4.2.2 指数函数的图象和性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《4.2.2 指数函数的图象和性质》教学设计 【教学目标】 ①了解指数函数模型的实际背景 ②理解指数函数的概念 ③理解指数函数的图象和性质 【教学重点】指数函数的概念、图象、性质。 【教学难点】指数函数的图象、性质。 【教学方法】引导发现，自主探究 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 问题: 1.某种生物的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，知道分裂的次数,如何求得细胞的个数呢？ 2.“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 归纳：函数 、，指数x为自变量，底为常数 教师分析解题的过程，得到 通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识． 新 课 新 课 新 课 新 课 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax (a＞0且a1，xR) 叫做指数函数． 其中x是自变量，定义域为R． 探究 为什么要规定a＞0，且a≠1呢？ (1) 若a＝0， 则当x＞0时，ax ＝0；当x≤0时，ax无意义． (2) 若a＜0， 则对于x的某些数值，可使ax无意义． 如 (－2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在． (3) 若a＝1， 则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1． 在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且 ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是 (0，＋∞)． 练习1 指出下列函数哪些是指数函数： (1) y＝；　　(2) y＝； (3) y＝；　　(4) y＝． 二、指数函数的图象和性质 在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝()x的图象． (1)列表：略． (2)描点：略． (3)连线：略． ( y ＝( ) x ) ( x y 1 2 3 －1 －2 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O y ＝2 x ) 课件展示： 函数y＝3x与y＝()x的图象． 课件展示 在同一坐标系中y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象 探究 观察图象，找出图象特征． (1) 图象向左右无限延伸； (2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴； (3) 图象都经过点(0，1)； (4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降． 探究 (1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”； (2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)； (3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，ax＝1”； (4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”． 指数函数的图象与性质列表如下： a＞1 0＜a＜1 图 象 ( y ＝ 1 x y (0,1) O ) ( y ＝ 1 x y (0,1) O ) 定义域 R 值域 (0，＋) 定点 (0，1) 单调性 增函数 减函数 三、 典型例题 例1：判断下列函数在内的单调性： （1）； (2) ; (3) 例2 用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1) 1.72.5和1.73； (2) 0.8－0.1和0.8－0.2． 解 (1) 考察函数y＝1.7x， 它在实数集上是增函数． 因为 2.5＜3，所以 1.72.5＜1.73． 请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？ (2) 考察函数y＝0.8x， 它在实数集上是减函数． 因为 －0.1＞－0.2， 所以 0.8－0.1＜0.8－0.2． 请同学们用计算器验证一下答案是否正确？ 例3 已知指数函数的图像过点，求的值(精确到0.01)． 分析 首先由函数图像过点可以确定底，得到函数的解析式．然后用计算器求出函数值． 解 由于函数图像过点，故,即 ． 由于，且，故 ． 因此，函数的解析式为 ． 所以 ． 教师板书课题． 学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导． 师生共同讨论完成。 师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？ 教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象． 重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝()x的图象． 观察函数y＝3x与y＝()x的图象． 师：指数函数： y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？ 师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？ 教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质． 学生分组，采用小组合作形式完成． 课件展示结果 教师强调：对于比较大小的问题，若是底数相同，通过构造一个指数函数，用指数函数单调性来解决． 学生画图验证． 学生用计算器验证． 用待定系数法求解析式。 学生用计算器计算，并精确到0.01· 由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数 ——指数函数． 对于a＞0，且a≠1这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以 强化学生对指数函数的定义的理解记忆． 让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识． 让学生通过计算机演示观察． 为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受． 锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力． 通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验． 待定系数法求解析式是重要的数学方法。 培养学生运用计算器的技能，提高计算能力。 加深训练 小 结 1．指数函数的定义； 2．指数函数的图象与性质； 3．应用： (1) 比较大小； (2) 求函数解析式。 4. 拓展：介绍有关考古的知识 师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象与性质． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 作 业 教材 P81，练习4.2.1第1、2题； 实践作业：上网查找与指数函数相关的历史资料以及指数函数在生活或其他方面中的应用。 标记作业． 巩固提高 为下节课指数函数的应用打下基础。 板书设计 4.2.2 指数函数的图象和性质 一、 概念： 二、图像及性质 三、例题 练习 一般地，函数y＝ax (a＞0且a1，xR) 叫做指数函数． 定义域为R． 课后反思： 1、由图像归纳性质时应给学生一个方向性的引导，如可从以下几个方面考虑： （1）图像范围； （2）图像经过的特殊点； （3）图像从左向右的变化趋势。观察分析图像， 2、引导学生从研究函数的一般方法出发：观察定义域、值域、单调性、奇偶性，再根据一般到特殊的思想，让学生多做几个指数函数的草图，对于图像的剖析还欠缺，对于研究函数的一般方法——研究定义域、值域、单调性、奇偶性等，没有给出足够的强调与归纳。 1 学科网（北京）股份有限公司 $