第3章 命题点15 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2026福建中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点15一次函数的实际应用 (8年3考，均为费用、利润问题) 类型1)》费用、利润最值问题(2022.22,2021.20,2020.20考查) 1.常考设问：如何购进费用最低：哪种方案利润最大等 2.解题步骤：确定函数关系式→确定自变量取值范围→结合函数增减性求最值， 3.自变量取值范围的确定：如已知A,B两种物品共m个，设A有x个，则B有(m-x)个，由“A 的数量不大于B的n倍”列不等式x≤n(m-x)可得x的取值范围.注意关键词：不大于、不超 过、不低于等 4.理解一次函数最值：对于一次函数y=kx+b,当m≤x≤n时，若k>0,y随x的增大而增大，则当 x=m时，y值最小，当x=n时，y值最大；反之，当k<0时，y随x的增大而减小，则当x=m时，y 值最大，当x=n时，y值最小， 例1某服装店购进甲、乙两种服装，甲种服装进价为70元/件，市场售价为100元/件，乙种服 装进价为35元/件，市场售价为75元/件.若该店决定用不多于6300元购进这两种服装共 100件，乙种服装的数量不多于甲种的3倍，并全部售出. (1)请分别写出购进总费用y(单位：元)、所获利润w(单位：元)与购进甲种服装数量x(单 位：件)之间的函数关系式： 审：梳理题设信息 服装类型 购进数量 进价 购进费用 售价 单件利润 获得利润 甲种服装 x件 70元/件 70x元 100元/件 30元/件 30x元 乙种服装 （100-x)件 35元/件 35(100-x)元 75元/件 40元/件 40(100-x)元 由列表可得购进总费用y=① :所获利润w=② (2)求这批服装全部售出后可获得的最大利润w的值 审：第1步：确定自变量x的取值范围 由“乙种服装的数量不多于甲种的3倍”得不等式③ ,得x的取 值范围是④ 第2步：确定w随x的变化情况.由(1)得心随x的增大而⑤ 第3步：代入对应的x的值求w的最值.将x=⑥代入w中，可求w的最大值 32 知识，点精讲·福建数学 一战成名新中考 类型2阶梯收费类问题 1.两种考法： 考法1：图象分段，即已知函数图象分不同阶段； 考法2：文字分段，即在…范围内按…，超过部分… 2.解题策略：函数图象有几段，就可求几个函数解析式，注意“拐点”承接前后两段函数.求出函 数解析式后，一定要注意添加对应的自变量取值范围 例2某商店计划购进一批篮球，所需费用y元与购进数量x个之间的函数关系如图所示 (1)求y关于x的函数关系式： 审（解读函数图象信息）： x的取值范围 经过的点坐标 第1段线段 0≤x≤20 (0,0),(20,2400) 第2段射线 x>20 (20,2400),(40,4320) y(元 4320 2400 02040x(个) 例2题图 (2)该商店规定：若一次性购买10个以内（含10个），按每个150元收费：若一次性购买10 个以上，其中10个按每个150元收费：超出部分打八折.八一中学计划在该商店一次性 购买这种篮球m个(m>0),则花费p(元)与m(个)的函数关系式为⑦ 审（解读关键句）： 购买数量为m个，花费为p元 收费方式：按每个150元收费； 10个以内 m的取值范围：0≤m≤10：购买单价：每个150元： (含10个) 花费p=150m 收费方式：10个的费用+超出10个的费用： 其中10个的单价：每个150元：超出部分打八折：每个120元； 10个以上 m的取值范围：m>10:超出10个的有：(m-10)个； 10个的花费：10×150=1500元；超出部分花费120(m-10)元； 共花费：p=120m+300 知识，点精讲·福建数学 33 类型3)方案择优问题 1.考查方式：以文字型或图象型或文字与图象结合型描述两个或多个不同方案，常考设问为：比 较哪种方案更合算/更优惠；应如何选择合理的方案等 2.解题策略：利用y,>yy,=2,y,<2确定x的值或者x的取值范围，再确定方案 例3[人教八下P98练习改编]某移动公司有两类收费标准，A类收费标准如下：不管通话时间 多长，每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计. B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计. (1)分别写出A,B两类收费标准每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系式； A类：y=⑧ ;B类：y=⑨ (2)如果某用户预计每月缴55元的话费，那么该用户选择哪类收费标准划算？ 类型④》行程问题 类型 图象及背景 得到的信息 B (1)甲、乙两地间的距离为⑩ (2)表示前往乙地的图象是线段① ,所用时 间为② 人a 单人往返 BAC 0t1 (3)表示在乙地停留的图象是线段B ,所用 背景：某人从甲地前往乙 时间为④ 地，停留一段时间后返回 (4)表示从乙地返回甲地的图象是线段⑤ 甲地 所用时间为⑥ (1)⑩ 车比⑧ 车晚四 h出发； (2)0 车比四 车早2 h到 达乙地； (3),点D的实际意义为t2时刻b车在距离甲地s 追及 B 0 t 处追上a车； 背景：OA与BC分别表示a (4)若a车的速度为un,b车的速度为v,则追及时 车与b车从甲地不同时出发 S151 在时间上存在等量关系： 二t 双人 前往乙地 双线 B (1)a,b两车相向而行，a车到达乙地的时刻为 3 ,b车到达甲地的时刻为④； (2)若a车的速度为u。,b车的速度为ub,则v。 相遇 ⑤，（填“>”“<”或“=”）： 0 t l2 tst (3),点D的实际意义为t,时刻a,b两车在距离甲地 背景：a车从甲地前往乙地， S1处相遇； b车从乙地前往甲地，两车 同时出发 (4)相遇时在路程上存在等量关系：So=1+v1 温馨提示：请完成《分层作业本》P33-34习题 34 知识，点精讲·福建数学 一战成名新中考 命题点16 反比例函数的图象与性质(8年4考) 考情时间轴 13.待定系数法求表达式 14.象限与系数的关系 11.待定系数法求表达式 2025 2022 2021 教材要点归纳 要点①反比例函数及其表达式的确定 1.反比例函数的概念及其表达式 (1)形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中①0，)②0： (2)表达式的三种形式(k为常数，k≠0)：①y=:②y=c';③xy=k 2.待定系数法确定反比例函数的表达式(2025.13,2021.11) (1)已给出表达式y=→找点代入一→求写出结论： (2)未给出表达式：设表达式y=冬→找点→代入一求k一写出结论 例1已知反比例函数y=的图象经过点P(2,3),则反比例函数的表达式为③ 要点2》反比例函数的图象与性质(2022.14) k的取值范围 k④0 ⑦0 大致图象 图象所在象限 第⑤ 象限 第⑧ 象限 在每一象限内，y随x的增大而 在每一象限内，y随龙的增大 增减性 ⑥ 而⑨ 对称性 轴对称性：对称轴为直线y=±x;中心对称性：对称中心为原点O X《负面清单》反比例函数中出现反比例函数y=。图象的平移问题， 示钢少与的西至用的关系 1 拓展与反比例函数有关的大小比较 (1)代值计算法：把点的坐标代入解析式求值，再比较大小； (2)增减性比较法：在同一象限时，根据函数的增减性来比较； (3)图象比较法：画出草图，标出各点，谁高则谁大如图， 若x1<0<x2<,则y⑩y① 知识，点精讲·福建数学 35 要点3)反比例函数中飞的几何意义 1.k的几何意义 过双曲线y=:上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段与坐标轴围成的矩 A(x,y) 形的面积为② ·如图，SE形c=B,SA06=SA00=④ 特别提醒：当图象在第二、四象限时，一定要注意k<O. 2与反比例函数，=(k≠0)中k的几何意义有关的面积计算 单一反比例 两个反比例 综合型 k2 B B C O D O C 0 B x OAB OC D OA=AB时， S△A0E=S四边形CDBE; Saac=21k1 SAABO= SGARCD= SE形cn=k,1+k,l 6 ⑤ S△4OB=S四边形ACDB 随堂对点练习 要点21.于放性设间[222福建14题4分]已知反比例函数y=的图象分别位于第二，第四象 限，则实数k的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数) 还能怎么考… 1-1二成成名原创已知点A和点B关于原点对称，点A和点C关于直线y=-x对称. 若点A在反比例函数y=飞的图象上.甲、乙两位同学的观点中正确的是 ( 甲：点B在反比例函数y=图象上 乙：点C不在反比例函数y=图象上 A.甲对，乙也对B.甲对，乙不对C.甲不对，乙对D.甲不对，乙也不对 要点22.[2025福州二检]已知反比例函数y=(>0),点A(1,m),B(2,n为该函数图象上两 点，则下列关系式正确的是 ( A.0<n<m B.0<m<n C.n<m<0 D.m<n<0 3.已知点A是反比例函数y=图象上一点 要点1 (1)[2021福建11题4分]若点A的坐标为(1,1)，则k的值等于 ； 要点3 (2)如图1，点A,C为反比例函数图象上两点，连接AC经过原点O.若 C B k=1,且BC/轴，AB/轴，则S△C=; 第3题图1 要点3 2k (3)如图2，过点A作x轴的平行线，与反比例函数y=-·的图象交 于点B.点C,D是x轴上的两点，且CD=AB,连接BC,AD.若四 边形ABCD的面积为6，则k的值为 C 第3题图2 温馨提示：请完成《分层作业本》P35-36习题 ）4 36 知识，点精讲·福建数学 一战成名新中考 命题点17反比例函数图象与性质的应用(8年5考) 考情时间轴 15.反比例函数与 正方形结合 16.反比例函数与菱形结合 2024 2020 2018 2023 2019 9.反比例函数与 16.反比例函数与特殊 16.反比例函数与一次 圆结合 四边形结合 函数、三角形结合 教材要点归纳 要点①反比例函数对称性的应用 1.如图1，轴对称性→关于直线y=x对称（坐标变化：横纵坐标互换） 图1 图2 图3 2.如图2，轴对称性→关于直线y=一x对称（坐标变化：横纵坐标互换，再变成相反数） 3.如图3，中心对称性（坐标变化：横纵坐标均变为其相反数） 要点2)反比例函数与一次函数结合 一系双图—判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 1 函数类型 k,k'的符号相同('>0) k,'的符号相反(k'<0) 结论 ①k同号必有 反比例函数y= 两交点，且两 与正比例函数 交点关于原点 成中心对称； y=k'x ②k,'异号，无 交点 ①k,同号，必有 反比例函数y= 两交点； k与一次函数 于女米器 ②k,k'异号，交点 y=k'x+b 可以有两个、 一个、零个 知识点精讲·福建数学 37一战成名新中考 9(6-)⑤x·20x."t⑦a-2)(6-2） 随堂对点练习 2 1.D ⑧ax2⑨(1+x)2 2.(1)分式方程的解为x=2. 随堂对点练习 (2)x=10是原分式方程的解 1.B2.B 3.原计划每天挖掘遂道的长度 3.(40-2x)(26-x)=144×6,2 4.通车前宁德至古田走省道大约需要2.5小时 4.解：(1)平均每天销售数量为32件： 命题点11 一元一次不等式（组）及其应用 (2)当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为 教材要点归纳 1200元 ①>②>③<④x<a⑤x>a⑥x≤a 命题点10分式方程及其应用 ⑦x≥a⑧x>b⑨x<a⑩a≤x<b①x>-3 教材要点归纳 2x≥-1Bx≥-1④>5<G≥⑦≤ ①(x+2)(x-2) ②3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)③x= 10④当x=10时，(x+2)(x-2)≠0⑤x=106600 ⑧8x≥n(m-x)）9ax+h(m-x)≤n 随堂对点练习 ⑦x+10⑧350 0-2x 0x=60 ①经检1(1)<；(2)<；(3)<；(4)< x+10 x+10 2.x<12-1x≤1 验，x=60是原分式方程的解，且符合题意②70B60 3.原不等式组的解集为-3≤x<1 ④70530016乙 第三章 函数 命题点12平面直角坐标系与函数 命题点15一次函数的实际应用 教材要点归纳 教材要点归纳 ①-y②相等③相等④1al⑤√a+b ①35x+3500(②-10x+4000③100-x≤3x④x≥25 随堂对点练习 ⑤减小⑥25⑦p= (150m(0≤m≤10)， ⑧0.2x+12 1.x≠1，x≥1，x>1,x>1 (120m+300(m>10) 2二，一，四，三 ⑨0.25x⑩s①0A2t1BABt2-t1⑤BC 拓展2-1∥；1拓展2-2下：5 0t3-t2⑦6⑧a9t12①6②①a2(t-t3）3t 拓展2-3B,D;(1,-2)》 ②④t,5< 拓展2-42；25；√29 例1(2)0大=3750， (120x,0≤x≤20， 命题点13一次函数的图象与性质 例2(1)y{96x+480,x>20, 教材要点归纳 例3(2)B类划算 ②/3=4h+6, k= 3 3 ①y=kx+b(k≠0) 命题点16反比例函数的图象与性质 3 2 ④y= (0=2k+b 2 b=-3 教材要点归纳 3⑤略⑥略⑦略⑧一、二、三⑨一，三、四0一、 0≠②≠③y- ④>⑤一、三⑥减小⑦< 三①一、二、四②二、三、四B二、四④增大 5减 ⑧二四⑨增大0<①<②Ik132④151k1 小⑧(-0) ⑦(0.b)8<9 01k1 随堂对点练习 随堂对点练习 1.画图略；增大；一、三、四；(1,0)； 1.-3(答案不唯一)1-1B2.A (0,-2);减小；二、三、四；<；< 3.(1)1;(2)2;(3)2 2.画图略；y=-2x+4;y=-2x;y=-2x+3; 命题点17反比例函数的图象 y=-2x+1 与性质的应用 变式2-1y=2x-2变式2-2y=2x+2 教材要点归纳 命题点14一次函数图象与性质的应用 例一次函数的表达式为y=x+1. 教材要点归纳 随堂对点练习 ①x②上 1.D 随堂对点练习 1.B2.B 2（1y=3+3y=:(2)11或-2<0：204s1或 3.(1)y=-21 ≤-2图象路：(3)号 (2)证明：略 3.(2,1)3-1T3-2(1,3) 参考答案与重难题解析·福建数学 3