精品解析：河南省开封市杞县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度八年级综合素养评估（二） 数学 ▶上册10.1~12.2◀ 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个实数的相反数，解题关键是理解相反数的意义． 根据相反数的意义，找出与只有符号不同的数即可． 【详解】解：∵与只有符号不同， ∴的相反数是．   故选： B． 2. 下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 3. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( ) A. 垂直 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【解析】 【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件，那么后面跟的是结论． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线, 故选D. 【点睛】本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键． 4. 某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．熟练掌握相关运算法则并逐项计算判断是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ A错误； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ， ∴ C正确； ∵ ， ∴ ， ∴ D错误． 故选：C． 6. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、右边为，是和的形式，不是积，不符合题意； B、右边为，其中不是整式，不符合题意； C、右边为，是展开形式，不是积，不符合题意； D、右边为，是整式的积，符合题意； 故选：D． 7. 若展开后不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键．先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再根据一次项的系数为建立方程求解即可． 【详解】解： ， 又该多项式展开后不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①； ②； ③； ④在和中，； ⑤，． 证明步骤正确的顺序是（ ） A. ⑤②④①③ B. ③①④⑤② C. ④①⑤②③ D. ①③④⑤② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：⑤，， ②， ④在和中，， ①， ③， 证明步骤正确的顺序是⑤②④①③， 故选：A． 9. 现对实数，定义一种运算：．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 10. 如图，在中，，，为平面上一点，连接，为的中点，连接，，，，，且．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，且可得，进而得到，证明，得到，，推出，根据为的中点，推出，再结合，即可求解． 【详解】解：，且， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比大，且比小的无理数：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小比较以及无理数的定义，根据无理数的定义，写出一个在和之间的无理数即可． 【详解】解：，，， ，且是无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 13. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为．若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点在数轴上表示的数为，且点在点的右侧，即可求出点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ， ， 点在数轴上表示的数为，点在点的右侧， 点所表示的数为， 故答案为：． 14. 河南科技馆“数字宇宙”展厅的密码被设计成一道数学谜题，小豫在参观时成功破解密码并顺利连接网络，则“”表示的数字是________． 账号： 密码：前四位后四位：？ ，， 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴密码为单项式中的字母按照a、b、c的顺序排列时的指数， ， ， 故答案为：2025． 15. 如图，在中，，在 中，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点P和点Q的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点P和点Q的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：设运动的时间为， 当时，即点P在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点P在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点P在上， 此时， 不存在和全等， 综上所述，点Q的运动速度为或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根、整式的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根、绝对值的性质化简，再计算加减法即可； （2）根据平方差公式和多项式乘多项式的运算法则化简括号内的式子，再计算多项式除以单项式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 18. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方，逆用同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 如图，已知中，点E在上，且． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 【答案】（1） 如图，为所求； （2） 证明：平分， ． 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质． （1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片不能直接装进长方形封皮中 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ，        正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为，        ，  故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 解答下列问题． （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提公因式法 B．公式法 （2）请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的方法，尤其是公式法的应用．本题的关键在于通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式分解．注意分解后的二次项需进一步简化． （1）判断第二步到第三步的分解方法运用了完全平方公式； （2）需模仿题中换元法，通过换元法将复杂多项式转化为二次式，再利用完全平方公式进行分解． 【小问1详解】 解：该同学从第二步到第三步，运用了完全平方公式，属于公式法； 故选：B； 【小问2详解】 设，则原式变为， 代入，得． 22. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一：． 问题二：． 任务： （1）问题一中，若，则________；问题二中，________． （2）如图，在边长为的大正方形中，阴影部分的面积为，边长为的小正方形的周长为，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与完全平方公式，熟练掌握平方差公式与完全平方公式的变形是解题的关键，注意数形结合思想的应用． （1）把看作一个整体，即可将原式变形为，据此可得；根据题干结合完全平方公式计算答案即可； （2）先根据题意得到，，由，即可求解． 【小问1详解】 解：问题一中，， 若，则； 问题二中，， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：边长为的小正方形的周长为， ， ． 阴影部分的面积为， ， ， 即的值为． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，在直线上．如果，猜想，，之间的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）先证明，然后利用证明三角形全等即可； （2）根据三角形内角和定理以及平角定义得出，然后证明，然后利用对应边相等即可得出结论； （3）过点、分别作于点，交延长线于点，连接，，证明和，得出对应边相等，再证明，最后根据面积的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点、分别作于点，交延长线于点，连接，，如图所示： ，是的高， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证，， ， ， ， ∴平行于， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级综合素养评估（二） 数学 ▶上册10.1~12.2◀ 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( ) A. 垂直 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线垂直于同一条直线 4. 某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 若展开后不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①； ②； ③； ④在和中，； ⑤，． 证明步骤正确的顺序是（ ） A. ⑤②④①③ B. ③①④⑤② C. ④①⑤②③ D. ①③④⑤② 9. 现对实数，定义一种运算：．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为平面上一点，连接，为的中点，连接，，，，，且．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比大，且比小的无理数：________． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 13. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为．若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 14. 河南科技馆“数字宇宙”展厅的密码被设计成一道数学谜题，小豫在参观时成功破解密码并顺利连接网络，则“”表示的数字是________． 账号： 密码：前四位后四位：？ ，， 15. 如图，在中，，在 中，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，，，，求证：． 18. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 19. 如图，已知中，点E在上，且． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 20. 综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 解答下列问题． （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提公因式法 B．公式法 （2）请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 22. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务． 问题一：． 问题二：． 任务： （1）问题一中，若，则________；问题二中，________． （2）如图，在边长为的大正方形中，阴影部分的面积为，边长为的小正方形的周长为，求的值． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，在直线上．如果，猜想，，之间的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $