精品解析：吉林省长春市吉林大学附属中学2025-2026学年九年级上学期期中数学考试卷

数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是6， 故选：． 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴米； 故选：B． 5. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向和对称轴，结合二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过点C，且顶点M在直线上．若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、待定系数法求函数的解析式以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长，继而求得点坐标，继而求得直线的解析式，然后由抛物线经过点，且顶点在直线上，求得答案． 【详解】解：将代入得， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 点， 设直线的解析式为：， ， 解得 直线的解析式为：， 抛物线经过点， ， ，， 顶点为：， 顶点在直线上， ， ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 计算的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 一元二次方程较大的根是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 所以方程较大的根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法因式分解． 12. 如图，在正方形网格中，A，，，是网格线交点，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明是解答本题的关键． 如图：连接，，通过证明可得，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 14. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与分别交于点P、M．对于下列结论：①；②③；④；其中正确的结论是_____（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形相似；通过等腰直角三角形的性质找出边与角的关系，进而证明三角形相似，再根据相似三角形的性质来判断各个结论是否正确即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由③，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 设与相交于F，则， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴对于所给结论：①；②③；④，正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：（15-18每题6分，19题7分，20-21每题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）原式先利用二次根式的性质化简，再合并即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 17. 如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解应用题：用x表示出空白处长方形的长和宽，根据其面积为12列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，栽种蔬菜区域的长为，宽为． 根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故原正方形空地的边长的值为5． 18. 甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）根据题意，列出表格，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲走出口的结果有1种， 甲走出口的概率是． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ． 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； 【小问2详解】 解：由图可知：， 则，， ∴； 【小问3详解】 解：由作图可知：， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形对应边成比例）是解题的关键． （1）要证明，需找到两组对应角相等；利用平行四边形的性质得到一组角相等，再结合已知条件得到另一组角相等． （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式求解的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：． 21. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入表达式求解即可. （2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可. （3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. 【小问2详解】 解：将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度， 即． 将代入， 得， . 【小问3详解】 解：令，即， 解得，， 点A关于直线的对称点坐标为． 当时，点D在点A左侧，仅有1个交点． 当且时，点D在点A右侧，的左侧（包含），有2个交点． 当时，点D在右侧，（或与点B重合），有1个交点． 当时，为顶点，仅有1个交点． 综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为且． 22. 【感知】如图，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点． 求证：． 【探究】如图，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，求的长． 【拓展】如图，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点顺时针旋转得到，连结、，则面积的最大值为_____ 【答案】 感知：证明：，， ， ， 又， ； 探究：的长为； 拓展： 【解析】 【分析】感知：根据题意即可证明，再根据即可得证； 探究：过点作于点，根据旋转的性质可得，，进而可证明，则，，设，再根据相似三角形的判定和性质可得，进而即可求解； 拓展：过作于，交于，根据旋转和矩形的性质可证明，设，根据三角形面积公式可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：感知：略 探究：如图，过点作于点， 将边绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰三角形， ∵， ， 设， ， ，， ， ， ∴， 解得或（舍去）， ； 拓展：过作于，交于， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ∵， ， 又∵， ， ， 设，则，， ， ， 有最大值， 当时，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、旋转的性质和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 23. 如图，在中，，，，是边上的一点，（点不与点、重合），在线段上取中点，以为边作正方形，使边和点在直线的同侧． （1）求的值． （2）当的值最小时，求正方形与重叠部分的面积为_____ （3）当点落在边上时，求的长； （4）若线段将正方形的面积分为两部分时直接写出的长为_____． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数解答即可； （2）当时，的值最小，再由，可得， ∴，再证明，可求出的长，即可求解； （3）作于点Q，则是等腰直角三角形，设，则，，再由勾股定理可得，再由，求出m的值，即可求解； （4）分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为线段的中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ∴正方形与重叠部分的面积为； 【小问3详解】 解：当点落在边上时，， 作于点Q，则是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接， 在正方形中，， 当与相交时，设与相交点M， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点为线段的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴； 当与相交时，设与相交点N，过点F作于点K， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点N为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ， ， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的相似，解直角三角形，解直角三角形等知识点．解题的关键是学会用分类要论的思想思考问题，属于压轴题． 24. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点_____，点_____， （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求此时的值． （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值． ②当时，直接写出的取值范围为_____． （4）点是线段上异于，的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1），； （2）1 （3）①，；②或； （4）或 【解析】 【分析】（1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 点P的坐标为，过点P作于M， ，， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴该函数最高点为， 当时，， ∴点的坐标为， 此时； 当时，， ∴点的坐标为， ∵最高点为顶点， 此时； ②当时，图象的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， ∴当时，（舍去）； 综上所述，的取值范围为或； 【小问4详解】 解：点的坐标是或；理由如下： 如图，当时，则轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴为直线， 点的坐标是； 如图，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 把代入得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，得：， ∴点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C. D. 4. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过点C，且顶点M在直线上．若，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 计算的值等于__________． 11. 一元二次方程较大的根是______. 12. 如图，在正方形网格中，A，，，是网格线交点，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为______． 14. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与分别交于点P、M．对于下列结论：①；②③；④；其中正确的结论是_____（填序号）． 三、解答题：（15-18每题6分，19题7分，20-21每题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 18. 甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 21. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 22. 【感知】如图，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点． 求证：． 【探究】如图，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，求的长． 【拓展】如图，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点顺时针旋转得到，连结、，则面积的最大值为_____ 23. 如图，在中，，，，是边上的一点，（点不与点、重合），在线段上取中点，以为边作正方形，使边和点在直线的同侧． （1）求的值． （2）当的值最小时，求正方形与重叠部分的面积为_____ （3）当点落在边上时，求的长； （4）若线段将正方形的面积分为两部分时直接写出的长为_____． 24. 如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点_____，点_____， （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求此时的值． （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值． ②当时，直接写出的取值范围为_____． （4）点是线段上异于，的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $