第六章 数据的分析 复习学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第六章 数据的分析 知识点1：算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 要点： 平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 要点： （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点2：极差、方差和标准差 1.极差 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据. 要点： 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 2.方差 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是： ，其中，是，，…的平均数.　 要点： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 4.极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点3：中位数与众数 1.中位数 一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 要点： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点4：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点5：四分位数与箱线图 四分位数： 在百分位数中，25%分位数、50%分位数（即中位数）、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，50%分位数把这组数据分成前、后两部分，25%分位数是前半部分数据的中位数，75%分位数是后半部分数据的中位数。这样，25%分位数， 50%分位数，75%分位数就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数 箱线图： 如右图所示的这种统计图叫作箱线图。 箱线图有时也画成如下图所示的形式： 箱线图直观显示了数据的最大值、最小值和四分位数；这些值将全体数据分成四段，每段上的数据量相同，因此箱线图可以反映数据的分布情况；一段“箱体”较短，表示其中的数据较集中；如果箱线图“对称”，表示平均数和中位数可能大致相近，否则平均数与中位数可能存在偏差； 箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数据整体分布情况的比较。 了解一组数据的最小值、最大值和四分位数，有助于人们把握这组数据的分布情况。 知识点6：哪个团队收益收益大 比较两组数据的整体情况，方法多样。可以借助平均数和方差反映数据的集中趋势和离散程度， 也可以借助四分位数和箱线图直观反映数据的分布情况。 题型一 平均数 例题 1．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（    ） A．11 B．12 C．9 D．10 2.某校规定学生的数学学期评定成绩满分为100分，其中平时成绩占50%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占30%.若小红的三项成绩（百分制）依次是86，70，90，则小红这学期的数学学期评定成绩是（　　） A．82分 B．84分 C．86分 D．90分 3.若一组数1，3，x，5，6的平均数为4，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下： 9.0，9.0，9.2 ，10.0 ，9.0，9.2，9.0，9.2． 规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最后得分是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3 2．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 3．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4.已知一组数据x1，x2，x3的平均数为5，则2x1+1，2x2+1，2x3+1的平均数为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 5．有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ） A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232 题型二 方差 例题 1．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 2.小明已求出了五个数据6，4，3，4，□的平均数，在计算它们的方差时，出现了这样一步：（3-5)2+（4-5)2+（4-5)2+（6-5)2+（□-5)2=16（□是后来被遮挡的数据).则这组数据的众数、方差分别是（　　) A．4，5 B．4，3.2 C．6，5 D．4，16 3.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．甲地最低气温的中位数是6℃ B．甲地最低气温的众数是4℃ C．乙地最低气温相对比较稳定 D．乙地最低气温的平均数是5℃ 巩固训练 1.若样本数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数是5，方差是2，则样本数据2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数、方差分别是　 　。 2．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 3．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4.下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 ． 5．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 题型三 中位数和众数 例题 1．已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的中位数与众数分别是（    ） A．14，15 B．15，15 C．14，16 D．15，16 2．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 巩固训练 1．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（    ） A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m 2．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 3．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5 4．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 5．某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 题型四 四分位数与箱线图 例题 1.四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 2.有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 3.把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占，小于或等于b的占．这样的a，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数a，m，b． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 巩固训练 1.一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是 ． 2.甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是 ． 3.甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 题型四 利用合适的统计量做决策 例题 1.在某次知识竞赛中，八(1)班每名学生的得分如下： 77 76 73 87 81 88 76 83 84 80 52 82 83 66 83 82 72 86 76 79 82 66 66 79 89 78 75 72 82 84 80 88 74 79 74 78 66 84 80 33 79 80 81 81 八(2)班每名学生的得分如下: 83 85 82 91 83 91 87 81 86 79 78 80 83 95 76 30 95 83 71 78 81 87 84 78 80 80 80 74 76 71 51 81 64 77 82 86 82 81 81 79 89 74 89 82 请你利用所学的统计知识对这两个班的得分情况进行分析和评价，并与同伴进行交流。 巩固训练 1.某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 2. 甲、乙两人各自记录了8次自己从家到学校所用的时间(单位:min)。 甲:15 12 15 13 16 14 13 14 乙:16 20 12 22 13 25 13 19 (1)用两种方法比较两人从家到学校所用的时间； (2)根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想? 3.在一次男子 10米气步枪团体资格赛中，某队三名运动员各轮次的成绩(单位:环)见下表 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 1 48.1 47.3 46.4 2 48.5 47.9 45.1 3 48.3 48.8 47.4 4 48.6 48.7 47.9 5 49.1 50.1 48.4 6 49.2 48.1 47.5 7 49.6 49.2 48.6 8 49.5 49.1 47.9 9 48.6 48.6 47.7 10 48.9 48.5 47.3 11 48.7 49.1 48.2 12 48.2 49.3 46.8 合计 585.3 584.7 569.2 试评价该队这三名运动员在这次团体资格赛中的表现。 4.某银行营业网点为了解客户的等待时间(从进入银行营业网点到开始办理业务的时间间隔)，随机调查了20名客户，所得数据(单位:min)如下： 23 30 35 42 37 24 21 1 14 12 34 22 13 34 8 22 31 24 17 33 根据以上数据，设法用多种方式描述该银行营业网点顾客的等待情况，并给该银行营业网点提一条改进建议。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第六章 数据的分析 知识点1：算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 要点： 平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 要点： （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点2：极差、方差和标准差 1.极差 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据. 要点： 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 2.方差 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是： ，其中，是，，…的平均数.　 要点： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 4.极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 知识点3：中位数与众数 1.中位数 一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 要点： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点4：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点5：四分位数与箱线图 四分位数： 在百分位数中，25%分位数、50%分位数（即中位数）、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，50%分位数把这组数据分成前、后两部分，25%分位数是前半部分数据的中位数，75%分位数是后半部分数据的中位数。这样，25%分位数， 50%分位数，75%分位数就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数 箱线图： 如右图所示的这种统计图叫作箱线图。 箱线图有时也画成如下图所示的形式： 箱线图直观显示了数据的最大值、最小值和四分位数；这些值将全体数据分成四段，每段上的数据量相同，因此箱线图可以反映数据的分布情况；一段“箱体”较短，表示其中的数据较集中；如果箱线图“对称”，表示平均数和中位数可能大致相近，否则平均数与中位数可能存在偏差； 箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数据整体分布情况的比较。 了解一组数据的最小值、最大值和四分位数，有助于人们把握这组数据的分布情况。 知识点6：哪个团队收益收益大 比较两组数据的整体情况，方法多样。可以借助平均数和方差反映数据的集中趋势和离散程度， 也可以借助四分位数和箱线图直观反映数据的分布情况。 题型一 平均数 例题 1．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（    ） A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】D 2.某校规定学生的数学学期评定成绩满分为100分，其中平时成绩占50%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占30%.若小红的三项成绩（百分制）依次是86，70，90，则小红这学期的数学学期评定成绩是（　　） A．82分 B．84分 C．86分 D．90分 【答案】 B 3.若一组数1，3，x，5，6的平均数为4，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 巩固训练 1．在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下： 9.0，9.0，9.2 ，10.0 ，9.0，9.2，9.0，9.2． 规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最后得分是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.3 【答案】B 2．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ． 【答案】 3．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】设8环的人数为x,依题意得8.1×（2+x+3）=7×2+8x+9×3解得x=5. 4.已知一组数据x1，x2，x3的平均数为5，则2x1+1，2x2+1，2x3+1的平均数为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 5．有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ） A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232 【答案】B 题型二 方差 例题 1．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 【答案】C 【解析】解：平均数，方差：． 2.小明已求出了五个数据6，4，3，4，□的平均数，在计算它们的方差时，出现了这样一步：（3-5)2+（4-5)2+（4-5)2+（6-5)2+（□-5)2=16（□是后来被遮挡的数据).则这组数据的众数、方差分别是（　　) A．4，5 B．4，3.2 C．6，5 D．4，16 【答案】B 【知识点】方差；众数 【解析】解：∵五个数据：6，4，3，4，□的平均数为5，∴□=5×5-(6+4+3+4)=8，∴这组数据为6，4，3，4，8，则这组数据的众数为4，方差为×[(3-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=3.2 3.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】∵，，，∴，根据方差越小，越稳定，故选乙， 4．甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．甲地最低气温的中位数是6℃ B．甲地最低气温的众数是4℃ C．乙地最低气温相对比较稳定 D．乙地最低气温的平均数是5℃ 【答案】A 【解析】解：甲地的最低气温为（℃）：6，4，8，4，8乙地的最低气温为（℃）：2，8，6，10，4 甲地的最低气温的平均数：乙地的最低气温的平均数： 甲地的最低气温的中位数是6，众数是4和8甲地最低气温相对比较稳定 巩固训练 1.若样本数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数是5，方差是2，则样本数据2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数、方差分别是　 　。 【答案】10，8 2．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【解析】解：甲组平均成绩为：（分）， 乙组平均成绩为：（分）， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 4.下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 ． 【答案】甲． 5．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 【答案】A 【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案． 【解析】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ∴甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， ∴，∴甲的成绩更稳定．故选：A 题型三 中位数和众数 例题 1．已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的中位数与众数分别是（    ） A．14，15 B．15，15 C．14，16 D．15，16 【答案】B 2．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 巩固训练 1．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（    ） A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m 【答案】B 2．一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是 ． 【答案】3 【解析】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3， ，解得，， 3．李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．5，4 B．3，5 C．4，4 D．4，5 【答案】A 【解析】解：设被污损的数据为x，则，解得，∴这组数据中出现次数最多的是5，即众数为5篇，将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5，∴这组数据的中位数为4篇. 4．一组数据4，6，4，的众数只有一个，则的值不能为 ． 【答案】6 5．某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 题型四 四分位数与箱线图 例题 1.四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 3.把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占，小于或等于b的占．这样的a，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数a，m，b． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1) (2)见解析 (3)根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可） 【规范解答】（1）解：把甲的成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100． 故． （2）解：绘制甲组箱线图如图． （3）解：示例：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 巩固训练 1.一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是 ． 【答案】2 2.甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是 ． 【答案】甲 【思路引导】本题考查数据的稳定性分析，掌握通过观察数据的离散程度，结合四分位数和箱线图判断数据稳定性是解题的关键． 要判断从家到学校所用时间较稳定的是谁，需分析甲、乙两人数据的离散程度，可通过四分位数和箱线图的特征，即数据的波动情况来判断． 【规范解答】解：甲的数据排序为，数据个数， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 乙的数据排序为， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 甲的箱体长度2小于乙的箱体长度8，说明甲的数据离散程度更小，结合箱线图，甲的数据波动更小，所以从家到学校所用时间较稳定的是甲．故答案为：甲． 3.甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【规范解答】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以，，； （2）如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 题型四 利用合适的统计量做决策 例题 1.在某次知识竞赛中，八(1)班每名学生的得分如下： 77 76 73 87 81 88 76 83 84 80 52 82 83 66 83 82 72 86 76 79 82 66 66 79 89 78 75 72 82 84 80 88 74 79 74 78 66 84 80 33 79 80 81 81 八(2)班每名学生的得分如下: 83 85 82 91 83 91 87 81 86 79 78 80 83 95 76 30 95 83 71 78 81 87 84 78 80 80 80 74 76 71 51 81 64 77 82 86 82 81 81 79 89 74 89 82 请你利用所学的统计知识对这两个班的得分情况进行分析和评价，并与同伴进行交流。 解：(将两班的成绩分别从小到大排序) 八(1)班 33 52 66 66 66 66 72 72 73 74 74 75 76 76 76 77 78 78 79 79 79 79 80 80 80 80 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 84 84 84 86 87 88 88 89 八(2)班 30 51 64 71 71 74 74 76 76 77 78 78 78 79 79 80 80 80 80 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 84 85 86 86 87 87 89 89 91 91 95 95。 (1) 用平均数、方差进行分析。 巩固训练 1.某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】(1)3.635，4.125(2)见解析 【思路引导】（1）首先将B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列，然后根据和的定义求解即可； （2）作出图形，根据数据分析即可． 【规范解答】（1）B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列为： ∴3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44     ∴a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数 ∴，； （2）如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样， 但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 2. 甲、乙两人各自记录了8次自己从家到学校所用的时间(单位:min)。 甲:15 12 15 13 16 14 13 14 乙:16 20 12 22 13 25 13 19 (1)用两种方法比较两人从家到学校所用的时间； (2)根据这些数据信息，你还能作出什么判断或猜想? 解：甲所用时间整体较少，且较为稳定，说明甲的出行受其他因素影响小，于是猜测他采用的交通方式可能是步行、地铁、共享单车等；乙所用时间波动大，说明乙的出行受其他因素影响大，于是猜测他采用的交通方式可能是私家车、公交车等。 3.在一次男子 10米气步枪团体资格赛中，某队三名运动员各轮次的成绩(单位:环)见下表 轮次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 1 48.1 47.3 46.4 2 48.5 47.9 45.1 3 48.3 48.8 47.4 4 48.6 48.7 47.9 5 49.1 50.1 48.4 6 49.2 48.1 47.5 7 49.6 49.2 48.6 8 49.5 49.1 47.9 9 48.6 48.6 47.7 10 48.9 48.5 47.3 11 48.7 49.1 48.2 12 48.2 49.3 46.8 合计 585.3 584.7 569.2 试评价该队这三名运动员在这次团体资格赛中的表现。 4.某银行营业网点为了解客户的等待时间(从进入银行营业网点到开始办理业务的时间间隔)，随机调查了20名客户，所得数据(单位:min)如下： 23 30 35 42 37 24 21 1 14 12 34 22 13 34 8 22 31 24 17 33 根据以上数据，设法用多种方式描述该银行营业网点顾客的等待情况，并给该银行营业网点提一条改进建议。 解：例如:①等待时间的最小值为1min，最大值为42 min,相差41min； ②等待时间的平均数为23.85min，众数为22min，24min，34 min； ③等待时间的 m25=15.5 min，m50= 23.5 min，m75 = 33.5 min； ④去掉一个最小值和一个最大值,等待时间的平均数约为24.1 min； ⑤分段统计见下表。 从调查数据看，该网点客户的平均等待时间超过20min，等待时间为21～28min的占25%，等待时间为28～35min的占30%，说明客户等待时间较长。建议该网点增加人工窗口或指导客户使用自助设备。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $