精品解析：四川省射洪中学校2026届高三二模数学试题

射洪中学高2023级高三上期二模考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集的定义进行运算即得. 【详解】因为集合，， 所以 故选：C. 2. 已知命题，命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得命题对应的的解集，再根据充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】或， 因为成立，但不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 3. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，以及复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由题意得， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限； 故选：D. 4. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】连接，在正方体中，平面， 棱的中点为，则平面， 而平面，故， 则即为直线与平面所成角， 设正方体棱长为2，则， 则， 故， 故选：C 5. 已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 6. 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 7. 已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得， 根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 8. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果. 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 二､多选题：（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n B. 若m∥n，m∥α，则n∥α C. 若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可. 【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得： 对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确； 对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误； 对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质. 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共小题，每小题分，共分） 12. 已知，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数与对数的关系，表示出，再根据对数的运算法则求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 13. 已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量为，进而得到，再根据求解即可． 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 14. 定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数在上单调递增，进而可得出该函数在上单调递减，将所求不等式变形为，可得，可得出，由此可解得实数的取值范围． 【详解】由可得， 构造函数，则， 所以，函数为偶函数， 当时，， 所以，函数在上单调递增，则该函数在上单调递减， ， 由得， 即，即，则， 由于函数在上单调递减，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明：由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）证明：由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. 17. 已知，． （1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到的解析式，再利用三角函数的平移及伸缩变换得到的解析式； （2）根据的解析式求出，再利用同角关系求其余弦值，最后利用两角和的余弦公式求出的值. 【小问1详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，则， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，则有． 【小问2详解】 由题意得，所以， . 18. 已知数列的前项和为，，且 . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前项的积为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）得, 则， 所以 要证，只需证，即证， 令，则，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以， 所以得证． 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可得数列的递推式，从而可得数列是等比数列，由等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相加求和法求解即可； （3）分析可知要证，即证，令，利用导数推出，从而得证． 【小问1详解】 因为数列满足，所以时，得， 两式相减，得，即， 因为，，则所以， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 由（1）得，，， 两式相减得 解得； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记，若，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 令，得， 因此， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得． 【解析】 【分析】（1）对求导，得到为切线斜率，再求解得切点纵坐标，再根据直线方程得切线方程； （2）构造函数，对求导，得到，利用导数与函数的单调性间的关系，可得，再分和两种情况讨论，即可求解； （3）根据的条件变形，将（其中）用含的式子表示，并代入中，通过分析化简后表达式的符号即可得证. 【小问1详解】 解：因为，所以， 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则， 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，， 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高三上期二模考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n B. 若m∥n，m∥α，则n∥α C. 若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线 10. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 三、填空题（本题共小题，每小题分，共分） 12. 已知，，则__________. 13. 已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________. 14. 定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 17. 已知，． （1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解析式； （2）若，求． 18. 已知数列的前项和为，，且 . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前项的积为，求证：. 19. 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记，若，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $