精品解析：湖北省十堰市张湾区2025-2026学年九年级上学期期中上学期期中数学试题

2025~2026学年上学期期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本卷共有6页，共有24小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 2. 如图所示图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，熟记中心对称图形的概念是解决问题的关键． 根据中心对称图形的概念逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据△=，验证是否在范围内即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴△=， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键． 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边， 得到x2+4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 得到x2+4x+4=1+4 配方得（x+2）2=5． 故选：A． 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：， ∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：B 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 25 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【解析】 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 7. 若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可． 【详解】和为一元二次方程的两个根 ． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键． 8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴该函数的对称轴为x=-1 ∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小 ∵-1＜1＜2 ∴y1＞y2 ∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2 ∴y3＞y1 ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 9. 已知函数y＝x²＋ax＋b的图象如图所示，当y＞0时，则于x的取值范围是（ ） A. －1＜x＜3 B. x＜－1或x＞3 C. x＜－1且x＞4 D. －1＜x＜4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当y＞0时，x＜－1或x＞3， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键． 10. 如图所示，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，从而得出，由等边对等角得出，最后再由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ， ， ， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度为，则根据平移的性质得草坪是一个长为，宽为的矩形，根据其面积为，可得方程，解方程即可． 【详解】设小路的宽度为，则由题意可得： 解方程，得：， 当时，，不合题意，舍去 所以 故答案为：． 13. 在二次函数中，当时，则y的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与轴交于负半轴， ， ， ，故①错误； 观察图象得：，， ， ，故②正确； 观察图象得：当时时，， ，故③正确； 图象经过点和，， ，， ，即， ， ，故④正确； 正确的有②③④． 故答案为：②③④． 15. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点C的直线m将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线n将纸片折叠，使点B与点D重合，若直线n与的交点为E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 设，由折叠性质得到，，，，，根据，得到，得到，根据，运用根据勾股定理得到，，即得根据勾股定． 【详解】设， 由折叠知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）因式分解法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或． ∴，． 【小问2详解】 解： ． ． ． ∴，． 17. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】；方程的另一根是5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得； 又由一元二次方程根与系数的关系知：， 解得． 即方程的另一根是5． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标； （2）在平面内有一动点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）作图见详解， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查旋转作图、作平行四边形等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）将的三个顶点分别绕着点逆时针旋转，得到，连接顶点即可得到，数形结合写出点的坐标即可得到答案； （2）连接点得到，过的顶点分别作对边的平行线，三条平行线的交点即可与点构成平行四边形，数形结合写出点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求， 则； 【小问2详解】 解：如图所示： 点即为所求， 则． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问1详解】 证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 21. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； （3）将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），, （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的平移，中心对称的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）分别令，求出的值，令，求出的值，即可得出的坐标； （2）根据平移的性质得出，再根据中心对称的性质得出，代入，求出的值； （3）运用配方法求出的顶点坐标为，由折叠得新抛物线的顶点坐标为，根据直线与新图象有四个交点可得出的取值范围 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 解得，， ∴，, 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 又将点C向左平移个单位长度得到点D， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 把点代入，得： ， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以，； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后图象的顶点坐标为，如图， ∴直线与新图象有四个交点时，． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为 （1）求锅深的长； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2）水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】考查了二次函数的综合应用； （1）令的解析式中，得出，即可求解； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线； 当时， ∴， ∴ 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，E在上，G在延长线上，求证：； （2）正方形绕点B旋转，请仅就图2的情形探究和之间的位置关系和数量关系； （3）已知，，连接，在正方形绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），，证明见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得即可证明 （2）同理证明得出，，设交于点，交于点，根据全等的性质等量代换得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，分别画出图形，证明，得出，设，勾股定理建立方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ 【小问2详解】 ，， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ ∴， 设交于点，交于点，如图所示， ∵ ∵， ∴ ∴，即， 【小问3详解】 解：如图所示，当在正方形内部时，连接， ∵ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设， 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 在中，； 当正方形外部时，连接， 同理可得， 设， 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 在中，； 综上所述，当C、E、G三点共线时，的长为或 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理；熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 24. 已知抛物线，G为抛物线的顶点． （1）如图1，若，抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若在直线下方的抛物线上有点，当最大时，求点B的坐标； （2）将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2示例）交轴、两点，连接点与（1）中的点，若直线与轴的交点落在线段之间，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①② （2）或 【解析】 【分析】（1）① 将点坐标代入抛物线解析式，求解即可；② 先求出直线的解析式， 表示的面积，转化为二次函数求最值，进而得到点B的坐标； （2）先求出旋转后抛物线的解析式，得到的坐标；再求出直线 的解析式及与x 轴的交点，结合交点在线段之间建立不等式组，求解a的范围． 【小问1详解】 解：①抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； ②由①得：抛物线的解析式为， 当时，，则点， 设直线解析式为，代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 如图，抛物线上取一点，过作轴于点，交于点， 设，则 点在直线下方， ， ， ， 当时，最大，此时， 点； 【小问2详解】 解：将抛物线绕顶点旋转后解析式为， 当时，， 解得：， 点，， 当时，， 点， 设直线解析式为，代入得： ， 解得：， ∴解析式为， ， ， 当时，， 即直线与轴交点为， 直线与轴的交点落在线段之间， ， 即， 解①得：， 即或， 或无解； 则不等式①的解集为； 解②得， 即或， 则不等式②的解集为或， ∵抛物线解析式为， ∴， 综上所述或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的最值，抛物线的旋转，解不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本卷共有6页，共有24小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ） A. －2 B. 0 C. 3 D. 5 4. 用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C D. 6. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －275 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 7. 若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数y＝x²＋ax＋b的图象如图所示，当y＞0时，则于x的取值范围是（ ） A. －1＜x＜3 B. x＜－1或x＞3 C. x＜－1且x＞4 D. －1＜x＜4 10. 如图所示，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，则旋转角的度数是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的根是______． 12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________． 13. 在二次函数中，当时，则y的取值范围是_____________． 14. 如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是__________． 15. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点C的直线m将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线n将纸片折叠，使点B与点D重合，若直线n与的交点为E，则的长是________． 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标； （2）在平面内有一动点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 如图，在四边形中，对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； （3）将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为 （1）求锅深的长； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，E在上，G在延长线上，求证：； （2）正方形绕点B旋转，请仅就图2的情形探究和之间的位置关系和数量关系； （3）已知，，连接，在正方形绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求的长． 24. 已知抛物线，G为抛物线的顶点． （1）如图1，若，抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若在直线下方的抛物线上有点，当最大时，求点B的坐标； （2）将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2示例）交轴、两点，连接点与（1）中点，若直线与轴的交点落在线段之间，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $