3.3 幂函数 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（2）等于（ ） A. B．2 C. D. 2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ） A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x 3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ） A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 4．若a＝0.990.5，b＝1.010.5，c＝1，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c 5．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是（ ） 二、多项选择题 6．幂函数f（x）＝（m2－3m－3）xm在区间（0，＋∞）上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A．m＝4 B．m＝－1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 7．已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ） A．f（－2）>f（1） B．f（－2）<f（1） C．f（－2）＝f（－1） D．若|a|>|b|>0，则f（a）<f（b） 三、填空题 8．已知幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于________． 9．若（a＋1）<（3－2a），则a的取值范围是________． 四、解答题 10．比较下列各组数的大小． （1）－1与－1； （2）（a＋1）3与a3； （3）3与3.1； （4）1.2，0.9，. 11．已知函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称． （1）求实数m的值； （2）若不等式（a－1）m<（2a－3）m成立，求实数a的取值范围． 个性拓展练 12．已知幂函数f（x）的图象过点，则f（x－3x2）的定义域为（ ） A．（0，3） B. C．（0，3] D. 13．有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： （1）偶函数； （2）值域是{y|y≠0}； （3）在（－∞，0）上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________（填序号）． 14．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上． （1）求f（x）和g（x）的解析式； （2）定义h（x）＝求函数h（x）的最大值及单调区间． 3.3 幂函数 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（2）等于（ ） A. B．2 C. D. 解析：设幂函数y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，∴f（2）＝2－1＝.故选A. 答案：A 2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ） A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x 解析：其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意．故选A. 答案：A 3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ） A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n<m，故n<m<0.故选A. 答案：A 4．若a＝0.990.5，b＝1.010.5，c＝1，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c 解析：幂函数y＝x0.5在[0，＋∞）上单调递增，c＝1＝10.5，又因为1.01>1>0.99，所以b>c>a，故A正确． 答案：A 5．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是（ ） 解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作是由y＝x的图象向下平移一个单位得到的（如选项A中的图所示），则y＝x－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 答案：B 二、多项选择题 6．幂函数f（x）＝（m2－3m－3）xm在区间（0，＋∞）上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A．m＝4 B．m＝－1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 解析：由幂函数f（x）＝（m2－3m－3）xm在区间（0，＋∞）上单调递增，得解得m＝4，故A正确；函数f（x）＝x4，函数f（x）在定义域R上不单调，是偶函数而不是奇函数，故B、D错误，C正确．故选AC. 答案：AC 7．已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ） A．f（－2）>f（1） B．f（－2）<f（1） C．f（－2）＝f（－1） D．若|a|>|b|>0，则f（a）<f（b） 解析：幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f（x）＝，f（－x）＝f（x），且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是有f（－2）＝f（2）<f（1）＝f（－1），则A、C错误，B正确；若|a|>|b|>0，则f（|a|）<f（|b|），即f（a）<f（b）成立，故D正确．故选BD. 答案：BD 三、填空题 8．已知幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于________． 解析：∵幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3（m∈Z）为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3， 又m∈Z， ∴m＝－1，0，1，2，3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意． 综上所述，m＝－1，1，3. 答案：－1或1或3 9．若（a＋1）<（3－2a），则a的取值范围是________． 解析：因为函数f（x）＝x的定义域为R，且为单调递增函数，所以由不等式可得a＋1<3－2a，解得a<. 答案： 四、解答题 10．比较下列各组数的大小． （1）－1与－1； （2）（a＋1）3与a3； （3）3与3.1； （4）1.2，0.9，. 解：（1）函数y＝x－1在（－∞，0）上单调递减， ∵－<－，∴－1>－1. （2）函数y＝x3在R上为增函数， ∵a＋1>a，∴（a＋1）3>a3. （3）函数y＝x在（0，＋∞）上为减函数． ∵3<3.1，∴3>3.1. （4）0.9＝，＝1.1. ∵1.2>>1.1， 且y＝x在[0，＋∞）上单调递增，∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>. 11．已知函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称． （1）求实数m的值； （2）若不等式（a－1）m<（2a－3）m成立，求实数a的取值范围． 解：（1）因为函数f（x）＝（2m2－m）x2m＋3是幂函数， 则2m2－m＝1，即2m2－m－1＝0，解得m＝－或m＝1. 当m＝－时，f（x）＝x2为偶函数，满足题意； 当m＝1时，f（x）＝x5为奇函数，不满足题意． 综上所述，实数m的值为－. （2）设函数g（x）＝xm＝x＝，则函数g（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减． 由（a－1）m<（2a－3）m可得 解得<a<2， 所以实数a的取值范围为. 个性拓展练 12．已知幂函数f（x）的图象过点，则f（x－3x2）的定义域为（ ） A．（0，3） B. C．（0，3] D. 解析：设幂函数的解析式为f（x）＝xa，则f（8）＝8a＝＝，故a＝－，则f（x）＝x，所以f（x）的定义域为（0，＋∞），故x－3x2>0，解得0<x<. 答案：B 13．有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： （1）偶函数； （2）值域是{y|y≠0}； （3）在（－∞，0）上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________（填序号）． 解析：对于函数①，f（x）＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在（－∞，0）上单调递减，所以三个性质中有两个不正确； 对于函数②，f（x）＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在（－∞，0）上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件； 同理可判断③④中函数不符合条件． 答案：② 14．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上． （1）求f（x）和g（x）的解析式； （2）定义h（x）＝求函数h（x）的最大值及单调区间． 解：（1）设f（x）＝xα，因为点（，2）在幂函数f（x）的图象上，所以（）α＝2，解得α＝2，即f（x）＝x2. 设g（x）＝xβ，因为点在幂函数g（x）的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g（x）＝x－1. （2）在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－1的图象，可得函数h（x）的图象如图所示．由题意及图象可知 h（x）＝ 根据函数h（x）的解析式及图象可知，函数h（x）的最大值为1，单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为（－∞，0）和（1，＋∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $