精品解析：湖南省张家界市慈利县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

慈利一中2025年下学期高二期中考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，写出对应点坐标，即可得. 【详解】因为，对应点为，在第四象限. 故选：D 2. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：A. 3. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动.为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图．若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的频率分布直方图，结合分层抽样求出两个区间内所抽人数，再利用列举法求出概率. 【详解】依题意，被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，； 有人年龄在，分别记为，，记表示抽取、两人， 则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，共种， 其中 “至少有人的年龄在” 的事件包含的基本事件为，共种， 所以该事件发生的概率为. 故选：B. 4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆外切求出的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，依题意，， 于是，即，因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 7. 已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（ ） A. 或0 B. C. 或0 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可. 【详解】由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，即，解得或. 故选：A. 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示： 由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上的点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 【答案】BD 【解析】 【详解】A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离为错误； D：圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 故选：BD 10. 如图，点在棱长为1的正方体的面对角线上运动（点异于点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用异面直线的夹角求解即可；对于B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可；对于C：利用等体积法求解即可；对于D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】对于选项A：如图，连接，，， 在正方体中，则异面直线与所成角为或其补角， 且，可知为等边三角形， 即，所以异面直线与所成角为，故A正确； 对于选项B：如图，连接， 因平面，平面，则， 易得，又，则平面， 又平面，故，同理可证， 因平面，故平面， 又因，则平面，所以，故B正确； 对于选项C：在正方体中，， 且平面，平面，所以平面， 而点在棱长为1的正方体的面对角线上运动， 故有，故C错误； 对于选项D：建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 设，，则 ，即， 所以，， 而，因平面，平面，则， 又平面， 所以平面， 即平面的法向量为，， 则， 因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ） A. 四边形的周长为16 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：利用四边形为平行四边形及椭圆定义可求四边形的周长； 对B：由为定值，再结合基本不等式求的最小值即可； 对C：直线AB的方程为，与椭圆方程联立，将的面积表达为的函数，再用基本不等式求最值. 对D：设，，，求得，又，可求得，验证是否垂直. 【详解】 对于A，连接，，AF，BF，则四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为8，故A错误； ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； ∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为， 由得，∴， ∴的面积， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，设，，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 则， 又点P和点A在椭圆C上，①，②，①②得， 因为，则，得， ∴，∴，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】椭圆第三定义：为椭圆上一点， 为离心率， ①为两个顶点，则； ②为关于原点对称的两点，则； 以上结论也适用于双曲线. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为： 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 14. 如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出椭圆的方程，设直线与椭圆的另一个交点为，由对称性得出，进而得出，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值，进而得解. 【详解】半圆的圆心为，半径为， 半圆的圆心为，半径为， 对于椭圆的焦距为，则，可得， 所以，椭圆的方程为，如图所示， 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，， ， 若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设直线方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， 故当时，取最小值， 则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用对称性得出，由此得出，将问题转化为椭圆的焦点弦长的最值问题. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. 【小问1详解】 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 已知直线过定点，圆心为， 又，即圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为， 所以，即. 又，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得，即， 即，可得， 所以的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面 （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 19. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点M， N，使得恰好被轴平分， ①证明：直线MN过定点； ②求△MTN面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由离心率及两个顶点间的距离求出，得到方程； （2）设直线的方程为，由可得求出定点；由结合基本不等式求出范围. 【小问1详解】 依题意可得 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①由题意可知，直线的方程可设为， 设， 联立整理得， 所以，， 因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线NT的斜率存在且， 即， 整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点. ②的面积 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈利一中2025年下学期高二期中考试 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动.为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图．若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率是（ ）. A. B. C. D. 4. “太极图”因其形状如对称阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（ ） A. 或0 B. C. 或0 D. 0 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 10. 如图，点在棱长为1的正方体的面对角线上运动（点异于点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 11. 已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B不是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（ ） A. 四边形的周长为16 B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则______． 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 14. 如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面 （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点M， N，使得恰好被轴平分， ①证明：直线MN过定点； ②求△MTN面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $