专题09 平面图形的初步认识章末77道压轴题型专训（11大题型）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题09 平面图形的初步认识章末77道压轴题型专训（11大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 探究线段之间的数量关系 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 题型八 平行公理推论的应用 题型九 平行线判定的实际应用 题型十 平行线的新定义问题 题型十一 多边形对角线综合应用 【经典例题一 动角计算问题】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互为余角和补角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）依题意得，，再根据可得出答案； （2）依题意得，，根据角平分线的定义得，再根据可得出答案； （3）设，则，根据，且和互补，得，再根据得，由此解出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 和互余， ； （2）解：依题意得：，， 是的平分线， ， ； （3）解：设， ， ， ，且和互补， ， 又，， ， 解得：， ． 2．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）【理解新知】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“2倍角线”． （1）角的平分线__________这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的”2倍角线”，则__________． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． （3）当射线旋转到同一条直线上时，求t的值； （4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于的角．） 【答案】（1）是 （2）或或 （3）4或10或16 （4）2或12 【分析】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． （1）由角平分线的定义和“2倍角线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求的值； （3）分三种情况讨论，列出方程可求的值； （4）分六种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求的值． 【详解】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”； 故答案为：是； （2）有三种情况： ①若时，且， ∴； ②若时，且， ； ③若时，且， ； 故答案为：或或； （3）由题意得，运动时间范围为：， 则有①， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； 综上，的值为4或10或16； （4）在整个过程，有如下几个临界点： 当共线时，由（3）知，或10或16， 当为的反向延长线时，， 当为的反向延长线时，， 故一共分成6种情况，①当时，如图①， ， 若时，， 即， 解得：（舍去）； 若， 则，无解； 若， 则， 解得：， ②当时，如图②，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； ③当时，如图③， ∵，则， 若时，， 则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； ④当时，如图④， 则， 若时，，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：； ⑤当时，如图⑤，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； ⑥当时，如图⑥， 则， 若时，，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则，无解； 综上，或12． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)3或25分钟 【分析】本题考查了角度计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （2）（ⅰ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解；（ⅱ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （3）设x分钟时，的度数是，依题意得，根据射线的位置分2种情况讨论，根据角平分线的定义和角的和差关系列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：（ⅰ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （ⅱ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）解：设x分钟时，的度数是， 依题意有：， ∵平分，平分， ∴，， ①延长到，若射线在内部旋转，如图，     ， 即：， 解得：； ②若射线在外部旋转，如图，   ， 即：， 解得：； 综上，3或25分钟时，的度数是． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知射线． (1)若，且，求的度数． (2)若是的平分线，是的平分线，求的度数． (3)若分别是和 的平分线，，求的度数． (4)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则　 　； ②如图2，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)；或 【分析】（1）根据题意，得到，从而得到的度数； （2）利用角平分线，得到，从而得到结果； （3）利用角之间的比例关系，设，利用角平分线，从而得到结果； （4）①根据新定义，，结合角平分线得到，从而求得结果； ②根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1） 解： ，， ， ， ， ； （2）是的平分线， ， 是的平分线， ∴， ， ， ； （3） 如图： ， ∴设， 分别是和的平分线， ，， ， ， 即：， 解得：， ； （4）①平分，且为的“分余线”， ，且， ， ， ， 故答案为：； ②如图2， 为的平分线， ， 为的“分余线”， 或， 若时， 令， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 若时， 令则， ， ， ， 解得：， 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程． （1）【探索发现】 课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是华华同学根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段，中点， 所以 ， 所以， ， ， 因为， 所以 ． 线段中点的定义， 线段的和、差， 等式的性质 （2）【知识迁移】 华华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请同学们尝试解决该问题． （3）【拓展延伸】 华华又编出这样一个问题：已知在内的位置如图3所示，， ，且，，请你用含有和代数式表示，不必说明理由． 【答案】（1）；；；6；（2）；（3） 【分析】（1）按照步骤作答即可； （2）由对角线可得，，根据，计算求解即可； （3）先根据，，得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：因为，分别是线段，的中点， 所以，， 所以， ， 因为， 所以； （2）∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了线段中点，线段的和与差，角平分线，角度的和与差．明确线段之间的数量关系，角度之间的数量关系是解题的关键． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】（1）“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为____________，图②中的的度数为_____________； 【操作发现2】（2）“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为______________． 【操作发现3】（3）“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】（4）①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】此题考查了角平分线的计算，几何图形中角度的和差计算， （1）由角平分线的定义表示出和，即可求解； （2）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解； （3）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解； （4）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解． 【详解】（1）如图①，∵，分别平分， ∴， ∴ ∴； 如图②，∵，分别平分， ∴， ∴ ∴； （2）根据题意得， ； （3）∵平分 ∴ ∵平分 ∴ ∴； （4）①根据题意得，当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时， 这两个角的平分线的夹角的度数是； ②根据题意得，当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时， 这两个角的平分线的夹角的度数是． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，与互为补角，与位于异侧，与互为余角，与位于异侧，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角和补角，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系． （1）根据和平角的定义即可求解； （2）根据与互为余角，求出，再根据平分，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ． （2）解：， ， 平分， ， ． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知如图，点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图①，三角板的一边落在射线上，若，则的度数为________； (2)如图②，将三角板放置到如图所示的位置，使恰好平分，且，求的度数； (3)若仍将三角板按照图②所示的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握定义，理清各个角之间的关系是解题的关键． （1）根据和即可得出答案；； （2）根据，恰好平分，得出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）令，则，根据，恰好平分，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：（1）∵，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由： 令， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 10．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当在直线上方时，；当在直线下方时，． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用； （1）根据邻补角求得，进而根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据题意得出，进而结合题意，即可求解； （3）当在直线上方时，依题意，，，当在直线下方时，依题意，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ （2）解：∵在直线上方且等于时 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． ∴ （3）解：当在直线上方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 当在直线下方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 综上所述，当在直线上方时，；当在直线下方时，． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一把直角三角尺和有公共顶点的射线，且． (1)按照如图1所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，观察并猜想与的数量关系：_______． (2)按照如图2所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们之间的关系． (3)按照如图3所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，则________（填“>”“<”或“＝”） 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3) 【分析】本题考查了角的和差计算，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由结合，即可证明； （2）由，即可证明； （3）先由，，得到，再由，，即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：成立． 理由：因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 又因为，， 所以． 12．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的交点处，并使两条直角边分别落在射线、上，将直角三角尺绕着点顺时针旋转． (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线， ①直角三角尺旋转到图3的位置，若，求的度数； ②直角三角尺在旋转过程中，若，直接写出此时的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题考查了旋转、垂直的定义、与角平分线有关的计算，较难的是题（2）②，分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据角的和差求解即可得； （2）①先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据求解即可得； ②先根据垂直的定义和角平分线的定义可得，，再分两种情况：和，根据角的和差求出的度数，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴ ， 故答案为：；． （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴． 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读下面材料并回答问题：如图，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图，因为与互余， 所以 ① °，    又，即， 所以.      解得 ② ° ，     由题意得， 所以 ③ °. 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况” 请完成下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整； (2)根据静静的想法，请你在图中补出另一种情况，并把娜娜的解答补充完整。 【答案】(1)90，60，100 (2)见解析 【分析】（1）根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可； （2）当在的内部时，也满足题意，据此作图；根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可． 本题考查了余角的定义，角的和差，能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图2，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得． 由题意得， 所以． 故答案为：； （2） 如图，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得． 由题意得， 所以 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【答案】(1)45° (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键． （1）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （2）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （3）画出图形，同（2）的方法，结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，平分． (1)若，求的度数； (2)若与的比是，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了三角尺的特征，角平分线的定义，正确认识这一个关系是解题的关键． （1）先求出，再求得，最后由角平分线的定义可得； （2）设，则，根据，列出方程，求出，再由求解即可． 【详解】（1）解：因为、都是直角， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）解：因为， 设，则， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）把一副三角尺与按如图所示的方式拼在一起，其中，，三点在同一直线上，，，为的平分线． (1)如图1，求和的度数； (2)如图2，为的平分线，求的度数． (3)若将图2中三角尺绕点逆时针旋转，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）先根据题意画出图形，先求出和，再利用角平分线定义求出和，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三点在同一直线上，，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：当三角尺绕点逆时针旋转度时，如图， ∴， ， 又∵为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 【分析】（）根据图形计算即可求解； （）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 【答案】(1)； (2)的度数不变化， 理由见解析； (3)（2）中的结论不变， 理由见解析． 【分析】考查了角平分线的定义，角的计算，关键是熟练掌握角平分线的定义，以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系即可求解； （2）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解； （3）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：的度数不变化， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ； （3）解：（2）中的结论不变， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ． 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 20．（24-25七年级上·江苏常州·期末）【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转． 【解决问题】 (1)当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________； (2)当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的度数会发生改变，的度数为或 【分析】本题主要考查了角的和差、角平分线等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． （1）直接由角的和差可得，再根据角的和差求得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得、，又、，即、，最后根据即可解答； （3）分当在内部时和与没有重叠两种情况；当与没有重叠时，又有三种情况：当均在直线上方时；当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时；当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，分别根据角平分线以及角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，     ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴． （3）解：的度数会发生改变，理由如下： ①如图：当在内部时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴； ②当与没有重叠时； 当均在直线上方时，如图， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 当在直线上方直线左侧，在直线下方直线右侧时，如图， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 当在直线上方直线右侧，在直线下方直线右侧时，如图， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 综上，的度数会发生改变，的度数为或． 21．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，； ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角板作出多少度的角？（写出2种即可）； 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，请求出的度数； 【学以致用】 （3）小亮忘了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，他将这两个三角形放置在一起，如图2所示，，，且，，请你帮小亮用含，的式子表示的度数（直接写出结果）． 【答案】（1），（答案不唯一符合条件即可）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，作出，等； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】解：（1）当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 答案为：，（答案不唯一，符合条件即可）； （2）因为，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以； （3）∵，， ∴， ∵，即， ∴， ． 【经典例题四 角的新定义计算】 22．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差运算，理解“倍角”的定义是解题的关键． （1）根据所给的图和题意分析即可解答； （2）由题意可得，由可得、进而得到，易得，进而求得的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴图中所有的2倍角有和． （2）解：由题意可得：． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析 (2)； (3)度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分余线”的定义可知，进一步求解即可； （3）因未指定哪一个角与互余，故需要分类讨论，再根据角平分线定义和“分余线”定义求出． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分， ∴， ∵为的“分余线”， ∴， ∴； （3）解：∵为的“分余线”， ∴分两种情况： ①当时， ∵为的平分线，为的平分线． ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①知，， ∴； 综上所述，度数为或． 24．（24-25七年级上·江苏常州·月考）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 25．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角板中角的有关计算，读懂题意，理解优角定义是解题的关键． （1）分别求出图中的各角，进而利用优角定义判断求解即可； （2）①由（）得，，进而得，再根据优角的定义可列出方程求解即可； ②由角平分线得，，根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．进而分和两种情况，结合优角定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴的优角为或， ∴、、是的优角，其他角不是的优角， ∴在图中，的优角有个， 故答案为：； （2）解：①由（）得，， 由旋转得， ∴， 当与互为优角时，可列出方程： ， ∴或， 解得或； ②∵，的角平分线是， ∴，， 根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差． 当时， （）， ， 解得． （）， ， 解得（舍）或（舍）． 当时， （）， ， 解得． （）， ， 解得或（舍）． 综上所述，，或． 26．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． (1)应用：若，为的二倍分线，且则________°； (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则____________°； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析；③90° 【分析】（1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，为的二倍分线，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：①∵，分别为和的三倍分线（，）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：135； ②不变， ∵，分别为和的三倍分线，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ； ③解：设， ∵， ∴， ∵，所在射线恰好是分别为和的三倍分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． 28．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）新定义问题 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值． 【答案】（1）是；（2）15°或22.5°或30°；（3）或或或 【分析】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸福线”的定义； （2）根据“幸福线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解． 【详解】解：（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有：； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，∠AOC的度数为，，， 故答案为，，； （3）∵， ∴射线ON与OA重合的时间为（秒）， ∴当时在与重合之前，如图所示： ∴，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ①，， ②，， ③，； 当时，在与重合之后，如图所示： ∴，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ①，（不符合题意，舍去）， ②，， ③，（不符合题意，舍去）； 综上：或或或． 【点睛】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 29．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 30．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 31．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 33．（25-26七年级上·江苏南京·期中）材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足，点B是线段的中点（其中O是原点）． (1)填空：_____________，_____________，_____________； (2)点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ (3)点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值． 【答案】(1)8；4；； (2)P对应的数为6或2； (3) 【分析】题目主要考查绝对值及平方的非负性，解一元一次方程，两点之间的距离，理解题意，熟练掌握两点之间的距离是解题关键． （1）根据绝对值及平方的非负性得出，再根据中点性质即可确定b表示的数； （2）设点P表示的数为x，得出，然后分情况，取绝对值求解即可； （3）设运动时间为t，根据题意得：点M表示的数为，点N表示的数为：，点Q表示的数为，然后得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点B是线段的中点， ∴， 故答案为：8；4；； （2）设点P表示的数为x， ∵点P到点A，B，C的距离之和为13， ∴，即 当时，， ∴， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得：，符合题意 ； 当时，， ∴， 解得：，符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 综上可得：P对应的数为6或2； （3）设运动时间为t， 根据题意得：点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴点C表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴， ∵点Q到点M的距离始终是定值， ∴， ∴． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 35．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图： 他在木杆的正中间处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O．然后在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且．并通过移动左右两边的重物直至木杆平衡．记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B、 多次实验后、小林发现了规律：，即木杆平衡时， 左边挂重物的个数x支点到木杆左边挂重物处的距离=右边挂重物的个数×支点到木杆右边挂重物处的距离． (1)填空：______（用含有m和n的式子表示）； (2)设木杆上AB中点的位置为C． ①若，，，求OC； ②问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值，定值为 【分析】（1）由等式的性质求解即可； （2）①设，则，再根据线段中点的意义求出，根据求出长度，利用求解即可； ②分别讨论当时，当时，表示出此时的长，继而表现出，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， 等式的两边同时除以，得， 等式的两边同时除以，得， 故答案为：； （2）①设， ∵，中点的位置为C， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， 即， ∴； ②当时，此时， ∴， ∴； 当时，此时， ∴， ∴； 综上，是定值，定值为． 【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，等式的性质，能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 【经典例题六 探究线段之间的数量关系】 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 【答案】(1)点C在直线外 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、线段，点与直线的位置关系，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据直线与点的位置关系进行求解； （2）根据几何语言先连接并延长，一点为圆心，长为半径画弧交射线于点D即可． 【详解】（1）解：点C与直线的关系为：点C在直线外； （2）解：如图所示． 37．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知线段和点，已知点是线段的中点．    根据要求画图，并填空： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到点，使；（用尺规作出线段，要求保留作图痕迹） (4)连接，探究并猜想线段，之间具有怎样的等量关系？写出你的猜想无需说明理由：______； (5)在上确定一点，使线段与线段的和最短，保留作图痕迹并说明画图的依据是：______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析， (5)作图见解析，两点之间线段最短 【分析】（1）根据直线，定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据尺规作出线段即可； （4）连接，根据作图并猜想可得； （5）根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）解：如图所示，射线即为所求；    （3）解：如图所示，线段即为所求；    （4）解：如图所示，用圆规量一下可得    故答案为：． （5）解：如图所示，点即为所求；    画图的依据是：两点之间线段最短 故答案为：两点之间线段最短． 39．（24-25七年级上·江苏连云港定·期末）如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①点D在直线外；② (3)点P，两点之间线段最短 【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，点与直线的位置关系，两点之间线段最短． （1）根据射线，直线，线段的定义，按照题意作图即可； （2）用规范的语言描述点与的位置关系即可；利用线段的和差关系计算线段长即可； （3）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线，，直线；射线上一点； （2）解：点与直线的关系：点在直线外， 故答案为：点在直线外； ，， ． 故答案为：4． （3）解：点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动， 则点运动的长度是线段的长度，点Q运动的长度是线段的长度， 由两点之间线段最短，得， 点P先到达点C，理由是：两点之间线段最短． 40．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据线段的中点求出和长，根据即可求出答案； （2）根据线段的中点求出和长，即可求出答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ （2）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ 41．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)①；②；③． 【分析】（1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）根据线段的和差关系即可得到结论； （3）①根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度；②根据①的方式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图中有线段 ∴共有线段条数是， 故答案为：6； （2）解：①∵ ∴ ∴， 故答案为：=； ②∵是的中点。是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，有理数四则混合运算的实际应用，线段中点的定义等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题七 根据平行线的性质探究角的关系】 43．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 44．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等、同旁内角互补等）以及角度的等量代换与计算，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，或利用平行线的传递性找到角之间的关系，进而推导角度关系． （1）延长 交于G；由得， 得；等量代换得； （2）作（即）；由得，得；结合角和差得； （3）由得；据角的比例关系得，即； 由得；对比得． 【详解】（1）解：延长相交于点G． ， ， ； （2）解：作，与相交于点P，则， ， ， ， 即； （3）解：∵，则， ∵，则， ∴， 即①， 由得，， 即，其中， ∴②， 对照①与②可知，， 即． 45．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据周角为，结合已知，计算出的度数即可； （2）作，可得，根据“两直线平行，内错角相等”，平角为，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”，推出，由，代入整理式子，即可得出和的数量关系； （3）过点作交于点，则， 根据，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得，推出，，，，，由，代入整理式子，即可用含的式子表示． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ； （2）解：如图，作，可得， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，则， ， 又∵，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得， ∴，， ，， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质、周角与补角、角的和差计算，熟练掌握平行线的性质、正确分析角的和差关系是解题的关键． 46．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含 角的透明直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两条直线，，且，在直角三角尺中，为直角． (1)【操作发现】 如图①，当三角尺的顶点在直线上时，若 ，则 ； (2)【探索证明】 如图②，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图③，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线的上方，若存在 ，求射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)110 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （3）根据平角定义、平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， 故答案为：110； （2） ，理由如下： 过点B作． ， ， ，． ， ． （3） ， ． ， ， ． ， 射线与直线所夹锐角的度数为 ． 47．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)不变 (3)；． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定及性质即可解答； （2）点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在射线上时，②点P在射线上时，同（1）思路即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作 ∵（已作） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴； 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． （2）解：如果点P在A、B两点之间运动时，同（1）可得 ，关系不变． 故答案为：不变； （3）解：①当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即；； 当点P在射线上时，如图， 过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴即． 综上所述，当点P在A、B两点外侧运动时或． 故答案为：；． 48．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； （1）根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可； （2）根据平行公理可证，再根据平行线的性质证明即可； （3）过点O作，则，根据平行线的性质可证，再根据平分线的定义可证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 过点O作， ， ， ，， ， ， ，分别平分，， ， ， ， ． 49．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ，等量代换 (3)不会变，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键． （1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出； （2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可； （3）过点作，得到，推出，由为定值得到的大小不会随刀片的转动而改变． 【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：过点P作， （两直线平行，内错角相等）． ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ． ， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换； （3）证明：过点作， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∵为定值， ∴的大小不会随刀片的转动而改变． 【经典例题八 平行公理推论的应用】 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）过点作，则有，从而得，，从而可以求得的度数； （2）过点作，得到，与转化到和中，从而发现与的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∵ ∴， 所以，， ， ． ， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作， ∴． ，， ， ， ， 即． 51．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知： AB∥CD，点E在CD上，点F、G在AB上，点H在AB、CD之间，连接EF、EH、GH，∠AGH=∠FED，∠HEF=90°． (1)如图1，求证：HE⊥HG； (2)如图2，GM平分∠AGH，EM平分∠HEC，GM与EM相交于M，求证：∠GHE=2∠GME； (3)如图3，在（2）的条件下，FN平分∠BFE交CD于N，若∠EFN：∠MGH=7：2，求：∠HEC的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)50° 【分析】（1）由AB∥CD推出∠AFE=∠FED，得到∠AFE=∠AGH，证得GH∥FE，即可得到结论； （2），过H作HP∥AB， 过M作MQ∥AB，由AB∥MQ∥HP∥CD，证得∠GHE=∠AGH+∠HEC ，∠GME=∠1+∠4 ，利用角平分线得到∠AGH =2∠1，∠HEC =2∠4，由此得到结论； （3）设∠EFN=7x°，∠MGH=2x°，由角平分线定义得到∠EFB=14x°，∠AGH=4x°．由此列得4x+14x=180，求出x，根据（1）（2）知∠GHE=∠AGH+∠HEC =90°，即可求出∠HEC． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AFE=∠FED． ∵∠AGH=∠FED， ∴∠AFE=∠AGH． ∴GH∥FE． ∴∠H +∠HEF =180°． 又∵∠HEF=90°， ∴∠H =90°． ∴HE⊥HG． （2）证明：如图2，过H作HP∥AB， 过M作MQ∥AB， ∵AB∥CD ， ∴AB∥MQ∥HP∥CD． ∴∠1 =∠2， ∠3=∠4， ∠5 =∠AGH ，∠6=∠HEC， ∴∠GHE=∠5 +∠6=∠AGH+∠HEC ， ∠GME=∠2 +∠3=∠1+∠4 ， ∵GM平分∠AGH，EM平分∠HEC， ∴∠AGH =2∠1，∠HEC =2∠4． ∴∠GHE=2∠GME． （3）解：如图3，设∠EFN=7x°，∠MGH=2x°， ∵GM平分∠AGH，FN平分∠BFE， ∴∠EFB=14x°，∠AGH=4x°． 由（1）知∠AFE=∠AGH=4x°． ∵∠AFE+∠EFB =180°， ∴4x+14x=180． ∴x=10． ∴∠AGH=40°． 由（1）（2）知∠GHE=∠AGH+∠HEC =90°， ∴∠HEC =50°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，方程在几何中应用，熟记平行线的性质是解题的关键． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解； （2）根据平行线的性质可求解； （3）过点、作，，根据平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题可知， ∴ ∴ 由题可知， ． （3）解：如图所示，分别过点、作， ，，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线性质与判定，解题关键是熟练掌握并灵活运用平行线的性质． （1）根据两直线平行，同位角相等证出，即，又因为，得到，再等量代换，得出，即可解答； （2）过点F作，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线（一个折点）模型问题； （3）由（2）方法二证明，设，再根据共顶点的，角，用含α的式子表示出，，再根据即可解答． 【详解】（1）如图①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：80； （2）过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，， 理由如下： ∵分别平分， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由②方法可得， 即． 54．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系， (1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C． 小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB ∴∠APQ＝∠A ∵PQ∥AB，AB∥CD． ∴PQ∥CD（_______） ∴∠CPQ＝∠C ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C 即∠APC＝∠A+∠C (2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______； (3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2)100°； (3)∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C． 【分析】（1）根据平行公理的推论解答； （2）过点P作PE∥AB，得到EP∥CD∥AB，证得∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，求出∠APE=60°，∠EPC=40°，由此得到∠APC=∠APE+∠EPC=100°； （3）根据平行线的性质得到∠C、∠A、∠APC的关系． 【详解】（1）解：过点P作PQ∥AB ∴∠APQ＝∠A ∵PQ∥AB，AB∥CD． ∴PQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴∠CPQ＝∠C ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C 即∠APC＝∠A+∠C， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴EP∥CD∥AB， ∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180° ∵∠A=120°，∠C=140°， ∴∠APE=60°，∠EPC=40°， ∴∠APC=∠APE+∠EPC=100°， 故答案为：100°； （3）∵AB∥CD， ∴∠1=∠C， ∵∠1=∠A+∠P， ∴∠C=∠A+∠P， 即∠C=∠A+∠APC． 如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD∥AB， ∴∠A=∠APQ，∠QPC=∠C， ∴∠APC=∠APQ+∠QPC=∠A+∠C 综上，∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C． 【点睛】此题考查了平行线的性质求角的关系，平行公理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 55．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）（1）问题情境：如图1，，，．求∠APC的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵． ∴． … 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． ①当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系?请说明理由． ②当点P在A，B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②或 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据即可得； （2）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得出结论； ②分当点在延长线上时和当点在延长线上时两种情况，参照上述方法，利用平行线的性质、平行公理推论即可得出结论． 【详解】解：（1）如图2，过作， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ， ∵， ， ； （2）①，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在延长线上时，过作交于点， ， ， ， ， ； 如图，当点在延长线上时，过作交于点， ， ， ， ， ； 综上，当点在延长线上时，；当点在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行公理推论，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键． 56．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 【答案】（1）；（2），见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （3）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（2）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）如图3，过点作， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）． 理由：如图4，过点作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）． 设，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（2）可知，． 由材料的结论可知，， ∴． 【经典例题九 平行线判定的实际应用】 57．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 58．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，一个“且”字和它的抽象的几何图形分别如图①、图②所示，其中，求证： 证明：    （    ）      _____（等量代换）     （    ）      _____（两直线平行，同旁内角互补）      （两直线平行，同旁内角互补） （    ） 【答案】两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；等角的补角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答． 【详解】证明：     （两直线平行，同位角相等）      （等量代换）     （内错角相等，两直线平行）      （两直线平行，同旁内角互补）      （两直线平行，同旁内角互补） （等角的补角相等） 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；等角的补角相等． 59．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 60．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质． （1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，过点B作，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 由三角形内角和定理可得，，而， ∴． 61．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）综合与实践． 【探究】 （1）如图1，已知直线，点在上，点在上，点在两平行线之间，证明：； 【应用】 如图2，已知直线，点，在上，点，在上，连接，，其中，分别是，的平分线，其中，． （2）求的度数（用含，式子表示）； （3）如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数（用含，式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出，，即可得出答案； （3）过点作，利用平行线的性质结合角平分线的定义得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，作， ，， ． ，． ； （2）如图2，过点作， ， ． ，． 又是的平分线，是的平分线， ，． ； （3）如图3，过点作， ， ． ，． 又是的平分线，是的平分线， ，． ． 62．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”． (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作， （_______） _______， _______． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，，求的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行,内错角相等; ; (2) (3) (4) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、平行线定理． （1）根据平行线的性质和平角的定义求解即可； （2）过点E作，根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （4）过点M作，根据角平分线的定义可得，，，再根据平行线定理可得，，即，同理可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点A作， （两直线平行,内错角相等） ， ． 故答案为: 两直线平行,内错角相等; ；； （2）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴； （4）解：过点M作， ∵、平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴同理得， ∴， ∴， ∴． 63．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】 如图，直线，点是直线、之间一点，点、分别在直线、上，连接、，且． 【问题探究】 （1）如图1，过点作，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，延长至点，点在直线上，连接交于点，点在线段上，连接，过点作，已知，，求与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，由平行线性质可得，，进而可得，然后代入，求解即可； （）过点作，可得，，，进而可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， ． （2）解：（形式不唯一，正确即可），理由如下： 如图：过点作， ∴，， ∴， ∵，即：， ∴ ∴. 【经典例题十 平行线的新定义问题】 64．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 【详解】解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 65．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)120；90 (2)①，；②存在，当时，；当时，，；当时， 【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． （1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 故答案为，； （2）解：①如图2．   ， ， ， ，， ， ； ②当时，， ， ∴；    当时， ，；      当时， ． 66．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 【答案】(1)错误 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能正确判断内错角是解决本题的关键． （1）根据与不是内错角，故不能证明，即可得到答案； （2）先根据同角的补角相等得到，由角平分线定义得到．，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：小金的思路不对，与不是内错角，故不能证明； 故答案为：错误； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 67．（24-25七年级上江苏常州·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】 （2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】（）；（）；（）当点在左侧时，，当点在右侧时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设的“系数补角”是，则，求出的值即可； （）过点作，由平行线的性质可得，，则有，又是的“系数补角”，故，则有，然后求出即可； （）分当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，然后通过平行线的性质和“系数补角”定义即可求解． 【详解】解：（）设的“系数补角”是， ∴， ∵， ∴， ∴的“系数补角”是（或）， 故答案为：（或）； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴， 即； （）当点在左侧时，如图，过作，则，过作，则， ∴，，，， ∴， ∵和分别是、的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴； 当点在右侧时，如图，过作，则，过作，则， 同理可得， ∴， ∵是的“系数补角”， ∴， ∴． 68．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 平行边线角和垂直边线角 定义：若两个角的两边分别平行，我们把这样的角叫做“平行边线角”． 性质：如图1，，，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：． 理由：，（ ▲ ）．， ■ ，． 如图2，，，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：……． 拓展：若两个角的两边分别垂直，我们把这样的角叫做“垂直边线角”．若与的两边分别垂直，且是的3倍少，则的度数为 ． 任务： (1)材料中，“▲”表示 ，“■”表示 ； (2)补全材料中的“……”处的内容（包括结论和理由，不必写依据）； (3)材料中拓展部分问题的结果为 ． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）根据平行线的性质作答即可； （2）根据平行线的性质，进行作答即可； （3）设，则，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， （两直线平行，同位角相等）． ， ， ． （2），理由如下： ， ． ， ， ． （3）解：如图1，与两边分别垂直，则：， 如图2，与两边分别垂直，则：， 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 设，则， 两个角的两边分别垂直， 或， 解得或， 故或． 69．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．   问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）证明过点K作，则，利用平行线的性质推出，继而推出，从而得到； （2）与（1）同理可得：，继而得解； （3）由（2）得，同理得，，继而总结规律得，从而得解． 【详解】解：（1）如图，过点K作，则， ∴，    ∵，分别是，的平分线，并且相交于点K， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）． 理由：如图，过点作．   ，， ， ，． ，的平分线相交于点， ，， ． 由（1），知， ． （3）由（2），可知． 同理，可得， ， …… ． 当时， ． 70．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)同意，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，然后根据平行公理推论和平行线的性质可得，从而可得，最后根据可得，由此即可得； （3）①设，先求出，，再过点作，根据平行线的性质可得，，然后根据建立方程，解方程即可得； ②根据题意画出图形，过点作，设，先求出，，，则，再根据和是“和谐角”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“和谐角”． （2）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴和是互补的． （3）解：①设， ∵， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②由题意，画出图形如下： 过点作， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵和是“和谐角”， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【经典例题十一 多边形对角线综合应用】 71．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF． 【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 72．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下面图形，并回答问题． 四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形有 条对角线． 根据中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数． 【答案】（1）2，5，9；（2）35． 【分析】（1）根据对角线的定义，观察3个图形数出对角线的条数即可得； （2）根据（1）的结论，归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】（1）观察图形可知，四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线； 故答案为：2，5，9； （2）由（1）知，四边形的对角线条数为， 五边形的对角线条数为， 六边形的对角线条数为， 归纳类推得：n边形的对角线条数为（其中，n为正整数，且）， 则十边形的对角线条数为． 【点睛】本题考查了对角线的条数问题，较难的是题（2），正确归纳类推出一般规律是解题关键． 73．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一顶点的对角线的条数，探求多边形内角和公式. （1）如图1所示，一个四边形可以分成_______个三角形，于是四边形的内角和为_______； （2）如图2所示，一个五边形可以分成_______个三角形，于是五边形的内角和为_______； （3）按此规律，n（）边形可以分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 【答案】(1)2,360o;(2)3,540o;(3) 边形可以分成个三角形，n边形的内角和是 【分析】（1）根据四边形可分为两个三角形可得出结论； （3）根据五边形可分为三个三角形可得出结； （2）观察每组因数之间的关系，在观察相应结果有什么关系，就可以得出结论． 【详解】（1）∵四边形可分为两个三角形， ∴四边形的内角和=180°×2=360°． 故答案为2，360°； （2））∵五边形可分为三个三角形， ∴四边形的内角和=180°×3=540°． 故答案为3，540°； （3）由（1）、（2）可知，过n边形一个顶点的对角线将n边形可以分成（n-2）个三角形，于是n边形的内角和为（n-2）•180°． 故答案为n-2，（n-2）•180°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，熟知观察出过n边形一个顶点的对角线将n边形可以分成的三角形的个数比边数少2是解题的关键． 74．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，每一个多边形都可以按图①〜③的方法分割成若干个三角形. (1)请根据图①〜③的方法，把图④的七边形分割成若干个三角形. (2)接图①～③的方法，十二边运可以分割成几个三角形？ 【答案】(1)见解析;(2)10. 【分析】从n边形的一个顶点出发,连接这个点与其余各顶点,可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形,根据此进行求解. 【详解】(1) 解：如图所示.图④中的七边形能分割成7-2=5个三角形, (2) 十二边形能分割成（12-2）个三角形,故答案为:10个. 【点睛】本题主要考查了多边形的性质,从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为（n-2）,解决本题的关键是要熟练掌握多边形的边数与三角形个数的关系. 75．（24-25七年级上·江苏常州·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 【答案】(1)1，1，1，1，2 (2)5，9 (3) (4)27 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】（1）解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）解∶ 运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）解∶由（1），（2）可知，对于n边形（n＞3），共有条对角线； 故答案为：； （4）解：当n=9时，， ∴十边形有27对角线． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． 76．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）我们知道过n边形的一个顶点可以作（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1． 图1 如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？ 图2 想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理． 【答案】n-2．想一想见解析 【详解】分析：本题主要考查利用三角形内角和定理来证明多边形的内角和定理，从多边形的一个顶点出发引对角线，则把n边形分成（n-2)个三角形从而证明多边形的内角和定理. 本题解析： (1)因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有（n-3)条对角线，三条边组成一个三角形，(1)图可分成(n-2)个三角形, (2)图可分成(n-1)个三角形. 证明:(1)从六边形的一个顶点 可引三条对角线，将六边形分成4个三角形，根据三角形内角和定理可得， 六边形的内角和=4×180°=720° 推广到n边形可得 n边形的内角和=(n-2)×180° (2)从一边上取一点P，依次连结各顶点组成5个三角形，而∠ =180°，所以 六边形的内角和=5×180°-180°=720° n边形的内角和=（n-1)×180°-180°=(n-2)×180° 故答案为 因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有（n-3)条对角线，三条边组成一个三角形，(1)图可分成(n-2)个三角形,（2）图可分成(n-1)个三角形. 77．（24-25七年级上·江苏泰州·课后作业）（1）如图（1），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？ （2）如图（2），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图（3），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】（1）连接OA、OB、OC、OD可以得4个三角形，它与边数相等， （2）连接OC、OD、OE可以得4个三角形，它的个数比边数小1， （3）过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到4个三角形，它的个数比边数小2． 【详解】试题分析：（1）根据图形可以得4个三角形，它与边数相等， （2）根据图形可以得4个三角形，它的个数比边数小1， （3）根据图形可以得到4个三角形，它的个数比边数小2． 试题解析：（1）连接OA、OB、OC、OD可以得4个三角形，它与边数相等， （2）连接OC、OD、OE可以得4个三角形，它的个数比边数小1， （3）过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到4个三角形，它的个数比边数小2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平面图形的初步认识章末77道压轴题型专训（11大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 探究线段之间的数量关系 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 题型八 平行公理推论的应用 题型九 平行线判定的实际应用 题型十 平行线的新定义问题 题型十一 多边形对角线综合应用 【经典例题一 动角计算问题】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 2．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）【理解新知】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“2倍角线”． （1）角的平分线__________这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的”2倍角线”，则__________． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． （3）当射线旋转到同一条直线上时，求t的值； （4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于的角．） 3．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 4．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知射线． (1)若，且，求的度数． (2)若是的平分线，是的平分线，求的度数． (3)若分别是和 的平分线，，求的度数． (4)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则　 　； ②如图2，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 6．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程． （1）【探索发现】 课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是华华同学根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段，中点， 所以 ， 所以， ， ， 因为， 所以 ． 线段中点的定义， 线段的和、差， 等式的性质 （2）【知识迁移】 华华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请同学们尝试解决该问题． （3）【拓展延伸】 华华又编出这样一个问题：已知在内的位置如图3所示，， ，且，，请你用含有和代数式表示，不必说明理由． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】（1）“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为____________，图②中的的度数为_____________； 【操作发现2】（2）“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为______________． 【操作发现3】（3）“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】（4）①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，与互为补角，与位于异侧，与互为余角，与位于异侧，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知如图，点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图①，三角板的一边落在射线上，若，则的度数为________； (2)如图②，将三角板放置到如图所示的位置，使恰好平分，且，求的度数； (3)若仍将三角板按照图②所示的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的关系，并说明理由． 10．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一把直角三角尺和有公共顶点的射线，且． (1)按照如图1所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，观察并猜想与的数量关系：_______． (2)按照如图2所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们之间的关系． (3)按照如图3所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，则________（填“>”“<”或“＝”） 12．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的交点处，并使两条直角边分别落在射线、上，将直角三角尺绕着点顺时针旋转． (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线， ①直角三角尺旋转到图3的位置，若，求的度数； ②直角三角尺在旋转过程中，若，直接写出此时的度数． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读下面材料并回答问题：如图，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图，因为与互余， 所以 ① °，    又，即， 所以.      解得 ② ° ，     由题意得， 所以 ③ °. 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况” 请完成下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整； (2)根据静静的想法，请你在图中补出另一种情况，并把娜娜的解答补充完整。 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，平分． (1)若，求的度数； (2)若与的比是，求的度数． 16．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）把一副三角尺与按如图所示的方式拼在一起，其中，，三点在同一直线上，，，为的平分线． (1)如图1，求和的度数； (2)如图2，为的平分线，求的度数． (3)若将图2中三角尺绕点逆时针旋转，请直接写出此时的度数． 17．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 19．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 20．（24-25七年级上·江苏常州·期末）【背景知识】直角三角板是学生常用的作图工具，图1是一副直角三角板的图片，其中一块三角板包含角的度数是和，另一块三角板包含角的度数是和，现在将两块直角三角板的两个顶点重合，如下图摆放，，三角板COD绕着点O进行旋转． 【解决问题】 (1)当三角板转动到图2的位置时，我们说在的内部，已知是的角平分线，若，则_________， ________； (2)当三角板转动到图3的位置时，我们说与部分重叠，已知平分，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，当三角板转动到图3以外的其他位置时，的度数是否发生改变？请说明理由． 21．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，； ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角板作出多少度的角？（写出2种即可）； 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，请求出的度数； 【学以致用】 （3）小亮忘了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，他将这两个三角形放置在一起，如图2所示，，，且，，请你帮小亮用含，的式子表示的度数（直接写出结果）． 【经典例题四 角的新定义计算】 22．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)如图1，若，请直接写出图中所有的2倍角； (2)如图2，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 24．（24-25七年级上·江苏常州·月考）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 25．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． (1)应用：若，为的二倍分线，且则________°； (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则____________°； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 28．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）新定义问题 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值． 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 29．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 30．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 31．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 32．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 33．（25-26七年级上·江苏南京·期中）材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足，点B是线段的中点（其中O是原点）． (1)填空：_____________，_____________，_____________； (2)点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ (3)点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值． 34．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 35．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小林用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做实验．如图： 他在木杆的正中间处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，记为O．然后在木杆的左边挂m个重物，在木杆的右边挂n个重物，且．并通过移动左右两边的重物直至木杆平衡．记平衡时木杆左边挂重物的位置为A，木杆右边挂重物的位置为B、 多次实验后、小林发现了规律：，即木杆平衡时， 左边挂重物的个数x支点到木杆左边挂重物处的距离=右边挂重物的个数×支点到木杆右边挂重物处的距离． (1)填空：______（用含有m和n的式子表示）； (2)设木杆上AB中点的位置为C． ①若，，，求OC； ②问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【经典例题六 探究线段之间的数量关系】 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）． (1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________； (2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使． 37．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知线段和点，已知点是线段的中点．    根据要求画图，并填空： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到点，使；（用尺规作出线段，要求保留作图痕迹） (4)连接，探究并猜想线段，之间具有怎样的等量关系？写出你的猜想无需说明理由：______； (5)在上确定一点，使线段与线段的和最短，保留作图痕迹并说明画图的依据是：______． 39．（24-25七年级上·江苏连云港定·期末）如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 40．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 41．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 42．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【经典例题七 根据平行线的性质探究角的关系】 43．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 44．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 45．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 46．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含 角的透明直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两条直线，，且，在直角三角尺中，为直角． (1)【操作发现】 如图①，当三角尺的顶点在直线上时，若 ，则 ； (2)【探索证明】 如图②，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图③，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线的上方，若存在 ，求射线与直线所夹锐角的度数． 47．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线，且、和、分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在上．设，，， (1)探究、、之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 证明：过点P作 （已作） （    ） ，（已知） （    ） （    ） (2)如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间的关系 发生变化（填会或不会） (3)如果点P在A、B两点外侧运动时，①当点P在射线上时，猜想、、之间的关系为 （点P和A、B不重合）；②当点P在射线上时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系为 （点P和A、B不重合）． 48．（24-25七年级上·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 49．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作． （_____） ， （_____） ， ， _____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【经典例题八 平行公理推论的应用】 50．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 51．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知： AB∥CD，点E在CD上，点F、G在AB上，点H在AB、CD之间，连接EF、EH、GH，∠AGH=∠FED，∠HEF=90°． (1)如图1，求证：HE⊥HG； (2)如图2，GM平分∠AGH，EM平分∠HEC，GM与EM相交于M，求证：∠GHE=2∠GME； (3)如图3，在（2）的条件下，FN平分∠BFE交CD于N，若∠EFN：∠MGH=7：2，求：∠HEC的度数． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 54．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系， (1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C． 小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB ∴∠APQ＝∠A ∵PQ∥AB，AB∥CD． ∴PQ∥CD（_______） ∴∠CPQ＝∠C ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C 即∠APC＝∠A+∠C (2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______； (3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 55．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）（1）问题情境：如图1，，，．求∠APC的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵． ∴． … 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． ①当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系?请说明理由． ②当点P在A，B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系． 56．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 【经典例题九 平行线判定的实际应用】 57．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 58．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，一个“且”字和它的抽象的几何图形分别如图①、图②所示，其中，求证： 证明：    （    ）      _____（等量代换）     （    ）      _____（两直线平行，同旁内角互补）      （两直线平行，同旁内角互补） （    ）             59．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 60．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 61．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）综合与实践． 【探究】 （1）如图1，已知直线，点在上，点在上，点在两平行线之间，证明：； 【应用】 如图2，已知直线，点，在上，点，在上，连接，，其中，分别是，的平分线，其中，． （2）求的度数（用含，式子表示）； （3）如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数（用含，式子表示）． 62．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”． (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作， （_______） _______， _______． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，，求的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 63．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】 如图，直线，点是直线、之间一点，点、分别在直线、上，连接、，且． 【问题探究】 （1）如图1，过点作，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，延长至点，点在直线上，连接交于点，点在线段上，连接，过点作，已知，，求与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题十 平行线的新定义问题】 64．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 65．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______°； (2)现把三角尺绕点逆时针旋转． ①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）； ②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 66．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）上周末，小金研究的一道几何题如下： 如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． (1)小金的思路是：先根据“同角的补角相等”得到，再根据“角平分线的定义”，得到，然后根据“内错角相等，两直线平行”，得到．你认为小金的思路是 的（“正确”或“错误”）． (2)请你用整合教材学到的“框图”方式分析本题（不写说明过程）． 已知条件 要说明的 平分 平分 67．（24-25七年级上江苏常州·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】 （2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 68．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 平行边线角和垂直边线角 定义：若两个角的两边分别平行，我们把这样的角叫做“平行边线角”． 性质：如图1，，，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：． 理由：，（ ▲ ）．， ■ ，． 如图2，，，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：……． 拓展：若两个角的两边分别垂直，我们把这样的角叫做“垂直边线角”．若与的两边分别垂直，且是的3倍少，则的度数为 ． 任务： (1)材料中，“▲”表示 ，“■”表示 ； (2)补全材料中的“……”处的内容（包括结论和理由，不必写依据）； (3)材料中拓展部分问题的结果为 ． 69．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．   问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 70．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 【经典例题十一 多边形对角线综合应用】 71．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 72．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下面图形，并回答问题． 四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形有 条对角线． 根据中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数． 73．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一顶点的对角线的条数，探求多边形内角和公式. （1）如图1所示，一个四边形可以分成_______个三角形，于是四边形的内角和为_______； （2）如图2所示，一个五边形可以分成_______个三角形，于是五边形的内角和为_______； （3）按此规律，n（）边形可以分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 74．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，每一个多边形都可以按图①〜③的方法分割成若干个三角形. (1)请根据图①〜③的方法，把图④的七边形分割成若干个三角形. (2)接图①～③的方法，十二边运可以分割成几个三角形？ 75．（24-25七年级上·江苏常州·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 76．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）我们知道过n边形的一个顶点可以作（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1． 图1 如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？ 图2 想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理． 77．（24-25七年级上·江苏泰州·课后作业）（1）如图（1），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？ （2）如图（2），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图（3），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $