3.3.1 抛物线及其标准方程（十三大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线定义的理解 1．设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D 2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 【答案】 【分析】延长与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 3．已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点． (1)若的纵坐标为2，求； (2)已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出的坐标，求出直线的方程，设，，根据韦达定理求出即可求解； （2）设的方程为，联立求出和，求出，求出直线的斜率为，求出直线的方程和直线的方程，与直线的方程联立求得，同理得到点，求出即可求解. 【详解】（1）若的纵坐标为2，可知的坐标为， 又，故直线的方程为， 由得， 设，，则， 故由抛物线的定义可知，； （2） 设的方程为， 由得， 故根据（1）中所设，的坐标有，， 又易知，故直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 与直线的方程联立得， 同理得． 故，，代入，， 得，， 故为线段的中点． 题型二 利用抛物线定义求动点轨迹 4．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 5．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 6．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求的取值范围； (2)点关于原点对称，若，求的面积． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）由已知得，即，化简即可得出点M的轨迹C的方程，设直线l的方程为，与C的方程联立，要使得有三个交点，则，，直线l与轴交点横坐标小于0，列出不等式组求解即可； （2）由得出的坐标即可求解面积． 【详解】（1）设，依题意得：，即， 化简得，， 所以点M的轨迹C的方程为， 设直线l的方程为．由方程组， 可得． 要使得有三个交点，则， 方程的判别式为， 设直线l与x轴的交点为，则由，取得． 当， 解得或， 故当时，直线l与轨迹C恰有三个公共点． （2）设，由（1）知， 所以， 由直线l的方程可知，故， 所以，， 则，整理得，解得， 从而，故， 则，，即直线为，， 点到直线的距离为， 所以． 题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值 7．若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，点到焦点的最短距离为，代入求解即可． 【详解】抛物线上的点到焦点的最短距离为， ，解得， 所以抛物线方程为． 故选：D． 8．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 【答案】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故，    所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 9．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 题型四 抛物线上的点到焦点的距离的和、差最值 10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 11．已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 【答案】6 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 12．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】(1) (2)存在，，的最小值为13 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解椭圆的右焦点，进而求得抛物线方程； （2）利用抛物线的定义进行转化，根据三点共线解点的坐标，以及的最小值. 【详解】（1）由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. （2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得， 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值为， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 题型五 根据抛物线方程求焦点或准线 13．若抛物线的焦点在直线上，则等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先求出焦点坐标，代入方程，即可求出. 【详解】抛物线的焦点为， 因为焦点在直线上，所以，解得. 故选：B 14．已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 【答案】 【分析】由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 15．开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】(1)标准方程为.准线方程为 (2) 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据求面积即可. 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2） 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 题型六 抛物线方程的四种形式及位置特征 16．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可. 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 17．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是 . 【答案】 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】因为抛物线C与抛物线关于轴对称， 所以抛物线C的方程为， 则抛物线C的准线方程是. 故答案为：. 18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程． (2)已知O为坐标原点，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，D为直线l上一点，且，证明：存在定点Q，使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求； (2)由题可知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理和求出m与b的关系，即可求出l经过的定点P，根据题意OP中点Q即为所求点﹒ 【详解】（1）由题意知，p＝2， ∴该抛物线的方程为； （2）由题可知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，， 由得，， ∴，． ∵，∴， 又∵，，∴，解得， ∴，得， ∴直线l的方程为，∴直线l过定点． 又，则D在以为直径的圆上，的中点即圆心Q， 故存在，使得． 题型七 抛物线的焦点半径公式 19．某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据三角形重心的性质可得，，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意可知，抛物线，焦点在抛物线上， 且是的重心，， ∴根据抛物线定义可知：. 故选:C 20．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 【答案】4 【分析】根据焦半径列式即可求得. 【详解】因为抛物线的准线为 所以点到的距离， 又， 所以，解得. 故答案为：4. 21．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 题型八 根据抛物线的方程求参数 22．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 23．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 24．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值； （2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标． 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即， 因为的面积为4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，． 当直线l斜率为0时，不适合题意； 当直线l斜率不为0时，设直线，设，， 由，得， 则，，， 因为直线PA，PB的斜率之和为， 所以，即， 所以，所以 ，整理得， 所以直线， 令，解之得，所以直线l过定点． 题型九 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 25．抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数. 【详解】由题设，抛物线标准形式为，则，可得. 故选：D 26．抛物线的准线方程为，则 . 【答案】 【分析】根据准线方程，求出p值，即可得答案. 【详解】根据准线方程为，故，所以. 故答案为： 27．分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是，并且经过点的椭圆方程； (2)焦点在直线上的抛物线方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据题意可得，再由椭圆的定义列式求出的值，进而求得的值，即得椭圆方程； （2）先求出直线与两坐标轴的交点，由题意知标准抛物线的焦点在坐标轴上，可分为两种情况，分别求解抛物线的方程即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为．由题意，， 根据椭圆的定义，，解得， 所以． 故所求椭圆的标准方程为． （2）因为直线与两坐标轴的交点分别为和，即抛物线的焦点坐标可以是和， 当抛物线的焦点为，其方程形如， 则由可得，此时抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，其方程形如， 则由可得，此时抛物线的方程为. 综上，可得抛物线的方程为和. 题型十 根据定义求抛物线的标准方程 28．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 29．当参数随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】配方得顶点坐标，消参即可得解. 【详解】抛物线方程可化为， 它的顶点坐标为， 消去参数得：. 故答案为：. 30．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）先由题意设抛物线的方程为，进而由题意求出和，再结合求出即可得解； （2）先由（1）得，接着联立两曲线方程求得点M的横坐标，再结合抛物线焦半径公式即可求出参数a即可得解. 【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线的方程为， 不妨设在第一象限，由题意可得直线和直线均过点，且轴，轴， 将代入抛物线方程得，则， 将代入双曲线方程得，则， 因为，所以，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以的离心率为3． （2）由（1）得， 则的方程为的方程为， 联立，消去得， 解得或（舍去），则的横坐标， 因为，故由抛物线定义可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，抛物线的标准方程为． 题型十一 根据抛物线上的点求标准方程 31．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程． 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D 32．若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，将点的坐标代入抛物线的方程，求得，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】因为抛物线经过点，可得，解得，即 又因为抛物线的焦点在轴上，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 33．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【详解】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 题型十二 求抛物线的轨迹方程 34．以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程. 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 35．在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 【答案】 【分析】根据给定条件，借助几何关系及抛物线定义求出点的轨迹方程，再按是否在点的轨迹内分类求解. 【详解】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 36．点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹的方程； （2）设出直线的方程，根据直线与曲线相切得到关于的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出的面积，最后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】（1）设，则，所以， 因为，所以， 所以P点到轨迹为； （2）设，， 因为为曲线的切线，联立可得， 所以， 由可得， 所以， 且，， 所以， 又因为原点O到AB的距离为， 所以， 当且仅当，即或时等号成立（此时满足）， 综上可知面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（r为内切圆半径）. 题型十三 求实际问题中的抛物线方程 37．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 38．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 39．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线定义的理解 1．设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则 . 3．已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点． (1)若的纵坐标为2，求； (2)已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点． 题型二 利用抛物线定义求动点轨迹 4．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 5．在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 6．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求的取值范围； (2)点关于原点对称，若，求的面积． 题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值 7．若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则 . 9．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 题型四 抛物线上的点到焦点的距离的和、差最值 10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 12．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 题型五 根据抛物线方程求焦点或准线 13．若抛物线的焦点在直线上，则等于（   ） A． B． C． D．3 14．已知点到抛物线的准线的距离为，则 . 15．开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 题型六 抛物线方程的四种形式及位置特征 16．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 17．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是 . 18．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程． (2)已知O为坐标原点，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，D为直线l上一点，且，证明：存在定点Q，使得为定值． 题型七 抛物线的焦点半径公式 19．某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 20．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 . 21．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 题型八 根据抛物线的方程求参数 22．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 23．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 24．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 题型九 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 25．抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A． B．或 C． D．或 26．抛物线的准线方程为，则 . 27．分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是，并且经过点的椭圆方程； (2)焦点在直线上的抛物线方程. 题型十 根据定义求抛物线的标准方程 28．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 29．当参数随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 . 30．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 题型十一 根据抛物线上的点求标准方程 31．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 32．若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 33．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 题型十二 求抛物线的轨迹方程 34．以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 36．点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 题型十三 求实际问题中的抛物线方程 37．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 38．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    39．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $