专题一 函数与导数 第4讲 利用导数研究恒（能）成立问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

第一部分 专题强化提升 专题一 函数与导数 第4讲 利用导数研究恒（能）成立问题 恒成立问题（能成立问题）多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的热门题型,经常以压轴解答题形式出现,难度较大. 考点1 单变量恒（能）成立问题 例1 ［浙江宁波十校2025联考］（15分）已知函数,,为自然对数的底数. （1） 当时,求函数的图象在点处的切线方程； （2） 若不等式对任意恒成立,求的取值范围. 训练1．［辽宁名校联盟2025模拟］（15分）已知函数的图象的一条切线方程是. （1） 求； （2） 若关于的不等式有解,求的取值范围. 方法总结 一般地,若 对 恒成立,则只需；若 对 恒成立,则只需.若存在,使 成立,则只需；若存在,使 成立,则只需.由此构造不等式,求参数的取值范围. 考点2 双变量恒（能）成立问题 例2 ［山东菏泽2025一模］（13分）已知函数,为正实数. （1） 求函数的单调区间； （2） 若,,不等式恒成立,求实数的取值范围. 训练2．［辽宁大连2025模拟预测］（15分）已知，，其中是自然对数的底数. （1） 讨论的单调性； （2） 设，.若存在，，使得成立，试求实数的取值范围. 方法总结 双变量恒（能）成立问题,常见的转化 （1）,,. （2）,,. （3）,,. （4）,,. 专题上分练 第4练 利用导数研究恒（能）成立问题 刷基础固能 1．［吉林省吉林市普通中学2025二模］（13分）已知函数（为自然对数的底数）. （1） 求函数的单调递减区间； （2） 若不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 2．［河北保定2025一模］（15分）已知函数. （1） 当时,求的极值； （2） 若关于的不等式有实数解,求实数的取值范围. 3．［陕西西安2025一模］（15分）已知函数,. （1） 记的导函数为,求的值,其中； （2） 若,，恒有,求的取值范围. 4．［江西宜春2025模拟预测］（15分）已知函数 . （1） 已知的导函数为,证明:方程有唯一实数解. （2） 若函数,,,,求的取值范围. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【参考答案】 第一部分 专题强化提升 专题一 函数与导数 第4讲 利用导数研究恒（能）成立问题 考点1 单变量恒（能）成立问题 例1 （1） 【解】当时,,则,（1分）则,,（3分）所以函数的图象在点处的切线方程为,即.（5分） （2） 当时,恒成立,此时；当时,问题转化为对任意的恒成立,（6分）令,则,（8分）令,则,因为,所以,则在上单调递增,又因为,故当时,,,（10分）则在上单调递减；当时,,,则在上单调递增,所以,所以.（12分）当时,问题转化为对任意的恒成立,仿上设函数,则有,因为,所以,则函数在上单调递减,所以,故当时,,所以函数在上单调递减,所以,所以.综上所述,的取值范围为.（15分） 训练1 （1） 【解】设的图象与直线切于点,则,① ,则,即,代入①式得（2分） 令,则, 当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,（4分）所以,当且仅当时取等号,故,即.（5分） （2） 由题意得不等式有解,即有解.令,则.（6分）若,则,则,符合题意；（8分）若,则,不符合题意；（10分）若,当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,所以，解得.（14分）综上,的取值范围为.（15分） 考点2 双变量恒（能）成立问题 例2 （1） 【解】因为,所以分） 因为,所以令,得；令,得或.（3分） 所以的单调递增区间为,单调递减区间为和.（5分） （2） 由（1）知在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值是.（7分）又,,所以,所以在上的最小值为.（9分）若,,不等式恒成立,则需在时恒成立,即,（11分）即,解得.又,所以，故实数的取值范围为.（13分） 训练2 （1） 【解】由题意知，.（1分）当时，，则此时在上单调递减.（3分）当时，，若，即，令，得，令，得，故此时在上单调递减，在上单调递增；（5分）若，即，此时,即在上单调递减.（6分）综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（7分） （2） 当时，由（1）可得.（9分） 又，则，得在上单调递增，则.（11分）又注意到,所以存在，，使得成立，等价于时，，（13分）则，又，则.（15分） 专题上分练 第4练 利用导数研究恒（能）成立问题 刷基础固能 1．（1） 【解】函数的定义域为,且.（1分） 令,得或,（3分） 所以函数的单调递减区间为和.（5分） （2） 对任意的,.由于,则,（6分）令,其中,则,（7分）令,则.当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增.（10分）所以,则,（12分）则实数的取值范围是.（13分） 1．[解析]本题考查单变量恒成立问题 2．（1） 【解】当时,,则.（1分）令,得；令,得,（3分）所以在上单调递增,在上单调递减,（4分）所以的极大值为,无极小值.（5分） （2） 由题得,（6分）当时,,不符合题意.（7分）当时,令,得；令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,（9分）所以，由，得,解得.（11分）当时,令,得；令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,（12分）所以,由,得,解得.（14分）综上,实数的取值范围为.（15分） 2．[解析]本题考查单变量能成立问题 3．（1） 【解】函数的定义域为,求导得, 所以.（5分） （2） ,（6分）当时,；当时,,故函数在上单调递减,在上单调递增,.（8分）由,得,函数的图象是开口向下的抛物线,当时,,（10分）由,，恒有,得,（12分）因此,解得,所以的取值范围是.（15分） 3．[解析]本题考查双变量恒成立问题 4．（1） 【解】证明：的定义域为. . 由,可知,等价于.设函数,,因为,在上均单调递增,所以在上单调递增.（3分）因为,,所以在内存在唯一零点,所以方程有唯一实数解.（6分） （2） 由（1）知,当时,,即,单调递减,当时,,即,单调递增,所以.因为,所以,,.,即.（9分）,令,得,令,得,令,得,所以.（13分）因为,,,所以,所以,解得,所以的取值范围为.（15分） 4．[解析]本题考查双变量能成立问题 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $