课后分层练(二十六) 幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十六)]　幂函数 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 　　　【基础巩固】 1．下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 解析：选C.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x-1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x-1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误． 2．图中C1，C2，C3分别为幂函数y＝xα1，y＝xα2，y＝xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是(　　) A．，3，－1 B．－1，3， C．，－1，3 D．－1，，3 解析：选D.由图知α1<0，0<α2<1，α3>1，所以α1，α2，α3可以是－1，，3. 3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A.因为a＝2＝4，b＝3，c＝5，且幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以b<a<c. 4．函数y＝的图象大致为(　　) 解析：选A.因为y＝f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C、D； 当x≥0时f(x)＝，由幂函数的性质可知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误． 5．(2025·重庆期中)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为奇函数，则实数m＝(　　 ) A．2或－1 B．－1 C．4 D．2 解析：选B.由题意得m2－m－1＝1，所以m2－m－2＝0，所以(m－2)＝0， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x22－2×2－2＝x-2，为偶函数，故m＝2不符合题意， 当m＝－1时，f(x)＝x2－2×－2＝x，为奇函数，故m＝－1符合题意． 综上所述，m＝－1. 6．(多选)设α∈{－1，1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有(　　) A．－1 B．1 C．3 D． 解析：选BC.α＝－1时，y＝x-1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，不正确； α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝时，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，不正确． 7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________． 解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意． 答案：1 8．幂函数f(x)的图象经过点(，2)，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时，f(x)>g(x)？当x为何值时，f(x)<g(x)? 解：(1)设f(x)＝xα，则()α＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2 ，设g(x)＝xβ，则(－2)β＝， 即β＝－2，g(x)＝x-2(x≠0). (2)从图象可知，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； 当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x). 【综合运用】 9．(多选)已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为(　　) A． B． C． D．3 解析：选AC.由图可知，y＝xα定义域为R，且为奇函数，故B错误； 可知y＝xα在(0，＋∞)上凸递增，则0<α<1，故D错误． 10．(多选)(2025·吉林长春期末)幂函数f(x)＝x－m-1，m∈N*，则下列结论正确的是(　　 ) A.m＝1 B．f(－2)<f(3) C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的值域为(0，＋∞) 解析：选ACD.对于A，因为f(x)＝x－m-1，m∈N*是幂函数，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1或m＝－2(舍去)，则f＝x-2，正确； 对于B，f＝，f＝，所以f(－2)>f(3)，错误； 对于C，f＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f＝f，所以函数f(x)是偶函数，正确； 对于D，由f＝x-2＝>0，得函数f(x)的值域为(0，＋∞)，正确． 11．实数α满足(2a－1)－>(a＋1)－，则实数α的取值集合为________． 解析：y＝x－＝，其定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递减， 因为(2a－1)－>(a＋1)－， 所以解得<a<2. 答案：(，2) 12．(开放性问题)有四个幂函数：①f(x)＝x-1；②f(x)＝x-2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是______(填序号). 解析：对于函数①，f(x)＝x-1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确； 对于函数②，f(x)＝x-2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件； 同理可判断③④中函数不符合条件． 答案：② 13．已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa为偶函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)＋(2m－1)x－3在[－1，3]上的最大值为2，求实数m的值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－3a＋3)xa为幂函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1， 因为f(x)为偶函数，所以a＝2，故f(x)的解析式f(x)＝x2； (2)由(1)知g(x)＝x2＋(2m－1)x－3，对称轴为x＝，开口向上， 当≤1即m≥－时，g(x)max＝g(3)＝3＋6m＝2，即m＝－； 当>1即m<－时，g(x)max＝g(－1)＝－1－2m＝2，即m＝－； 综上所述：m＝－或m＝－. 【创新探索】 14．(多选)(2025·甘肃期末)已知幂函数f(x)＝x－m，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列正确的是(　　 ) A．m＝－2 B．函数f(x)的图象经过点 C．若a<b<0，则f(b)>f(a) D．若a>b>0，则f(a)＋f(b)>2f 解析：选BCD.对于A，由函数f(x)为幂函数，有m2－m－1＝1，解得m＝－1或2. 当m＝－1时，f(x)＝x，函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，不符合题意； 当m＝2时，f(x)＝x-2，函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，符合题意．故有m＝2，故A错误； 对于B，由选项A，f(x)＝x-2，可得f(－1)＝1，故B正确； 对于C，由函数f(x)为偶函数，可知函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，可得f(b)>f(a)，故C正确； 对于D，由f(x)＝x-2，a>b>0，则f(a)＋f(b)－2f＝＋－>＋－＝2>0， 可得f(a)＋f(b)>2f，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $