精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线方程得出直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系得出倾斜角的正切值，进而求出直线的倾斜角． 【详解】直线， 斜率， 设直线倾斜角，， ， ，故C正确． 故选：C． 2. 对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 3. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求得，利用前项和公式可求得，进而求得公差，利用等差数列的通项公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得， 由，得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：B. 4. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 5. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由双曲线，可得， 所以，所以， 因为点P在双曲线C上，，又因为， 所以，解得或， ①当在下支时，， ②当在上支时，， 综上所述：， 所以. 故选：B. 6. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算可推导出数列是公比为2的等比数列，利用等比数列的基本性质可求解. 【详解】因为，得，所以， 所以，所以数列是以为公比的等比数列， 又，所以， 即. 故选：A. 7. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 8. 已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解. 【详解】因为， 所以，所以，又，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 当时，取得最大值，所以取值为. 故选：C. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（ ） A. 若，则当且仅当时，取得最大值 B. 若，则当且仅当时，取得最大值 C. 若，则当且仅当时，取得最大值 D. 若，，则当或14时，取得最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况. 【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列， 对于A，且时取最大值，设， 则， 当时，；时，；时，， 所以或14时，前k项和取最大值，A项错误； 对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，. ，则，， ，， 前14项和最大，B项正确； 对于C，，则，同理，，， 前13项和最大，C项错误； 对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确； 故选：BD. 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置和方程的特点列不等式组，求解即得. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故，解得 即. 故答案为：. 13. 抛物线在处的切线斜率为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得，所以， 所以抛物线在处的切线斜率为. 故答案为：. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 16. 记，分别为数列，的前项和，其中，． （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2）1508 【解析】 【分析】（1）根据的关系式推出和，再利用推出； （2）根据结合的关系式求出，再计算． 【小问1详解】 ， 当时，， 当时，则， ， 时，符合上式，． 【小问2详解】 ， ， ． 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，证明：． 【答案】（1） （2） ， 则， 因为，故， 又在上单调递减， 故随的增大而增大， 故， 综上，． 【解析】 【分析】（1）根据所给式子得到，作差即可得到，，再计算，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以时，， 两式作差得，， 所以时，， 又时，，得，符合上式， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 略 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点构成一系列正三角形，记为（为坐标原点）．设的边长为，点． （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列，记的前项和为，求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算直线的方程，联立抛物线方程，求出坐标，结合正三角形性质可求.根据为正三角形表示点坐标，根据点在曲线上列方程可得结果. （2）表示坐标，根据在曲线上得到递推关系，得到数列为等差数列可得结果. （3）利用放缩法得出，分和两种情况可证明． 【小问1详解】 设，因为为正三角形，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立得， 因为，所以，故，即， 所以，故. 因为为正三角形，且，所以， 因为点在曲线上，所以， 整理得，解得， 所以． 【小问2详解】 由，得的横坐标为，纵坐标为， 因为在曲线上， 所以，即，故， 两式作差得，， 因为，所以，即， 由可得，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 【小问3详解】 由（2）得，， 因为，所以，故， 当时，， 当时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 4. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 6. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（    ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 11. 已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（ ） A. 若，则当且仅当时，取得最大值 B. 若，则当且仅当时，取得最大值 C. 若，则当且仅当时，取得最大值 D. 若，，则当或14时，取得最大值 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______． 13. 抛物线在处的切线斜率为___________． 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 16. 记，分别为数列，的前项和，其中，． （1）求的通项公式； （2）求． 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，证明：． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点构成一系列正三角形，记为（为坐标原点）．设的边长为，点． （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列，记的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $