精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高三上学期11月阶段性测试数学试题

树德中学高2023级高三上学期11月阶段性测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差 4. 若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最大值6 D. 有最小值 5. 已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知符号函数，又是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（ ） A. 516 B. 520 C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 不是等比数列 C. 是从第二项开始的等比数列 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. C. 在上单调递增 D. 直线为的一条对称轴 11. 已知在棱长为1的正方体中，半径为的球与过点的正方体的三个侧面均相切，则（ ） A. 平面平面 B. 点到球面的距离的取值范围为 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 正方体绕对角线旋转后与原正方体重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的圆心到直线的距离为___________． 13. 的展开式的中间项为___________． 14. 集合，若，为X中最大数与最小数的和(若集合X中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数),那么，对M的所有非空子集X,全部的平均值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 16. 已知数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值． 17. 为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 已知动点与点的距离与其到直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）若点是轴左侧（不含轴）一点，动点的轨迹上存在不同的两点满足的中点均在的轨迹上． （i）设中点为，证明：轴； （ii）若是半圆上的动点，求面积的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）设；若是方程的两个不同实根，求证： （3）若对任意，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2023级高三上学期11月阶段性测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题知集合是集合的真子集，再根据充分必要条件概念判断即可. 【详解】不等式，所以， 因为，所以集合是集合的真子集, 所以是的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断. 【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量， 所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、B不正确； 百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位， 则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数. 所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确； 标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D正确. 故选：D. 4. 若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最大值6 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【详解】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 5. 已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和奇偶性，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； 因为奇函数在上单调递增，等差数列满足且，在  内， 的唯一解为 ， 故 的充要条件是数列关于原点对称， 则中间项 ，且，，， 则有，即. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可. 【详解】 故选：D. 7. 已知符号函数，又是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题分析可得，一个为1，一个为，一个为0，设、、的坐标，再由向量的坐标运算和三角函数的值域求法即可求得． 【详解】解：由题意可知，， 三者全为0或一个为1，一个为，一个为0． 当全为0时，可知，，两两垂直，不符合题意； 所以必为一个为1，一个为，一个为0， 不妨设，，， 由函数，可知，，， 不妨设，，，，， 所以，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：C． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（ ） A. 516 B. 520 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的导数，结合偶函数性质得导函数关于点，对称，且，，再根据点的对称性得，最后根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为都为偶函数， 所以，， 对上述等式两边求导得： ，， 即，， 所以导函数关于点，对称，且，， 所以，即， 将代入得： ，即， 所以的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列， 偶数项构成以为首项，为公差的等差数列； 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 不是等比数列 C. 是从第二项开始的等比数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项代入等比数列的通项公式，结合已知条件得知. 【详解】因为，令，，所以，故A选项错误； 由于，则，， 则，所以，而，， 所以是从第二项开始的等比数列，故B，C选项正确； 当时， ,故D选项正确； 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. C. 在上单调递增 D. 直线为的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用周期性的定义判断即可；对于B，先辅助角公式将括号里的式子化简，然后发现两个式子同时取到最大值，故正确；对于C，通过计算，，故错误；对于D，化简，发现它们相等，所以D正确. 【详解】A： ，所以为的一个周期，A正确； B：，当时， 取到最大值为，也取到最大值为， 所以，B正确； C：由B可知，，所以，所以在上不是单调增，C错误； D：， ， ， ，所以直线为的一条对称轴，D正确； 故选：ABD. 11. 已知在棱长为1的正方体中，半径为的球与过点的正方体的三个侧面均相切，则（ ） A. 平面平面 B. 点到球面的距离的取值范围为 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 正方体绕对角线旋转后与原正方体重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，通过可判断A；由题可知球心坐标为，求得球心和点距离可判断B；由线面角的公式可判断C；求得和，得到是平面的一个法向量，又是正方体的外接球的直径，进而可判定D正确. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为， ， 则， 所以， 故， 又平面，平面， 所以平面，平面， 又为平面内两条相交直线， 所以平面平面，A正确； 由题意可得球心坐标为， 所以球心到的距离为， 所以点到球面的距离的最小值为，最大值为， 即点到球面的距离的取值范围为，B正确； 因为， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，即， 设与平面所成角为， 则， 所以，C错误； 由， 可得，则，所以， 同理可得，所以是平面的一个法向量，即平面， 设垂足为，又为等边三角形， 则， 又是正方体的外接球的直径， 所以正方体绕旋转角度后与其自身重合，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆的圆心到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】方程 可化为，圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离. 故答案为： 13. 的展开式的中间项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理只需求解展开式第4项即可. 【详解】由二项式定理可知，展开式共项， 所以的展开式的中间项为第项， 所以，由二项式定理展开的通项公式得： 所以的展开式的中间项为 故答案为： 14. 集合，若，为X中最大数与最小数的和(若集合X中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数),那么，对M的所有非空子集X,全部的平均值为__________． 【答案】2006 【解析】 【详解】对任意非空子集，定义.显然可知亦有，于是，给出了M的所有非空子集组成的集族上的一个一一对应.注意到. 可知，若，则； 若，则. 故对全部非空子集X，诸的平均值为2006. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，，． 在三棱柱中，由， 得四边形为菱形，所以， 易知，则． 由是等边三角形，知， 又平面平面，平面平面，平面， 知平面，则， 又平面，得平面， 又平面，故． . （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为侧面为菱形，，则， 则为等边三角形，所以， 又由（1）易知，，两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 即二面角的正弦值为． 16. 已知数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2） “糖水加糖更甜”提炼为“若，则”， 证明：， ， ； 正整数的最小值为2. 【解析】 【分析】（1）取倒数后，利用待定系数法及等比数列定义可得数列是等比数列，即可得其通项公式，即可得解； （2）利用糖水浓度公式结合作差法可得不等式及其证明，再借助该不等式将进行适当放缩后，结合等比数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 设，所以，解得， 所以，又， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 “糖水加糖更甜”提炼为“若，则”，证明略. 当时，由“糖水加糖更甜”不等式可得， 则当时，有，即， 当时，， 又，所以正整数的最小值为2. 17. 为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1），与线性相关较强 （2）可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 （3）的分布列为. 0 1 2 ，【解析】 【分析】（1）由相关系数计算公式即可求解判断； （2）通过卡方值的计算即可判断； （3）通过抽样比确男性车主选取2人，女性车主选取5人，再确定的取值求得概率即可求解. 【小问1详解】 相关系数为 故与线性相关较强 【小问2详解】 零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 【小问3详解】 抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为. 0 1 2 18. 已知动点与点的距离与其到直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）若点是轴左侧（不含轴）一点，动点的轨迹上存在不同的两点满足的中点均在的轨迹上． （i）设中点为，证明：轴； （ii）若是半圆上的动点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）设， 因的中点在抛物线上，则有， 故可看成方程即的两个不等实根． 由韦达定理，可得，即点的纵坐标与点的纵坐标相同， 故轴； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得结果； （2）（i）将所证结论转化为点的纵坐标与点纵坐标相同，的中点在抛物线上，将，满足同一个方程，结合韦达定理即可得结果； （ii）将面积表示为， 结合韦达定理将最后结果表示成关于的函数，由单调性求其范围即可. 【小问1详解】 因动点到的距离与它到直线的距离相等， 故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 则动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知 且， 仿（i）设中点为，则轴，于是，， ， 故的面积， 因为，所以 因此面积的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）设；若是方程的两个不同实根，求证： （3）若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由题意知， 令，又， 即，所以， 所以，设函数， 则， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 欲证，即证， 不妨设，则，则， 令， 由 ， 所以在上单调递减，， 所以，即 又在上单调递增，所以，即， 故得证； （3） 【解析】 【分析】（1）分别求解与，结合点斜式求解曲线的切线斜率； （2）令，可得，设，于是可将证明不等式转化为证明，构造函数，求导确定单调性从而证得结论； （3）令，将已知不等式转化为，由函数的单调性可得，讨论，，验证不等式是否恒成立，从而得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意可知当时，， 则点， ，所以， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 恒成立等价于， 令，上述不等式化为 令，则该函数单调递增， 即， 所以， 若，取，显然，与题设矛盾； 若，取，有，也与题设矛盾； 所以，则， 不妨设， 则 当时，， 所以在上单调递增，则，此时满足， 当时，令， 则 ， 由导数的意义可知在的极小的区域内值为负，则取，有，与题设矛盾； 综上所述： 【点睛】方法点睛:本题的关键方法是利用分析法，将需要证明得不等式与已知的关系式相结合，得到新的需要证明得不等式，然后利用作差法构建函数，由函数的导数求函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $