精品解析：吉林省松原市2025-2026学年上学期第三次月考八年级数学试题

八年上第三次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是解题的关键． 轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，按概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选B． 3. 下列各组数可以作为等腰三角形的三边长的是（） A. 1，1，3 B. 2，3，4 C. 8，8，5 D. 5，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的定义（有两边相等）和三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），据此逐项判断即可． 【详解】解：A．1，1，3，，不满足三角形不等式； B．2，3，4，没有两边相等，不是等腰三角形； C．8，8，5，两边相等，且，满足三角形的三边关系，符合题意； D．5，5，10，，等于第三边，不满足三角形不等式． 故选C． 4. 如图所示，若，，则可判定，这是根据（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，，，可证明，据此解答即可． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 5. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在边上，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质、垂线段最短等知识点，掌握角平分线尺规作图的方法是解题的关键． 根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质、垂线段最短，逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故C选项正确； 无法得到，故B选项错误； ∵平分，， ∴点D到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值为的长，故D选项正确． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标、纵坐标相同、横坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称时，横坐标取相反数，即，纵坐标不变，仍为，故对称点的坐标为． 故答案为：． 9. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是和底角的外角是，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可． 【详解】解：分两种情况： （1）当顶角的外角是时，顶角的度数为：； （2）当底角的外角是时，底角的度数为：， 顶角的度数是：， 故答案为：或． 10. 如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ，， ，， ， 故答案为：6． 11. 如图，在中，于点，将沿翻折得到，已知，则的长是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，掌握30度所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵将沿翻折得到，， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 13. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 14. 如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据得，由角平分线的定义得，所以，再根据等腰三角形的判定得，再结合得，即可得证． 【详解】略． 15. 如图，，，，点是边的中点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ； （2） 证明：由（1）可知，， ， 点是边的中点， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个，使是轴对称图形； （2）在图②中，作一个，使与成轴对称； （3）在图③中，作一个，使． 【答案】（1） 解：如图①，即为所求； （2） 解：如图②，即为所求； （3） 解：如图③，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，利用相关性质正确画出图形是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质即可求解； （2）根据轴对称图形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 先计算平方差式、完全平方式，单项式乘多项式，再合并同类项，最后将，代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）直接写出的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式推出，再由，即可求解； （2）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，即可求解的度数． 【小问1详解】 解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长等于， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， 即：． 19. 如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． （1）用含、的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米， 即绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）， 即绿化部分的总面积为平方米． 20. 如图，是等边三角形，．动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动．当点不与点重合时，连接．设点的运动时间为． （1）的长为_________（用含的代数式表示）； （2）求证：为等边三角形； （3）在不添加字母和辅助线的前提下，当图中存在等腰钝角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴， 在中，且， ∴为等边三角形． （3）2或8 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据题意表示的长即可； （2）由等边三角形的性质可得，再说明即可证明结论； （3）分为等腰钝角三角形和为等腰钝角三角形两种情况，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵．动点同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴． 故答案为：t． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当为等腰钝角三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 当时，为等腰钝角三角形， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当为等腰钝角三角形，此时点P在的延长线上，，， ∴，即． 综上，t的值为2或8． 21. 【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图①可以得到的公式为___________；如图②可以得到的公式为___________； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，和之间的等量关系为___________； 【结论应用】 （3）①若，则________； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，正方形和正方形的边长分别为，若，，则图中阴影部分图形的面积和为___________． 【答案】（1），；（2）；（3）①；②；（4）16． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接根据图形列代等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由题意可得，然后代入相关结论求解即可；②由题意可得，，再运用（2）的结论解答即可； （4）阴影部分面积和可表示为：，整理可得，即，然后代入相关结论即可解答． 【详解】解：（1）如图：由①可得：； 如图：由②可得：． 故答案为：，． （2）∵，． ∴，即． 故答案为：． （3）①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）阴影部分面积和可表示为： ． 22. 【特例探究】 （1）如图①，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．求证：． 小明的部分证明过程如下： 证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 请你将剩余的证明过程补充完整； 【变式探究】 （2）如图②，点在直线上，点在点的右边，点在点左边，以点为顶角作等腰三角形，连接．若，求证：； 【拓展应用】 （3）在【变式探究】条件下，设，若三点在同一条直线上，直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 ∴ 在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）证明：， 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据全等三角形的性质得到，，进而求出，根据三角形内角和计算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年上第三次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 下列各组数可以作为等腰三角形的三边长的是（） A. 1，1，3 B. 2，3，4 C. 8，8，5 D. 5，5，10 4. 如图所示，若，，则可判定，这是根据（ ） A. B. C. D. 5. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 6. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交、于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在边上，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是的长 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是___________． 9. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 10. 如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为_____． 11. 如图，在中，于点，将沿翻折得到，已知，则的长是___________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 因式分解： （1）； （2）． 14. 如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 15. 如图，，，，点是边的中点． 求证： （1）； （2）． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个，使是轴对称图形； （2）在图②中，作一个，使与成轴对称； （3）在图③中，作一个，使． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）直接写出的长； （2）若，求的度数． 19. 如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． （1）用含、的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化部分的总面积． 20. 如图，是等边三角形，．动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动．当点不与点重合时，连接．设点的运动时间为． （1）的长为_________（用含的代数式表示）； （2）求证：为等边三角形； （3）在不添加字母和辅助线的前提下，当图中存在等腰钝角三角形时，直接写出的值． 21. 【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图①可以得到的公式为___________；如图②可以得到的公式为___________； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，和之间的等量关系为___________； 【结论应用】 （3）①若，则________； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，正方形和正方形的边长分别为，若，，则图中阴影部分图形的面积和为___________． 22. 【特例探究】 （1）如图①，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．求证：． 小明的部分证明过程如下： 证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 请你将剩余的证明过程补充完整； 【变式探究】 （2）如图②，点在直线上，点在点的右边，点在点左边，以点为顶角作等腰三角形，连接．若，求证：； 【拓展应用】 （3）在【变式探究】条件下，设，若三点在同一条直线上，直接写出的大小（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $