精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高三上学期期中调研考试数学试题

2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120 分钟. 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质解不等式，求出集合A和集合B，再取并集即可求解. 【详解】由解得，故集合， 由解得，故集合， 所以. 故选：A. 2. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 3. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 4. 已知等比数列，则（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解. 【详解】在等比数列中，，由，得， 而，因此，又，且同号，则， 所以. 故选：C 5. 已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 四面体的体积为定值 D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】A，利用线面垂直的判定定理证明平面即可； B，根据平面平面判断； C，根据到平面的距离，到的距离为定值，的长不是定值判断；D，根据平面平面判断. 【详解】如图所示： ，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合）， 对于A，，，，、平面， 平面，平面，，故A正确； 对于B，∵平面平面，平面与平面重合，∴平面平面，故B正确； 对于C，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，∴四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，∵平面平面，平面，平面，故D正确． 故选：C． 【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质． 6. 已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，利用点到线的距离公式，即可求解. 【详解】因为的标准方程为，圆心为，半径为， 又易知直线过定点， 如图，过作于，因为在上的投影向量的模为， 则，所以，则，解得， 故选：D. 7. 已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解. 【详解】由题， ， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以. 故选：B 8. 已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是 A. -1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图像, 由已知得，令t=,用t表示出两个实数根，，然后令g(t)，对函数g(t)求导即可得到所求最大值. 【详解】作出的函数图像如图所示： 由可得，∴，即. 不防设，则， 令，则，， ∴，令，则， ∴当时，，当时，， ∴当时，取得最大值. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题． 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上的最小值为 C. 是图象的一个对称中心 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】对于A，由题图可知，的最小正周期，所以，故A错误； 对于B，由题图可知，，且函数图象过点， 当时，，解得，所以. 当时，，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为，故B正确； 对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 11. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合，可得，即可得函数的对称性，从而判断ABC，进一步得函数的周期性，进而根据周期性判断D. 【详解】因为是偶函数，且， 所以，， 因此的图象关于点对称，也关于点对称， 即，即， 所以为奇函数，故A错误，B和C正确； 因为，所以，于是， 所以，又， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 13. 已知，且满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算. 【详解】法一：由，则， 因此， 又因为， 所以，所以， 则． 法二：由，则， 结合则， 则． 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值. 【小问1详解】 当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 16. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 17. 在平面四边形中，，，，. （1）求的长. （2）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的长； （2）先求出，然后由为锐角三角形，求出角的范围，再利用正弦定理表示出，从而可表示出面积，化简后结合角的范围可求得结果. 【小问1详解】 在中，，，则 ， 由正弦定理得，， 所以， 因为 ， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 在中，由正弦定理得， 则 ， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） （2） 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【小问1详解】 设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即，② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 19. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】（1） （2）①，； ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故. 【解析】 【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可； （2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于. 【小问1详解】 设中点B的坐标为， 对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义， 可知直线l的方程为，即l：． 【小问2详解】 ①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或， 所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，． ②略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期中调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120 分钟. 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 为纯虚数，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或1 3. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列，则（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 5. 已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面平面 C. 四面体的体积为定值 D. 平面 6. 已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 8. 已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是 A. -1 B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上的最小值为 C. 是图象的一个对称中心 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 11. 已知是定义在上的偶函数，且，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题 12. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 13. 已知，且满足，则________． 14. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 四、解答题 15. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 16. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 在平面四边形中，，，，. （1）求的长. （2）若为锐角三角形，求面积的取值范围. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 19. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $