值； （3）如图2，是否存在点P使？如果存在，请求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，得到当点在线段上时的周长最小，根据平行线分线段成比例求出，即可得出结果； （3）设出点坐标，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 连接 在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长．此时点P为直线与对称轴的交点， 设对称轴与轴交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∵对称轴轴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 存在；设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $