精品解析：贵州省毕节市纳雍县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

纳雍县2025—2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在矩形中，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键． 根据矩形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴． 故选：A 2. 现有方程：①，②下列说法正确的是（ ） A. ①和②都是一元二次方程 B. ①和②都不是一元二次方程 C. 只有①是一元二次方程 D. 只有②是一元二次方程 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断，即可作答． 【详解】解：∵方程①： 中只含一个未知数x，且x的最高次数为2， ∴ ①是一元二次方程。 ∵方程②：中含有两个未知数x和y， ∴ ②不是一元二次方程 因此，只有①是一元二次方程， 故选：C 3. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次随机摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 3个 B. 6个 C. 12个 D. 15个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，已知概率求数量．摸到红球的频率稳定在附近，因此红球的概率约为，用总球数乘以概率即可得红球数量，即可作答． 【详解】解：依题意，摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故选：B． 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程．根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴方程的根为， 故选：D． 5. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵公路与互相垂直， ∴， ∵公路的中点与点被湖隔开， ∴是的中线， ∴， 故选：B 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的周长是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分，得到，再根据所对的直角边是斜边的一半由的长度求出的长度，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 又， ， 菱形的周长为． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 6 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程，进行求解m的值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程，得， 即， ∴， ∴， 故选：D． 8. 在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，折叠的性质，矩形的性质．通过折叠的过程可以得出该四边形的四边相等，继而进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，展开后的图形为四边形，四边形的四边都与相等， 即四边形的四边相等， 故剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是菱形， 故选B． 9. 若关于的方程可以配方成，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过将方程配方成给定形式，比较系数求出m和n的值，再计算表达式的值，即可作答． 【详解】解：依题意，方程配方后为， 即， ∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修建宽度相等的道路（阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为，设道路宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力． 设道路宽度为，根据题意表示出绿化部分的长、宽，再根据绿化面积为，即可求解． 【详解】解：设道路宽度为，根据题意得： ． 故选：C 11. 如图，在矩形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点．若，则四边形的面积是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 故选A． 12. 对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴方程必有一根为；故①正确； ②当时，方程变为， 即， ∴或， ∴方程至少有一个根为；故②正确； ③若方程两根为和， 则两根之和为，即， 两根之积为，即， ∴；故③正确； ④若，则， 判别式， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，但说法是“有两个相等的实数根”，故④错误； 综上，正确的有①②③，共3个； 故选C． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 14. 如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 15. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，的周长为，则菱形边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE=，设AH=x，则HE=2-x， DH=x，在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x，进而得到AD = 2x的值． 【详解】如图，连接BD，作DH⊥AB，垂足为H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= AD， AD//BC， ∵∠A= 60°， ∴△ABD是等边三角形， ∠ABC= 180°-∠A= 180°- 60°= 120°， ∵AD= BD， ∠ABD=∠A=∠ADB = 60°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD= 120°-60°=60°， ∴∠DAE=∠DBF= 60°， 在△ADE和△BDF中， AD= BD，∠DAE=∠DBF，AE= BF， ∴△ADE≌△BDF (SAS)， ∴DE= DF，∠EDA=∠FDB， ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠EDA=∠ADB = 60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵△DEF的周长为 ， ∴ DE=， 设AH =x，则HE=2- x， ∵AD= BD， DH⊥AB， ∴∠ADH=∠ADB=×60°=30°， ∴AD= 2x，DH =x， 在Rt△DHE中，根据勾股定理，得 DH2 + HE2= DE2， ∴(x)2 +(2-x)2= ()2， 解得x= (负值舍去)， ∴AD=2x=2× =， 故答案为：1+． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理求出AH． 三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ，或， ． 【小问2详解】 解：这里． ， ，即． 18. 如图，在中，对角线，相交于点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据，可得，从而得到是菱形，即可求证． 【详解】证明：， ， 是菱形， ． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图． （1）如图1，已知线段为一个矩形的一条对角线，画出这个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； （2）在图2中画一个面积为10的正方形，使正方形的四个顶点均在格点上； （3）在图3中画一个周长为的菱形（非正方形），使菱形的四个顶点均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图、矩形、菱形与正方形、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握矩形、菱形与正方形的格点作图方法是解题关键． （1）根据矩形的两条对角线相等，结合网格特点作图即可得； （2）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得； （3）先求出这个菱形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【小问1详解】 解：如图即为所画； 【小问2详解】 解：∵正方形的面积为10， ∴这个正方形的边长为， 如图即为所画； 【小问3详解】 解：∵菱形的周长为， ∴这个菱形的边长为， 如图即为所画． 20. 某校生物兴趣小组开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，如图记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果： 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 种子发芽的频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 （1）根据表中数据，这种植物发芽的概率估计值为______________；（精确到0.1） （2）若该小组准备了5000粒种子进行发芽培育，问： ①这批种子发芽的粒数约为多少？ ②若该校的劳动基地需要这种植物发芽的种子7200粒，试估算该小组还需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 【答案】（1） （2）①这批种子发芽的粒数约为粒；②该小组还需要准备粒种子进行发芽培育． 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）①用5000乘以发芽的概率即可；②根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据，发芽的概率估计值为； 【小问2详解】 解：①（粒） 答：这批种子发芽的粒数约为粒； ②（粒） 答：该小组还需要准备粒种子进行发芽培育． 21. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】（1） （2） 证明： ， ， 方程有两个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． 【小问1详解】 把代入，得， ， ． 【小问2详解】 略 22. 如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 23. 秦腔，别称“梆子腔”，是国家级非物质文化遗产之一，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．现有以下四张不透明的卡片，其正面分别印有四种不同的曲目（如图），除此之外，其他都相同．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．李爷爷和刘爷爷需要各自从这四张卡片中分别随机抽取一张进行表演． （1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是_____； （2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求他们两人恰好抽中“A．周仁回府”和“C．白蛇传”这两个曲目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中李爷爷和刘爷爷两人恰好抽中“A．周仁回府”和“C．白蛇传”这两个曲目的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中李爷爷和刘爷爷两人恰好抽中“A．周仁回府”和“C．白蛇传”这两个曲目的结果有2种， （他们两人恰好抽中“A．周仁回府”和“C．白蛇传”这两个曲目）． 24. 某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 【答案】（1）该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为 （2）当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题和利润问题，解题关键是理解题意，正确列出方程． （1）根据题意，列出方程即可求解； （2）根据题意，设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天获利4680元，列出方程后解方程，根据实际意义即可求解． 【小问1详解】 解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元． 根据题意，得， 整理，得，解得． 要让顾客获得最大优惠， ． 答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元． 25. 如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：在正方形中， ，，， ． ； 【小问2详解】 证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； 【小问3详解】 解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纳雍县2025—2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在矩形中，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 2. 现有方程：①，②下列说法正确的是（ ） A. ①和②都是一元二次方程 B. ①和②都不是一元二次方程 C. 只有①是一元二次方程 D. 只有②是一元二次方程 3. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次随机摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 3个 B. 6个 C. 12个 D. 15个 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的周长是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 6 C. 2 D. 8. 在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 三角形 9. 若关于的方程可以配方成，则（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修建宽度相等的道路（阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为，设道路宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点．若，则四边形的面积是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 24 12. 对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程的一次项系数是_____． 14. 如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 15. 若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是_____． 16. 如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，的周长为，则菱形边长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 18. 如图，在中，对角线，相交于点，，求证：． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图． （1）如图1，已知线段为一个矩形的一条对角线，画出这个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； （2）在图2中画一个面积为10的正方形，使正方形的四个顶点均在格点上； （3）在图3中画一个周长为的菱形（非正方形），使菱形的四个顶点均在格点上． 20. 某校生物兴趣小组开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，如图记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果： 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 种子发芽的频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 （1）根据表中数据，这种植物发芽的概率估计值为______________；（精确到0.1） （2）若该小组准备了5000粒种子进行发芽培育，问： ①这批种子发芽的粒数约为多少？ ②若该校的劳动基地需要这种植物发芽的种子7200粒，试估算该小组还需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 21. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 22. 如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 23. 秦腔，别称“梆子腔”，是国家级非物质文化遗产之一，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．现有以下四张不透明的卡片，其正面分别印有四种不同的曲目（如图），除此之外，其他都相同．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．李爷爷和刘爷爷需要各自从这四张卡片中分别随机抽取一张进行表演． （1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是_____； （2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求他们两人恰好抽中“A．周仁回府”和“C．白蛇传”这两个曲目的概率． 24. 某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 25. 如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $