3.3.1 抛物线的标准方程 同步练（基础巩固篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 5. 抛物线的标准方程 （同步练） （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：抛物线的焦点坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：抛物线中，即，焦点坐标为，选 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：抛物线的准线方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：抛物线中，即，准线方程为，选 3.（2025·华南师大附中月考题）：已知抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线方程为，则该抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：设抛物线方程为，准线方程，得，方程为，选 4.（2024·成都七中联考真题）：若点在抛物线上，且点到焦点的距离为3，则的值为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 解析：由抛物线定义，点到焦点距离等于到准线距离，即，解得，选 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：抛物线的准线方程为，则的值为（） A. 　　B. 　　C. 4　　D. -4 解析：抛物线化为标准形式，准线方程，解得，选 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知抛物线的焦点为，点在上，点到准线的距离为6，且，则（） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 解析：题目条件表述重复，若点横坐标为3，则，得，选 7.（2024·人大附中期末考试题）：过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 解析：由抛物线焦点弦长公式，，故，选 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则该抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：设抛物线方程为，代入得，，方程为，选 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于抛物线，下列说法正确的有（） A. 焦点坐标为　　B. 准线方程为 C. 过该抛物线的焦点且平行于轴的弦长为4　　D. 离心率为 解析：中，焦点、准线，A、B正确；过焦点平行轴的直线，弦长为通径，C正确；抛物线离心率为1，D错误，选 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知抛物线，则下列说法正确的是（） A. 对称轴为轴　　B. 焦点坐标为 C. 准线方程为　　D. 抛物线上任意一点的离心率为1 解析：抛物线对称轴为轴，焦点，准线，离心率恒为1，A、B、C、D均正确，选 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的横坐标可以为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 解析：由抛物线定义，，得，选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：抛物线的准线方程为__________。 解析：得，准线方程，答案： 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，且过点，则该抛物线的标准方程为__________。 解析：设方程为，代入得，，方程为，答案： 14.（2023·石家庄二中联考真题）：过抛物线的焦点作垂直于轴的直线交抛物线于两点，则的值为__________。 解析：抛物线通径长为，得，故，答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点，求该抛物线的标准方程及焦点坐标。 解析： ∵ 抛物线顶点在原点，对称轴为轴 ∴ 设抛物线的标准方程为或 将点代入得： 即，解得 代入不成立，故抛物线方程为 由得，焦点坐标为 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求点的坐标。 解析： （1）根据抛物线的定义，抛物线上任一点与焦点的距离等于该点到准线的距离 抛物线的准线方程为 ∴ ，解得 ∴ 抛物线的标准方程为 （2）将点代入得： 解得 ∴ 点的坐标为或 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为坐标原点。 （1）求抛物线的准线方程； （2）若，求直线的方程。 解析： （1）抛物线的标准形式为，其中，即 准线方程为，即 （2）抛物线的焦点坐标为 ∵ 直线过点，当直线斜率不存在时，，故斜率存在 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程 消去得： 设，，由韦达定理得 由抛物线定义，焦点弦长 又，，则 ∴ 由得，解得 ∴ 直线的方程为或 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点。 （1）求直线的方程； （2）求线段的长度。 解析： （1）抛物线的焦点坐标为 ∵ 直线过点且斜率为1 ∴ 由点斜式得直线的方程为，即 （2）联立直线与抛物线的方程 消去得：，整理得 设，，由韦达定理得 由抛物线焦点弦长公式，其中 ∴ ，即线段的长度为 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知抛物线，点在抛物线上，直线过点且与抛物线交于另一点。 （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的斜率为2，求线段的长度。 解析： （1）∵ 点在抛物线上 ∴ 将点代入方程得，解得 ∴ 抛物线的标准方程为 （2）∵ 直线过点且斜率为2 ∴ 直线的方程为，整理得 联立直线与抛物线的方程 消去得：，即 解得或 ∵ 点的横坐标为1，∴ 点的横坐标为0，代入得 ∴ 点的坐标为 由两点间距离公式得 即线段的长度为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 5. 抛物线的标准方程 （同步练） （基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.（2024·衡水中学期中考试题）：抛物线的焦点坐标为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.（2023·黄冈中学期末考试题）：抛物线的准线方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（2025·华南师大附中月考题）：已知抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线方程为，则该抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（2024·成都七中联考真题）：若点在抛物线上，且点到焦点的距离为3，则的值为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 5.（2023·山东师大附中期中考试题）：抛物线的准线方程为，则的值为（） A. 　　B. 　　C. 4　　D. -4 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知抛物线的焦点为，点在上，，点到准线的距离为6，则（） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 6.（2025·雅礼中学月考题）：已知抛物线的焦点为，点在上，点到准线的距离为6，且，则（） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 7.（2024·人大附中期末考试题）：过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 8.（2023·华中师大一附中联考真题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则该抛物线的标准方程为（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（2024·南京师范大学附中月考题）：关于抛物线，下列说法正确的有（） A. 焦点坐标为　　B. 准线方程为 A. 焦点坐标为　　B. 准线方程为 C. 过该抛物线的焦点且行于行于轴行弦长为4　　D. 离心率为 C. 过该抛物线的焦点且平行于轴的弦长为4　　D. 离心率为 10.（2025·杭州二中期中考试题）：已知抛物线，则下列说法正确的是（） A. 对称轴为轴　　B. 焦点坐标为 C. 准线方程为　　D. 抛物线上任意一点的离心率为1 11.（2023·长沙长郡中学联考真题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的横坐标可以为（） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2024·西北工业大学附属中学月考题）：抛物线的准线方程为__________。 13.（2025·厦门双十中学期中试题）：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，且过点，则该抛物线的标准方程为__________。 14.（2023·石家庄二中联考真题）：过抛物线的焦点作垂直于轴的直线交抛物线于两点，则的值为__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分）（2024·东北育才学校月考题）：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点，求该抛物线的标准方程及焦点坐标。 16.（15分）（2025·福州一中期中试题）：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。 （1）求抛物线的标准方程； （2）求点的坐标。 17.（15分）（2024·西南大学附属中学校联考真题）：已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为坐标原点。 （1）求抛物线的准线方程； （2）若，求直线的方程。 18.（17分）（2023·武汉外国语学校期中试题）：已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点。 （1）求直线的方程； （2）求线段的长度。 19.（17分）（2025·广州执信中学联考真题）：已知抛物线，点在抛物线上，直线过点且与抛物线交于另一点。 （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的斜率为2，求线段的长度。 原卷版·参考答案 一、单选题 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. B 8. A 二、多选题 9. ABC 10. ABCD 11. B 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. 解：设抛物线方程为或 将代入得， 方程为，焦点坐标为 16. 解：（1）由抛物线定义，，解得 抛物线标准方程为 （2）将代入得， 点坐标为或 17. 解：（1）抛物线的准线方程为 （2）焦点，设直线方程为 联立得 设，，则， 由抛物线定义，解得 直线方程为 18. 解：（1）焦点，直线方程为 （2）联立得 设，，则 19. 解：（1）将代入得， 抛物线标准方程为 （2）直线方程为，即 联立得，解得或 ， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $