专题6.7 利用方程思想与分类讨论思想解决旋转角问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

专题6.7 利用方程思想与分类讨论思想解决旋转角问题 【题型一：与三角板有关的旋转角问题】 1．（23-24七年级下·吉林·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    （1）如图①，的度数为______度； （2）将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【思路点拨】 （1）根据图形计算即可求解； （2）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域） （2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数； （3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的． （1）根据和的度数可以得到的度数． （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数． （3）分两种情况，在左边或右边，分情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴． 故答案为：25； （2）∵是的角平分线， 即； （3）当在左边时， 当在右边时， ， ， ∴的度数为或． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）利用角的和差关系进行计算即可； （2）利用角的和差关系，结合角平分线的定义，求解即可； （3）设，得到，两角相减即可得出结果； （4）分三种情况，画出图形，利用角的和差关系计算即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，得：，， 故答案为：120，150； （2）∵恰好平分， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， 故答案为：； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，有三种情况， ①当在内部，在下方时，如图： ， ②当都在内部时，如图： ， ③当在内部，在内部时，如图： 设，则，， ∴， 综上分析与的数量关系有三种：或或． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【思路点拨】 本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【解题过程】 （1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 5．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． （1）如图1，当与重合时，求的度数． （2）如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． （3）在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查了角的计算，角平分线的定义，等量代换及准确识图是解题的关键．注意使用分类讨论思想． （1）通过平分，平分，，分别求出，即可求解； （2）通过平分，平分，表示出由即可求解； （3）由（2）结合可得，分在右侧，在左侧两种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解： 与重合，，平分， ． ，平分， ， ； （2）不会随位置的变化发生改变． 理由：平分， 平分， ， 故不会随位置的变化发生改变； （3）由（2）可知，，，， ， ． 如图1， 当在右侧时，． ， ． 如图2， 当在左侧时，， ， ． 综上所述，的度数为或． 6．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． （1）如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； （2）如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． （3）若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 【思路点拨】 （1）画出图像,结合图形即可求解； （2）分情况讨论，分别作出当在外时和当在内时的图形，结合图形逐步分析即可得出和的数量关系； （3）分别作出当在内时和当在外时的图形，根据恰好平分可得，，根据角的关系即可用来表示的度数． 【解题过程】 （1）解：如下图所示： 此时， 故答案为：． （2）解：如图所示： 当在外时， 有， ，， ； 当在内时， ， ， ， ． 故或． （3）解：如图所示： 当在内时， 平分， ， 依图得：， ， ， ， ， 即； 当在外时， 平分， ， ． 综上，或． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． （1）若，，秒时，________°； （2）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【解题过程】 （1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    （1）如图1，若，求的度数； （2）将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； （3）将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 【思路点拨】 本题考查的是角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）分两种情况讨论：先分别画出图形，再结合角的和差运算计算即可； （3）分情况讨论，先画出图形，再结合图形与角的和差运算建立简单方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， ∴； 综上：当时，为或． （3）如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上：的值为或． 9．（24-25七年级上·全国·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的定义，角度的计算； （1）由角平分线得、，再相加即可； （2）用已知来分别表示、，再根据计算即可； （3）根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据（2）的思路解答即可． 【解题过程】 解：（1）∵，仍然是，的平分线，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴，， ，仍然是，的平分线， ∴，， ∴ ； （3）不变，如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，即为第（2）小问，此时， ； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变． 【题型二：与角平分线有关的旋转角问题】 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． （1）如图1，当，求的度数； （2）如图2，平分，求的度数； （3）当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【思路点拨】 本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分三总情况：①时，时，③时，分别计算可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ ， ∴； ②时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数． （2）当与重合时，求的度数． （3）当时，求的值． （4）当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【思路点拨】 本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【解题过程】 （1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 12．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． （1）如图①，如果射线在的内部，，则 ； （2）如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； （3）如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【思路点拨】 此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【解题过程】 （1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 13．（23-24七年级上·广东深圳·期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    （1）【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； （2）【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； （3）【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 【思路点拨】 本题考查角的和差倍分，角平分线的定义，第三问需分情况讨论： （1）根据角的和差关系求出，再根据角平分线的定义求出，，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，代入，可得； （3）分两种情况：当在三角形内部时，根据角的和差关系，结合可得；当在三角形外部时，根据角的和差关系，结合可得，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ，， ， 射线分别是和的角平分线， ，， ； （2）解：射线分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 当在三角形内部时，如下图所示： 射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ； 当在三角形外部时，如下图所示： 射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 14．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的． （本题出现的角均指不大于平角的角）    （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 【思路点拨】 （1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解； （2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求的大小，分射线在内部；射线在外部，两种情况进行讨论，（3）根据题意列出和关于时间的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解． 【解题过程】 （1） ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）平分，， ，， 当射线在内部时， ，， ， ， 当射线在外部时， ，， ， ， 故的大小为或； （3）当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； （2）从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） （3）从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【思路点拨】 本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【解题过程】 （1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 16．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【思路点拨】 本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【解题过程】 解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【思路导引】 几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】 已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】 （1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】 （3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论思想，观察图形得出角之间的数量关系是解题的关键。 （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定得出，即可得出，从而求出的度数。 （3）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据图形分情况讨论计算即可 【解题过程】 解：（1）射线是的角平分线， ， ， ， ； （2）射线平分，射线平分∠BOE， ， ， ； （3）如图3， ，， ， 平分， ， ， ； 如图4， ，， ， 平分， ， ， ； 如图5， ，， ， 平分， ， ， ； 综上，的度数为或或． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数． （2）在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． （3）将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【思路点拨】 本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由 ，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【解题过程】 （1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． （1）如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． （2）如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 【思路点拨】 （1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②当时，互相重合，当时或当时，得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）先找出临界值：当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，射线与射线重合，然后分四种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②当时，互相重合， 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴的值为或； （2）解：∵，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为， 则（秒）， 当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 即当秒时，； 当秒时，射线与射线重合， 可分以下几种情况： ①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴（定值）； ②当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴（非定值）； ③当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴（定值）； ④当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ， ∴（非定值）； 综上所述，当时，对应的定值为；当时，对应的定值为． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： （3）如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【思路点拨】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可。 【解题过程】 （1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 利用方程思想与分类讨论思想解决旋转角问题 【题型一：与三角板有关的旋转角问题】 1．（23-24七年级下·吉林·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    （1）如图①，的度数为______度； （2）将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域） （2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数； （3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 5．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． （1）如图1，当与重合时，求的度数． （2）如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． （3）在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 6．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． （1）如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； （2）如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． （3）若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． （1）若，，秒时，________°； （2）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    （1）如图1，若，求的度数； （2）将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； （3）将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 9．（24-25七年级上·全国·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【题型二：与角平分线有关的旋转角问题】 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． （1）如图1，当，求的度数； （2）如图2，平分，求的度数； （3）当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数． （2）当与重合时，求的度数． （3）当时，求的值． （4）当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 12．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． （1）如图①，如果射线在的内部，，则 ； （2）如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； （3）如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 13．（23-24七年级上·广东深圳·期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    （1）【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； （2）【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； （3）【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 14．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知在的内部，，是补角的．（本题出现的角均指不大于平角的角）    （1）如图1，求的值； （2）在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； （3）如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； （2）从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） （3）从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 16．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【思路导引】 几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】 已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】 （1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】 （3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数． （2）在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． （3）将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点为直线上一定点，作射线． （1）如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． （2）如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： （3）如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$