精品解析：山东省临沂市兰陵县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上学期阶段质量调研 九年级数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若抛物线的对称轴是直线，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 7. 如图，是半圆的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则_____，_____． 12. 设，是方程的两个实数根．若，则_____． 13. 点在抛物线上运动，当到轴的距离为1时，点的坐标为_____． 14. 如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为_____． 15. 如图，已知正方形的边长为，点为延长线上的一动点，连接，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最小值是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 18. 如图，中，． （1）试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出的半径． 19. 在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： 【初步尝试】求二次函数的顶点坐标及与轴的交点坐标； 【类比探究】当函数时，自变量的取值范围是全体实数，下表为与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 0 0 0 3 ．．． ①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； ②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质． 【深入探究】若点在图象上，且，则的取值范围为_____． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 21. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． （1）判断与半圆的位置关系，并说明理由． （2）若，求． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_____； （2）试判断该二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （3）若该函数图象上有两个点、，当时，请求出的取值范围． 23. 已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． （1）说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） （2）在图①中，①求证：； ②______． （3）当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段质量调研 九年级数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 根据中心对称图形的定义对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，符合题意； B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D： 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，求出a的范围，再选择符合条件的选项． 【详解】解：∵一元二次方程 无实数根， ∴ ， 解得， ∴ a的值必须大于1，选项中只有B满足条件， 故选：B． 4. 若抛物线的对称轴是直线，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴为直线，求得b的值，将b值代入解一元二次方程即可． 本题主要考查了抛物线的性质，一元二次方程的解法，利用二次函数的对称轴为直线，求得b的值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴． ∴． ∴关于x的方程为：． ∴，． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过A作轴于点B，过作轴于点C，得出，证明，故有，然后根据坐标特点即可求解． 【详解】解：如图，过A作轴于点B，过作轴于点C，则， 由旋转知，， ， ， ， ， ∵点的坐标为， ， ， 故选：B． 6. 如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先过O作于D，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围． 【详解】解：过O作于D，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂线段最短，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7. 如图，是半圆的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图与性质，等边三角形的判定，圆周角定理，三角形内角和定理．熟练掌握垂直平分线的尺规作图与性质，等边三角形的判定，圆周角定理，三角形内角和定理是解题的关键． 由尺规作图可知垂直平分，故，结合，证明是等边三角形，得出，已知是半圆的直径，根据圆周角定理得出，最后结合三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：连接， 由作图可知直线是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， 又是半圆的直径， ， ， 故选D． 8. 某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则_____，_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，列出方程并求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，． 故答案为：，． 12. 设，是方程的两个实数根．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求另一根． 【详解】解：方程 中，，， 由根与系数的关系，得两根之和 ． 已知 ，代入得 ， 解得 ． 故答案为． 13. 点在抛物线上运动，当到轴的距离为1时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值．点到轴的距离为，则其纵坐标为或，分别代入抛物线解析式求解横坐标． 【详解】解：设点的坐标为，由题意得，即或， 当时，代入，得，解得，， 此时点为或， 当时，代入，得，解得，， 此时点为． 综上所述：点的坐标为、或， 故答案为：或或． 14. 如图，是的直径，是延长线上一点，且，与相切于点，连接，且，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质．熟练掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 连接，由切线性质得，由等腰三角形和外角性质，推出，得到，设半径为，列出方程，求出后再结合求出的长即可． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为． 15. 如图，已知正方形的边长为，点为延长线上的一动点，连接，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最小值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段最短的性质以及含特殊角的三角函数的计算．通过旋转将转化为求是解题的关键． 将绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，是等边三角形，再根据四边形是正方形，得到，进而求出 最后结合垂线段最短的性质和含特殊角的三角函数计算即可得出结果． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 点的对应点为点，则点的对应点与点重合，连接， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是正方形，且点在延长线上， ， ， 当时，的长最短，最短长度为， 的最小值是5， 故答案为：5． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． （1）先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式后解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为； （2） 解：如图所示， 的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 18. 如图，中，． （1）试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出的半径． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，做外接圆，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）做其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆； （2）连接交于D，连接，先在三角形中求出的值，然后在三角形中，用半径表示，根据勾股定理求出半径． 【小问1详解】 解：分别作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心为半径画圆，即为所求； 【小问2详解】 如图，连接交于D，连接． ， ，． 在中， ， 设，则， 在中，由， 得， 解得． 19. 在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： 【初步尝试】求二次函数的顶点坐标及与轴的交点坐标； 【类比探究】当函数时，自变量的取值范围是全体实数，下表为与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 0 0 0 3 ．．． ①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； ②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质． 【深入探究】若点在图象上，且，则的取值范围为_____． 【答案】【初步尝试】此抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，； 【类比探究】①如图所示： ②1．图象关于轴对称；2．当取1或时，函数有最小值； 【深入探究】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，绝对值的应用，函数与不等式的转化，偶函数的对称性．熟练掌握二次函数的图像与性质，绝对值的应用，函数与不等式的转化，偶函数的对称性是解题的关键． 初步尝试：先将函数转化为顶点式后求二次函数的顶点坐标，再令，解一元二次方程，得到与轴的交点坐标； 类比探究：①判断函数是偶函数，利用图像关于轴对称的性质，把已有右侧图像沿轴翻折，补出左侧部分； ②观察补全后的图像，结合偶函数特征，总结出对称性、增减性、最值的性质； 深入探究：先设，将含绝对值的不等式转化为普通的二次不等式进行求解，再对绝对值不等式进行分析即可解答． 【详解】解：初步尝试：， 此抛物线的顶点坐标为； 令，则， 解得，， 此抛物线与轴的交点坐标为； 类比探究：①略 ②函数图象的性质：（答案不唯一，合理即可） 1．图象关于轴对称； 2．当取1或时，函数有最小值； 深入探究：令， 设，则方程变为， 解得， ， 或． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，则每天的销售量为______件，销售利润为______元； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）80；1600 （2）每件工艺品售价应为55元 （3）利润不能到2000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“销售单价每提高1元，每天就减少售出2件”可求出销售量，再根据“利润=每件的利润×每天的销售量”计算即可得解； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． （3）同（2），利润=每件的利润×每天的销售量，判断该方程是否有解，且小于65，若存在，则能，否则则不能． 【小问1详解】 解：依题意得：销售量为：（件）， 销售利润为：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【小问3详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， ， ∴无解， 答：利润不能到2000元． 21. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． （1）判断与半圆的位置关系，并说明理由． （2）若，求． 【答案】（1） 与半圆相切，理由如下： 如图，设半圆的圆心为，连接，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 是半圆的半径， 与半圆相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 是半圆的直径， 是半圆的切线， 由（1）得，与半圆相切， ， 设， ， ， ， 解得， ． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_____； （2）试判断该二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （3）若该函数图象上有两个点、，当时，请求出的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 解：有两个不同的公共点， 理由如下：由题可知， ， ， ， 该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）掌握根的判别式的计算方法，结合完全平方的非负性判断的符号，建立二次函数与一元二次方程的联系即可； （3）明确二次函数的对称轴和开口方向，分析到点对称轴的距离大于点对称轴的距离得到，最后根据绝对值的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， 故答案为2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图象开口向上， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ， 即， ． 23. 已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． （1）说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） （2）在图①中，①求证：； ②______． （3）当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 【答案】（1） 解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； （2） ①证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② （3） ①解：的度数不会发生变化， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ②证明：连接，过点C作，于点H，G， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． ∴点C落在的角平分线上． 【解析】 【分析】（1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （2）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可； ②根据，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答； （3）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可解题； ②连接，过点作于点，根据，得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $