精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

射洪中学高2024级高二上期半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，因为斜率，所以， 而，可得， 故选：B. 2. 已知直线和平行，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简后求得的值. 【详解】因，故， 所以， 化简得：，. 故选：B. 4. 设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的定义知 ， 故选D． 考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义． 5. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】， 故选：B． 6. 口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定每次抽取红球、白球的概率，分析“恰有1个红球1个白球”的两种情形，分别计算概率后求和得到结果. 【详解】有放回抽取时，每次抽红球的概率为，抽白球的概率为， “恰有1个红球1个白球”包含两种情形：第一次红、第二次白，或第一次白、第二次红， 第一种情形的概率：， 第二种情形的概率：， 总概率为：. 故选：B 7. 已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据题目信息得到方程，对方程进行化简得到点的轨迹方程. 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以， ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分． 9. 已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. A与B相互对立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 10. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由圆的半径为2，求出，即可判断；对于B，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断；对于C，由点斜式求出过圆心且与直线垂直的直线方，即可判断；对于D，由圆心C到直线的距离结合半径，可得圆上到直线的距离等于的点的个数，即可判断. 【详解】对于A，圆：的标准方程为， 所以圆心，半径， 由圆的半径为2，则，解得，故A错误； 对于B，因为直线方程为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为直线垂直的直线斜率为， 则过圆心且与直线垂直的直线方程为， 即，故C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离， 由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可； 对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确； 对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误. 对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确； 【详解】对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积的体积不变， 且，所以A正确； 对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得， 设，则， 设直线与所成角为， 则， 因为，当时， 可得，所以； 当时，， 由，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；    对于C，由， 设， 则 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，所以C错误. 对于D：因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为，故不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；    故选：ABD. 【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过圆的圆心，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标并代入直线方程计算得解. 【详解】圆的圆心，由直线过点， 得，解得. 故答案为： 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于，若为等边三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆通径、焦距及等边三角形的性质结合离心率的定义计算即可. 【详解】不妨设，则，, 又为等边三角形，则， 即， 解之得，负根舍去. 故答案为：. 14. 若方程有两个不同的解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和半圆的位置关系确定正确答案. 【详解】由得， 表示圆心为，半径为的圆在轴下方的部分， 表示过点，且斜率存在的直线， 过点与的直线的斜率为， 由图可知，要使方程有两个不同的解， 则的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其中左焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于不同两点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，结合已知条件建立方程组即可求解； （2）把直线与椭圆方程进行联立，利用根于系数的关系以及弦长公式求解即可 【小问1详解】 由题意可设， 将代入得，又， 解得 ， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立， 得， 设，则， . 16. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 【答案】（1） 如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． （2）若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． （3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据事件的相互独立性即可求解； （2）根据事件的相互独立性，分三种情况，即可求解； （3）根据事件的相互独立性，可先求得甲通过面试和乙通过面试的概率，则甲、乙两人只有一人通过面试的概率分为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过两种情况，分别求解即可. 【小问1详解】 设“甲答对道题目”为事件， 因为甲答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以； 【小问2详解】 设“乙恰好答对道题目”为事件， 又乙答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 所以 ； 【小问3详解】 设“甲通过面试”为事件，“乙通过面试”为事件，且与相互独立， 所以， ， 设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件，则， 因为与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于O，则O为的中点，连接，且O､E分别为､的中点， 所以，平面，平面，平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于O，连接，通过证明可利用线面平行的判定定理证明结论； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量和直线的方向向量，结合线面角的向量法求解即可； （3）利用空间向量法求出平面，平面的法向量，结合二面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，侧棱底面， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， ， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则，所以， 又，所以，解得， 所以.则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面与平面的夹角为，则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①设直线. 由整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ②点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）①设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ②分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. 【小问1详解】 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高二上期半期考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 135° 2. 已知直线和平行，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. 设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 5. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分． 9. 已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. A与B相互对立 D. 若，则 10. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过圆的圆心，则___________． 13. 已知椭圆的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于，若为等边三角形，则椭圆的离心率为______. 14. 若方程有两个不同的解，则的取值范围为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其中左焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于不同两点，求弦长. 16. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． （2）若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． （3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $