课时分层作业21 幂函数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(二十一)　幂函数 基础达标 一、选择题 1．下列函数是幂函数的是(　　) 【答案】　D 【解析】　由幂函数的定义知，幂函数满足三个条件：①系数为1；②底数为自变量；③指数为常数．故选D. 2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，)，则f(4)的值为(　　) A. B． C. D．2 【答案】　A 【解析】　依题意有＝3α，所以α＝－，所以，所以＝. 3．幂函数在(0，＋∞)上为减函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 【答案】　C 【解析】　因为f(x)为幂函数，所以m2－4m＋4＝1，解得m＝3或m＝1，所以f(x)＝x－1或f(x)＝x3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以m＝3. 4．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 【答案】　B 【解析】　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以，解得α＝，所以f(x)＝，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 5．已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A．f(a)<f(b)<f()<f() B．f()<f()<f(b)<f(a) C．f(a)<f(b)<f()<f() D．f()<f(a)<f()<f(b) 【答案】　C 【解析】　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f()<f()，故选C. 二、填空题 6．若幂函数的图象不过原点，则m的值为 . 【答案】　－6 【解析】　由m2＋3m－17＝1，解得m＝3或m＝－6，当m＝3时，指数4m－m2>0，不合题意，当m＝－6时，指数4m－m2<0， 符合题意，故m＝－6. 7．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝ ． 【答案】　 【解析】　因为f(x)是幂函数，所以k＝1.又因为其图象过点(，)，所以＝()α，解得α＝，故k＋α＝. 8．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是 ． 【答案】　(－∞，－3) 【解析】　y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的． ∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)． 三、解答题 9．点(，3)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)? 【解】　设f(x)＝xα， g(x)＝xβ. 因为()α＝3，(－2)β＝－， 所以α＝2，β＝－1， 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象，如图所示． 由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； 当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)． 10．已知函数，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数． 【解】　(1)若函数f(x)为正比例函数，则， ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则∴m＝－1. (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±. 能力提升 11．幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】　A 【解析】　因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2<0，故m<2. 又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意； 当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意． 综上知，m＝0. 12．函数是幂函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b) C．f(a)＝f(b) D．以上都不对 【答案】　A 【解析】　∵f(x)为幂函数，∴ ∴∴， ∴f(x)在(0，＋∞)上递增，且a>b>0， ∴f(a)>f(b)．故选A. 13．设函数f1(x)＝，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2020)]}＝ ． 【答案】　 【解析】　∵f1{f2[f3(x)]}＝f1[f2(x2)]＝f1(x－2)＝x－1， ∴f1{f2[f3(2020)]}＝2020－1＝. 14．已知幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是 ． 【答案】　f(x)＝x－1 【解析】　∵函数的图象与x轴、y轴都无交点， ∴m2－1<0，解得－1<m<1. 又∵m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1. 15．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，函数g(x)＝(x－2)f(x)(≤x≤1)，求函数g(x)的最大值与最小值． 【解】　因为f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α， 所以α＝－1，所以f(x)＝x－1， 所以g(x)＝(x－2)·x－1＝＝1－. 又g(x)＝1－在[，1]上是增函数， 所以g(x)min＝g()＝－3， g(x)max＝g(1)＝－1. 思维拓展 16．(多选)已知幂函数(m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　) A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数 D．0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 【答案】　AB 【解析】　＝，当m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)在x<0时无意义，故C中的结论错误；0<<1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误．故选AB. 17．(多选)已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是(　　) A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0 C．1<a<b D．－1<b<a<0 【答案】　AC 【解析】　画出的图象(如图)，设＝m，作直线y＝m. 从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.故其中可能成立的是AC. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$