4.2.2指数函数的图象和性质教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数图像和性质，通过折纸试验与生活实例小视频导入，复习指数函数概念，类比幂函数“概念—图像—性质”的研究路径，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于融合动态技术与探究式学习，用GeoGebra动态演示底数变化对图像的影响，培养学生几何直观（数学眼光），通过小组合作从具体图像归纳一般性质，发展推理意识（数学思维），结合交互式表格与口诀总结性质，提升数学语言表达能力，助力学生深化理解，也为教师提供高效教学工具。

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 4.2.2 指数函数的图像和性质（第1课时） 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版必修一第四章第二节 教学目标 1.理解并掌握指数函数y=ax(a>0且a╪1)的底数的变化（即0<a<l与a＞1）对指数函数单调性的影响。 2.通过对指数函数图象的研究，发现并掌握指数函数过定点问题。 3.理解并掌握指数函数图象的绘制及其基本性质。 教学难点： 1.理解并掌握指数函数的性质，能熟练运用性质解决数学问题。 2.区分不同底数下指数函数图象的差异。 教学重难点 教学重点： 1.理解并掌握指数函数y=ax(a>0且a╪1)的底数的变化（即0<a<l与a＞1）对指数函数单调性的影响。 2.通过对指数函数图象的研究，发现并掌握指数函数过定点问题。 3.理解并掌握指数函数图象的绘制及其基本性质。 教学难点： 1.理解并掌握指数函数的性质，能熟练运用性质解决数学问题。 2.区分不同底数下指数函数图象的差异。 突破难点的关键： 寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。 学情分析 知识基础：学生已经理解了指数函数的概念，掌握了函数的基本性质（定义域、值域、单调性等），并具有研究幂函数图象与性质的经验。 认知难点：对指数函数图象的“无限逼近x轴”这一渐近行为理解困难。对“底大图高”规律的理解可能停留在表面观察，难以在不同区间（如x<0和x>0）灵活应用。 学习特点：学生具备一定的动手操作和观察归纳能力，对通过图象发现函数规律有较高兴趣，但严谨的数学语言表达和深度的逻辑关联能力重点训练。 教学准备 1.多媒体课件； 2.课堂探究任务单； 3.GeoGebra等动态数学软件. 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用）  一、温故知新，明确路径 问题 1：内容：折纸试验的小视频:折叠次数x与纸张层数y的函数即y=. 复习：指数函数的概念和解析式特征。 师生活动： 教师活动：提出问题，如“同学们，我们之前学习过指数函数，谁能告诉我指数函数的概念及解析式的特征？”通过这些问题引导学生回忆并复述指数函数的概念和解析式特征。 学生活动：回顾并回答教师的问题，如“指数函数是形如 （a > 0 且 a ≠ 1）的函数，其中 a 是底数，x 是指数。” 问题 2：生活实例的小视频及根据幂函数的学习经验，接下来我们要对指数函数研究什么？如何研究？ 师生活动：由小视频提出问题，学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法。类比已有的学习经验是一个好方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于一个新函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质,我们先从具体的指数函数入手。 明确路径：回顾研究幂函数的一般路径（“背景—概念—图象和性质—应用”），引出本节课的核心任务：研究指数函数的图象和性质。   设计意图：通过生活实例的小视频复习旧知，为学习新知做好铺垫，引导学生进入新课学习状态,唤醒学生的记忆，引导学生复习指数函数的概念、指数函数解析式的特征，指数函数的定义域。为后续学习新知搭建桥梁，同时检查学生的预习情况，为后续教学提供反馈。 设计意图：通过回顾以往研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和方法，为接下来的学习建立先行组织者。同时调动学生学习的积极性，用旧方法研究新问题，培养学生类比迁移的学习能力。  使用思维导图工具快速回顾函数研究的一般路径，形成清晰的知识结构图。  二、合作探究，动手绘制图象 问题 3：我们先从简单的函数 入手,请同学们画出指数函数的图象,观察函数的图象，分析函数的性质。   师生活动：从简单的函数入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性．由解析式的特征知定义域为 R，根据指数运算，分析值域为（0,），进而分析出函数的图象应该都在 x 轴上方。通过取特殊点进行分析，得出函数不具有奇偶性．单调性需要借助图象研究。学生在列表时，分析 x 的取值，要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象。 问题 4：请同学们画出指数函数的图象，观察函数的图象，分析函数的性质。 师生活动：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图象，探究函数的性质。 问题5：你是如何画出函数 的图象？描点法还是利用对称性？请讲出选择的理由．师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性．因为，点(x，y)与点(-x，y)关于 y 轴对称，所以函数 图象上任意一点P ( x,y )关于 y 轴的对称点 （-x， y）都在函数 的图象上，反之亦然。根据这种对称性，可以利用函数的图象，画出的图象。并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象。 问题6：我们将指数函数 的图象按底数 a 的取值，分作 a＞1和 0<a<1 两种类型进行研究。为了得到指数函数 的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察。 问题 7：画出指数函数 和的图象，分析它们的性质。画出指数函数 和 的图象，分析它们的性质。 师生活动：学生动手实践，观察分析，师生协作交流．教师引领学生先研究底数 a＞1的情况，可追问学生在a＞1的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究。学生画出指数函数 和 的图象，教师也可借助几何画板绘出多个函数的图象。同学们观察图象，引导学生从定义域、值域、单调性、过定点等方面进行分析。分析它们的性质，并将它们跟函数的图象进行对比，寻找它们的共性，概括 （a＞1）的值域和性质。然后根据对称性，学生画出函数和的图象，寻找它们的共性，概括 （ 0<a<1 ）的值域和性质。 设计意图：通过计算，利用数量的变化发现指数函数的基本特征。通过画图，发现指数函数的单调性。 设计意图 :学生根据图象进行探索、思考，逐步抽象出指数函数的图象特征和性质问题 让学生动手操作，独立画图，使学生掌握了画图的基本方法，同时培养了学生的自主探究能力。 设计意图：据这种对称性，初步了解图象的变换方法。通过讨论图象的对称关系培养学生合作探究的能力，让学生学会用联系的观点看问题，进而培养学生的综合素养，以及通过逻辑推理获得数学结论。 设计意图：通过选取底数a（ a ＞0，且 a ≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。更好理解指数函数的定义，研究更多的指数函数，发现指数函数的性质.通过底数的变化，进一步认识指数函数的图象，理解指数函数的概念和性质。 学生画图后，教师使用GeoGebra动态展示标准图象进行对比校正，并实时改变底数a的值，让学生直观感受图象的连续变化。 三、观察对比，归纳性质  观察归纳，概括性质 问题 8：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？ 师生活动：学生合作学习，探究性质，师生互动总结。教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生以小组为单位，观察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性。 （1）这些函数的图象都过点 (0,1) 。 （2）函数的定义域都是R ，值域都是 （0,）。 （3）当0<a<1时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当a＞1时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数。 问题 9：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？ 师生活动：依靠信息技术，教师根据指数函数的解析式直接作图，并对指数函数（ a ＞0，且 a ≠1）中的底数 a 进行任意取值，追踪函数图象的变化。学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质。 问题 10：请同学们归纳概括指数函数的性质，并完成下表。 师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图象特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表 记忆口诀 左右无限，上冲天； 永与横轴，不沾边； 大一增，小一减； 图象恒过(0,1)点 设计意图： 画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质。这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数 a 分为 0<a<1和 a＞1两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的函数图象看到其共性，实现 “由特殊到一般”的归纳过程，了解指数函数的性质。 设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质．学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、特殊点和单调性。在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”。在对指数函数有了初步的认知后，“先行组织者”明确研究的内容与方法，从整体上认识研究的目标与手段。   在PPT中设计交互式表格，学生每归纳出一条性质，即可点击显示对应内容，增强课堂互动性和生成性. 使用概念图软件与学生共同构建本节课的知识网络图，进行可视化总结。 四、应用新知，内化技能 1. 典例精讲（比较大小）： - 类型一：底数相同，利用单调性比较。 例1：（1） - 类型二：指数相同，利用图象或幂函数性质比较。 例1：（2） - 类型三：底数、指数均不同，寻找中间量（如1） 例1：（3） 2.学生活动：学生先独立思考，再小组讨论，最后教师规范板书，总结比较幂大小的方法  设计意图：将抽象的性质转化为解决问题的具体工具，培养学生灵活应用知识的能力。通过分层例题，让学生掌握不同情况下比较大小的方法策略。 设计在线选择题，即时检测学生对三类比较大小问题的掌握情况，并针对错误率高的题目进行精准讲解。 作业设计 基础巩固 1.求函数 f(x)=4.3的定义域与值域以及单调区间. 2.下列函数中是增函数的是（ ）(填入序号) ①y=0.7；②y=()；③y=2；④y=4 综合运用 3.函数 y=+3(0 且 ≠1) 的图象恒过的定点是_______. 4.已知函数 f(x)=3+1(x[0，2])，求函数的最大值和最小值. 拓广探索、 5.利用信息技术绘制指数函数y=和y=的图象. 【答案】 1.函数 f(x)= 4.3的定义域为 R，值域为(0,+∞)，在区间(-∞,+∞)上单调递增. 2.②③ 3.令 x+3=0 ，则 x=−3 ，此时 y=+3=4 ， 所以函数的图象恒过定点 (−3,4) . 4.函数的最大值是 f(2)=3+1=10，最小值是f(0)=3+1= 2 板书设计/课堂小结  板书设计 4.2.2 指数函数的图像和性质（第1课时） 1、研究路径：背景→概念→图象→性质→应用 2、图象特征： a>1 0<a<1 3、核心性质及记忆口诀 4、4.应用：利用单调性比较幂的大小 课堂小结 引导学生从三个层面总结： 1. 知识：指数函数的图象特征与性质（通过表格回顾）。 2. 方法：研究函数性质的通用路径： （选取代表→描点画图→观察特征→归纳性质→应用）。 3. 思想：数形结合、从特殊到一般、分类讨论。 教学反思   引导学生从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结,体会研究具体函数的内容、过程和方法。 在“图象”中见“性质”，“探究”中悟“本质” 本节课成功地将“探究式学习”贯穿始终。学生依托已有知识的储备，亲自动手描点画图，对指数函数的图象获得了鲜活、深刻的直观感知，为性质的归纳奠定了坚实认知基础。在“观察对比，归纳性质”环节，学生能较好地运用数形结合思想，将图形特征转化为代数语言，自然归纳出定义域、值域、过定点等核心性质。 教学难点“底大图高”规律的突破，借助于GeoGebra软件的动态演示，将抽象的规律可视化呈现，有效化解了学生的思维障碍。在应用环节，学生能主动运用单调性解决底数相同的幂的大小比较，但对于需要引入中间量或综合运用图象的题目，部分学生较困难，这需要在后续课中强化训练。 学科网（北京）股份有限公司 $