精品解析：广东省深圳市高级中学高中园2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

深圳市高级中学高中园2025-2026学年第一学期期中测试 高一数学试题 命题人：袁小平 审题人：高璐 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束，监考人员将答题卡收回. 第Ⅰ卷（本卷共计58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由交集的定义可知. 故选：D 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答. 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 3. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式和奇偶性的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，由解析式可知，在单调递减，故错误； 对于B，令，则，且定义域为， 所以为奇函数，故错误； 对于C，由解析式可知在单调递减，故错误， 对于D，令，， 偶函数， 由幂函数的性质因为，其中单调递减， 所以在上单调递增，正确， 故选：D 4. 若为非零实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质或举反例逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，的大小不确定，故A错误； 对于B，若取，满足，但，故B错误； 对于C，由和不等式的同向可加性，可得，故C正确； 对于D，若取，满足，但，故D错误. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可. 【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A. 6. 若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数具有单调性的条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以， 故选： 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先凑型使得积为定值再根据基本不等式求得最值即可. 【详解】， 当且仅当“”即“”时成立，符合，所以最小值为； 故选：A 8. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集上不具有单调性 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，根据函数的定义域可判断；选项B，根据函数的值域可判断；选项C，根据函数的奇偶性可判断；选项D，根据函数的单调性可判断. 【详解】选项A，因为（其中，且），而， 所以的定义域为，所以A的说法正确； 选项B，根据函数的对应法则，是有理数时，是无理数时， 所以的值域为，所以B的说法错误； 选项C，若，则，；若，则， ，综合可得，所以为偶函数，所以C的说法正确； 选项D，由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在和之间无间隙转换， 所以在实数集上不具有单调性，所以D的说法正确. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，使 B. 当时，幂函数在上为单调递减函数 C. 若，则 D. 函数与是同一个函数 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，配方判断二次式的取值范围；选项B，利用幂函数的性质判断；选项C，根据不等式的性质判断；选项D，对比函数的定义域，判断是否为同一函数. 【详解】对于A，由已知得，所以不存在实数使，所以A为假命题； 对于B，当时，幂函数，函数在上单调递减，所以B为真命题； 对于C，若，则，所以C为真命题； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，所以函数与不是同一个函数，所以D为假命题. 故选：BC. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，将不等式问题转化为方程的根的问题,逐一分析计算即得. 【详解】依题意，关于的方程有两根为和，且，故A正确； 由韦达定理，，解得， 则，故B正确； 因，且，则，故C错误； 不等式，因，则得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 存在实数满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断； 【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以，因为是偶函数，所以， 所以， 所以， 函数图象如下所示： 可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确； 由，，即存在实数满足，故D正确； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式与根式有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知集合，则集合的子集个数为__________.（填数字） 【答案】16 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合A，结合子集个数的公式计算即可求解. 【详解】由，即，解得， 所以，共4个元素， 所以集合A的子集个数为. 故答案为：16 14. 若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知命题的否定为真命题，分离参数求分式的最值，再利用换元法和基本不等式求解即可. 【详解】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以，当且仅当即，即时取等号， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 15. 已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标可得幂函数解析式； （2）根据二次函数性质可得最值. 【小问1详解】 由幂函数的图象经过点， 得， 解得， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，当时，， 故在上的值域为. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式求解确定集合，再由并集运算即可求解； （2）由，通过和讨论求解即可. 【小问1详解】 ， 解得，故， 当时，集合， 所以集合. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以和两种情况： 若，则，解得； 若，要使成立，则有，解得：， 综上所述：实数的取值范围. 17. 某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：. （1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量） 【答案】（1）； （2）产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润100元. 【解析】 【分析】（1）依据利润与总收入、总成本的关系，分产量区间构建利润函数； （2）分区间求解单位利润，借助基本不等式和函数单调性分析最值情况. 【小问1详解】 总成本为元. 当时，； 当时，. 故. 【小问2详解】 依题意，单位利润为. 当时，. 由，当且仅当即时取等号， . 当时，，此函数随增大而减小，故. 综上，当产量为200个时，单位利润最大，最大单位利润是100元. 18. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据含参的一元二次函数有且仅有一个实数根，分类讨论和时分别求解即可； （2）代入函数，问题可化简为含参的一元二次函数解集问题，对参数进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，又中有且只有一个元素， 所以方程有且仅有一个根. 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. 【小问2详解】 依题意，，整理得，即. （Ⅰ）当时，解得； （Ⅱ）当时，不等式可化为，解得或； （Ⅲ）当时，不等式可化为， ①当时，原不等式无解； ②当时，解得； ③当时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知函数是上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是上的奇函数可得，从而可得的值； （2）利用单调性定义证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数，所以有，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，即，该函数在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即. ， 因为，，所以. ①当时，，所以. 故，所以函数在上单调递减； ②当时，，同理， 故，即函数在上单调递增. 综上，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）且是上的奇函数知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为， 所以在上的值域为， 由恒成立，即，也就是， 则，得，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学高中园2025-2026学年第一学期期中测试 高一数学试题 命题人：袁小平 审题人：高璐 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上. 3.考试结束，监考人员将答题卡收回. 第Ⅰ卷（本卷共计58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 4. 若为非零实数，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 7 8. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集上不具有单调性 二、多选题（本大题共3小题，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. ，使 B. 当时，幂函数在上为单调递减函数 C. 若，则 D. 函数与是同一个函数 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. 的最小值为 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 存在实数满足 第Ⅱ卷（本卷共计92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知集合，则集合的子集个数为__________.（填数字） 14. 若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 15. 已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：. （1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量） 18. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数是上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $