精品解析： 河南省周口市郸城县2025-2026学年上学期期中学情调研九年级数学试题

2025－2026学年第一学期期中学情调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 4. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可变形为( ) A. B. C. D. 6. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 8. 如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 13 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为：_____．（写出一个即可） 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是______． 13. 电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 14. 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．若米，米，米，则金字塔的高度___________米． 15. 定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的相似比为； （2）若点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是__________． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，求整数m的最大值 20. 如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 21. 【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：______，______； （2）计算：： 22. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 23. 【初步探究】 （1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空： （“”或“”）． 【类比探究】 （2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【问题解决】 （3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期中学情调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得解．解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则，二次根式的加减法需要合并同类二次根式，乘除法需遵循根号内数值运算的法则，通过直接计算可判断各选项的正误． 【详解】A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误。 D、，故该选项正确； 故选：D． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， 故选：B． 4. 若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 5. 一元二次方程配方后可变形为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法；把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：． 8. 如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】解：在中，点、分别在的边、上，， A．，能使与相似，故该选项不符合题意； B．，能使与相似，故该选项不符合题意； C．，能使与相似，故该选项符合题意； D．，不能使与相似，故该选项不符合题意． 故选：D． 9. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：篱笆总长为18米，的长为米， 的长为米． 根据题意得：． 故选：D． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 13 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， ， 如图，取中点，连接， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， （负值舍去）， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为：_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的概念“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题关键．先确定方程的左边分解因式后，含有因式，再根据一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，写出一个符合条件的一元二次方程为，即， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点向上平移2个单位长度，根据平移中点的变化规律，横坐标不变，纵坐标增加2，所以得到的点的坐标是． 故答案为：． 13. 电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【解析】 【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：， 将，，代入，得， 解得：或（负值，舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是将已知量代入公式计算，比较简单． 14. 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．若米，米，米，则金字塔的高度___________米． 【答案】137 【解析】 【分析】根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴（米）． 答：金字塔的高度为米． 故答案为：137． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出，进而得出比例式是解题关键． 15. 定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，熟记以上知识是解本题的关键． （1）先进行二次根式的乘法运算，并化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式，再计算乘方后，再去括号，最后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的方法，根据方程形式选择合适的解法解方程是解题关键． （1）可用开平方法解方程； （2）可用因式分解法解方程． 【小问1详解】 整理，得， ， ，． 【小问2详解】 整理，得， 或， ，． 18. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心在第一象限内画出位似图形，使得与的相似比为； （2）若点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中位似的作图、位似图形的坐标变化规律． （1）根据位似图形的作图方法找到的对应点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的坐标变化规律即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是， 故答案为： 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，求整数m的最大值 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．由题意知，，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 解得，，且， ∴整数m的最大值是0， 20. 如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【答案】证明见解析，相似比为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似比，先证明，然后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 21. 【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：______，______； （2）计算：： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）仿照题干的解题过程进行分母有理化即可． （2）先将第一个括号里的各项进行分母有理化，再进行二次根式的加减，最后按照平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ． 22. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 23. 【初步探究】 （1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空： （“”或“”）． 【类比探究】 （2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【问题解决】 （3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】（1）； （2）结论成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形纸片如图①折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，得出，即可证明； （2）根据（1）的方法证明即可得出结论； （3）分，，两种情况分别讨论，根据勾股定理以及全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形纸片如图①折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示，当时，是直角三角形， 由折叠可得，， ∴，即点P，B'，D在一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴； 如图所示，当时，是直角三角形，过作于H，作于Q，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则， 中，， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $