专题05 多边形重难点题型专训（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 多边形重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 正多边形概念辨析 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 多边形对角线的条数问题 题型七 对角线分成的三角形个数问题 拓展训练一 与正多边形相关的角度问题 拓展训练二 多边形对角线的综合问题 知识点一：多边形及其概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 知识点二：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条． 知识点三：正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则 °. 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 1．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·课后作业）各边 ，各角 的多边形叫正多边形. 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【经典例题二 正多边形概念辨析】 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）对于下列说法：①正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正多边形一定有内切圆和外接圆；③有一个内切圆和一个外接圆的多边形一定是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形，你认为正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）如图，正十二边形的面积是2025，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 3．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例3】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）一个凸2025边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是 边形. 4．（24-25七年级上·江苏南京·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【经典例题四 多边形的周长】 【例4】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】（24-25七年级上·江苏·期中）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【经典例题六 多边形对角线的条数问题】 【例6】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知一个多边形从一个顶点只可以引出4条对角线，那么它总共有（　　）条对角线． A．7 B．28 C．12 D．14 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）过边形的一个顶点可以画出5条对角线，则的值是 ． 3．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【经典例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】（24-25七年级上·江苏苏州·月考）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 1．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为 ． 3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 4．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【拓展训练一 与正多边形相关的角度问题】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知一个正多边形共有35条对角线，求： (1)这个正多边形的边数； (2)这个正多边形每个内角和每个外角的度数． 2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：    (1)试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 个三角形； (2)按这种方法，凸n边形可以分割成 个三角形； (3)请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝（n－2）×180° (4)利用（3）中的公式解答下面的问题： 凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数． 【拓展训练二 多边形对角线的综合问题】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等的图形是（ ）    A．＜2＞和＜3＞ B．＜1＞和＜2＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1＞和＜4＞ 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）将正方形纸片剪去一小块，所得的图形可能是 . 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 9．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）每一个多边形都可分割 (分割方法如图)成若干个三角形.根据这种方法八边形可以分割成 个三角形.用此方法n边形能分割成 个三角形. 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是 . 11．（24-25七年级上·江苏常州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 12．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              13．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积 （1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值 （2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积 14．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 15．（24-25七年级上·江苏南京·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 多边形重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 正多边形概念辨析 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 多边形对角线的条数问题 题型七 对角线分成的三角形个数问题 拓展训练一 与正多边形相关的角度问题 拓展训练二 多边形对角线的综合问题 知识点一：多边形及其概念 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，即可求解． 【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意； B、不属于多边形，故本选项不符合题意； C、属于多边形，故本选项符合题意； D、不属于多边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)． 【答案】 （1）三角形； （2）四边形； （3）十边形. 【详解】分析： 观察所给图案，找出构成图案的基本图形即可. 详解： 观察所给图案可知：组成该图案的基本图形有：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 故答案为：（1）三角形；（2）四边形；（3）十边形. 点睛：认真观察所给图案，熟悉常见的几何图形是解答本题的关键. 知识点二：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线条数问题，由图可知，从多边形的一个顶点出发能够引出2条对角线，根据从n边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，从这个多边形的一个顶点出发可以画2条对角线， ∴这个多边形的边数为,即这个多边形是五边形， 故选：D。 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，以及多边形从一个顶点可画对角线的条数，根据n边形从一个顶点可画条对角线，即可解答． 【详解】解：由题意得要使五边形木框不变形，至少还要钉根木条， 故答案为：2． 知识点三：正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】根据正多边形的定义判定即可． 【详解】解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意； B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意； C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意； D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则 °. 【答案】18 【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解． 【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°， ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 【答案】C 【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形. 【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C． 【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·课后作业）各边 ，各角 的多边形叫正多边形. 【答案】 相等； 相等 【分析】根据正多边形的性质解答 【详解】各边相等，各角相等的多边形叫正多边形.故答案为相等；相等. 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质,解题的关键是熟练掌握正多边形的性质. 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 【答案】灵活性． 【分析】根据四边形的灵活性，可得答案． 【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性， 故答案为灵活性． 【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性. 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】（1）猜想：， 理由：， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ．    【点睛】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【经典例题二 正多边形概念辨析】 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）对于下列说法：①正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正多边形一定有内切圆和外接圆；③有一个内切圆和一个外接圆的多边形一定是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形，你认为正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形及正多边形与圆的关系，根据正多边形的对称性质可判断①；根据正多边形与圆的关系可判断②；通过举例说明可判断③；根据正多边形与圆的关系可判断④． 【详解】解：边数为偶数的正多边形既是轴对称又是中心对称图形；边数为奇数的正多边形是轴对称图形，故说法①不正确； 任何正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，故说法②正确； 直角三角形有一个内切圆和一个外接圆，但它不是正多边形，故说法③不正确； 把圆分成等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形，故说法④正确； ∴正确的有个． 故选：B． 1．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）如图，正十二边形的面积是2025，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 【答案】② 【分析】本题考查了两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：①线段的长度就是点与点的距离，故原说法错误，不符合题意； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故原说法正确，符合题意； ③各边相等，各角都相等的边形是正边形，故原说法错误，不符合题意； ④从直线外一点作点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故答案为：②． 3．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形． 【答案】 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例3】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答. 【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形， 则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形． 故选D． 【点睛】剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条． 2．（2025七年级上·江苏常州·模拟预测）一个凸2025边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2025边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是 边形. 【答案】三、四、五 【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形， 故答案为三、四、五. 4．（24-25七年级上·江苏南京·课堂例题）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 【经典例题四 多边形的周长】 【例4】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【答案】B 【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可． 【详解】由图形可得出： 该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm）， 故该主板的周长是96mm， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】（24-25七年级上·江苏·期中）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【详解】观察图形可得 ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 【经典例题六 多边形对角线的条数问题】 【例6】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知一个多边形从一个顶点只可以引出4条对角线，那么它总共有（　　）条对角线． A．7 B．28 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线的问题．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，再根据求出总的对角线数量． 【详解】解：根据题意可知， ， ∴， ∴这个多边形共有对角线的数量为： ； 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究问题．从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）过边形的一个顶点可以画出5条对角线，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了过多边形的一个顶点作对角线的条数， 过n边形的一个顶点可以作条对角线，可得，求出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：8． 3．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【答案】180 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，边形的对角线条数为，据此列式求解即可． 【详解】解：条， ∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 【经典例题七 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】（24-25七年级上·江苏苏州·月考）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查的是多边形的对角线，根据边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 所以这个多边形的边数是 故选：C 1．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多边形的性质，三角形内角和定理．掌握从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，可以把n边形分为个三角形是解题关键．根据三角形内角和定理可得出分割得到的三角形有6个，进而根据多边形的性质得出该多边形为6边形． 【详解】解：由题意可知分割得到的三角形有个， ∵从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，可以构成个个三角形， ∴该多边形的边数是． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n边形最少可以分个三角形即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点A的所有对角线，可分割六边形得到， ∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个， 故答案为：4． 3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算 ． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 4．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 【拓展训练一 与正多边形相关的角度问题】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知一个正多边形共有35条对角线，求： (1)这个正多边形的边数； (2)这个正多边形每个内角和每个外角的度数． 【答案】(1)十 (2)每个内角144°，每个外角36° 【分析】（1）设这个正多边形是n边形，根据n边形共有对角线条，即可列出方程：，求解即可； （2）先根据多边形外角和定理，用360°除以10可求出每个外角的度数，再根据多边形每个内角与其相邻的外角互为邻补角可求出每个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个正多边形是n边形，根据题意得： ， 解得n1＝10，n2＝﹣7（不符题意，舍去）， 故这个正多边形的边数是十； （2）这个正多边形每个外角的度数是：360°÷10＝36°， 每个内角的度数是：180°﹣36°＝144°． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，多边形内角与外角．用到的知识点：n边形共有对角线条；正多边形每个内角相等；多边形外角和为360°；多边形每个内角与其相邻的外角互为邻补角． 2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：    (1)试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 个三角形； (2)按这种方法，凸n边形可以分割成 个三角形； (3)请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸n边形的内角和公式：凸n边形的内角和＝（n－2）×180° (4)利用（3）中的公式解答下面的问题： 凸n边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数以及这个外角的度数． 【答案】(1)6 (2) (3) (4)这个多边形的边数为9，这个外角的度数为 【分析】（1）根据图①②③进行推导． （2）根据特殊到一般的数学思想解决本题． （3）由个三角形的内角的和为，得凸边形的内角和为． （4）设加上的某个外角的度数为，由题意得，从而解决此题． 【详解】（1）图①是四边形，分割成3个三角形； 图②是五边形，分割成4个三角形； 图③是六边形，分割成5个三角形； 图④是七边形，分割成6个三角形； 以此类推，凸边形可以分割成个三角形． 故答案为：6． （2）由（1）可得：凸边形可以分割成个三角形． 故答案为：． （3）由（2）得：凸边形可以分割成个三角形． 个三角形的内角的和为． 凸边形的内角和为． （4）设加上的某个外角的度数为． 由题意得：． ． ， ． ． ． 这个多边形的边数为9，这个外角的度数为． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键． 【拓展训练二 多边形对角线的综合问题】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 【答案】 【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答． 【详解】解：三角形时，,有2个三角形， 四边形时，有3个三角形， 五边形时，有4个三角形， …… n边形时，有个三角形． 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键． 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线．n边形（）从一个顶点可以做条对角线． 将代入计算即得． 【详解】解：从七边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等的图形是（ ）    A．＜2＞和＜3＞ B．＜1＞和＜2＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1＞和＜4＞ 【答案】B 【分析】此题考查了平面图形的有关知识，把图形中每一个方格的面积看作1，因为四个图形都是对称的平面图形即只需求出图形的面积即可． 【详解】解：把图形中每一个方格的面积看作1， 则图形（1）的面积是， 图形（2）的面积是， 图形（3）的面积是， 图形（4）中一个图案的面积比大且比小， 所以（1）和（2）的面积相等． 故选：B． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式、数学思想等知识点，掌握转化的数学思想是解题的关键． 根据题意即可解答． 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割成个三角形，这个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想． 故选D． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）将正方形纸片剪去一小块，所得的图形可能是 . 【答案】三角形或四边形或五边形（答案不唯一） 【详解】当截线为经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形； 当截线为经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形； 当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形. 7．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 9．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）每一个多边形都可分割 (分割方法如图)成若干个三角形.根据这种方法八边形可以分割成 个三角形.用此方法n边形能分割成 个三角形. 【答案】 6 (n-2) 【分析】根据图中提示，找出规律．四边形一点可画一条对角线，分成两个三角形，五边形一点可画两条对角线，能分成三个三角形，则n边形一点可画n-3条对角线，可分n-2个三角形. 【详解】解：八边形可以分割成6个三角形．用此方法n边形能割成(n-2)个三角形. 故答案为:6, (n-2). 【点睛】观察图中已知条件，找出边数与对角线，三角形的关系. 10．（2025·江苏苏州·模拟预测）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是 . 【答案】6 【分析】观察图像，得出a,b的值即可. 【详解】由图可知，a=4,b=6, ∴ S＝a＋b－1=6 【点睛】本题考查的是·多边形，仔细观察图像是解题的关键. 11．（24-25七年级上·江苏常州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 12．（24-25七年级·江苏南京·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析 【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况. 【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交. 13．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积 （1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值 （2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积 【答案】（1）S=9，k=；（2）图②：14，图③：9.5 【分析】（1）根据图像可直接计算出正方形面积，再数出a和b的值，代入公式即可计算k值； （2）分别得出图②和图③中a和b的值，再利用公式求出面积． 【详解】解：（1）由图可知：图①中正方形的边长为3， ∴面积为3×3=9， 在中，对应a=4，b=12， ∴9=4+12k-1， 解得：k=； （2）图②中，a=10，b=10， 则S=10+×10-1=14， 图③中，a=5，b=11， 则S=5+×11-1=9.5． 【点睛】本题考查了格点图形的面积的计算，一个单位长度的正方形网格纸中多边形面积的公式：的运用． 14．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 15．（24-25七年级上·江苏南京·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【分析】（1）根据图形，求解即可； （2）依据题中的图形，求解即可； （3）依据题中的图形，求解即可； （4）根据前面三种情况求解即可． 【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等； （2）可以得到4个三角形，它等于边数减1； （3）可以得到4个三角形，它等于边数减2； （4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质． 学科网（北京）股份有限公司 $